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211 数列的概念与简单表示法2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一)第九课时 教学目标 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式. 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用. 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式. 教学过程 导入新课 1、 课本图211中的正方形数分别是多少？ 1，3，6，10，. 图212中正方形数呢？ 1，4，9，16，25，. 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，;无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，. 一些分数排成的一列数：246810，. 315356399推进新课合作探究 折纸问题请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试。 我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？ 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，256，； 随着对折数面积依次为11111, , , , ,. 24816256它们的共同特点：都是有一定次序的一列数. 教师精讲 1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第n项， 3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.无穷数列：项数无限的数列. 2)根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列. 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列. 常数数列：各项相等的数列. 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？ 知识拓展你能说出上述数列中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？ 答 256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为an=2n. 合作探究同学们看数列2，4，8，16，256，中项与项之间的对应关系， 项 2 4 8 16 32 序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？ 4、数列的通项公式 如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 例题剖析 例1.根据下面数列an的通项公式，写出前5项： (1)an=n; (2)an=(-1)n·n. n+1 1 解：(1)n=1,2,3,4,5.a1=12345;a2=;a3=;a4=;a5=. 23456(2)n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2;a3=-3;a4=4;a5=-5. 例2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1) 3，5，7，9，11，； (2) 246810，； 315356399(3) 0，1，0，1，0，1，； (4) 1，3，3，5，5，7，7，9，9，； (5) 2，-6，12，-20，30，-42，. 1+(-1)n2n解：(1)an2n1；(2)an；(3)an； 2(2n-1)(2n+1)(4)将数列变形为10，21，30，41，50，61，70，81， (5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，an(-1)n+1n(n1). 合作探究函数与数列的比较(由学生完成此表)： 函数 数列(特殊的函数) *定义域 R或R的子集 N或它的有限子集1，2，n y=f(x) an=f(n) 解析式 图象 点的集合 一些离散的点的集合 下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10; 1,1+(-1)nann； 2111 , , ,的图象. 234学过的什1、 数列4，5，6，7，8，9，10,的图象与我们么函数的图象有关？ 2、 数列1,111 , , ,的图象与我们学过的什么函数的图象有关？ 2343、 这两数列的图象有什么特点？ 其特点为：它们都是一群孤立的点. 位于y轴的右侧. 课堂小结 对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n项求一些简单数列的通项公式. 布置作业 课本第38页习题2.1 A组第1题. 板书设计 数列的概念与简单表示法(一) 定义 1.数列 例1 2.项 3.一般形式 例2 函数定义 4.通项公式 5.有穷数列 6.无穷数列 2 习题课 第十课时 一、例题 1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： 22-132-142-152-1(n+1)2(n+2)·n;,;(1)1，3，5，7；an=2n-1 (2);an=或 n+12345n+111111(3)-,- ,- ,-.an=-. 1´22´33´44´5n´(n+1)2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n项分别是下列各数： 1+(-1)n+1(1)1,0,1,0; an=,nN* 223564n+1(2)-, ,- ,-; an=(-1)n· 238152435(n+1)-17(3)7,77,777,7 777; an=×(10n-1) 9(4)-1,7,-13,19,-25,31; an=(-1)n(6n-5) 359172n+1(5), , ,. an= n-12241625623.已知数列an的通项公式是an=2n2-n，那么( ) A.30是数列an的一项 B.44是数列an的一项 C.66是数列an的一项 D.90是数列an的一项 分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决. 答案：C 4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为1cm就是每200张叠起来刚好为1 cm，现在把这张200纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a1,a2,a3,ak,. 你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a 50，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？ 2n答案：这个数列的通项公式为an=，裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm20056 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍. 二、阅读材料 无法实现的奖赏 相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔. 达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏. 请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？ 3 2.1.2 数列的概念与简单表示法(二)第十一课时 教学目标 1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同； 2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系. 教学过程 导入新课 1、什么叫数列的通项公式？ 答 如果数列an的第n项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 2、数列0，1，2，3，的通项公式为an=n-1(nN*);1,1,1的通项公式为an=1(nN*,1n3); 1,1111 , , ,的通项公式为an= (nN*). 234n合作探究数列的表示方法 1、 通项公式 2、 图象法、 3、递推公式法 模型一：自上而下 第1层钢管数为4,即141+3; 第2层钢管数为5,即252+3; 第3层钢管数为6,即363+3; 第7层钢管数为10,即7107+3. an=n+3(1n7). 生 模型二：上下层之间的关系 a1=4；a2=5=4+1=a1+1；a3=6=5+1=a2+1. 依此类推：an=a n-1+1(2n7). 我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式. 推进新课 1.递推公式定义： 如果已知数列an的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 数列：3，5，8，13，21，34，55，89. 递推公式为：a1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8). 2.数列表示方法：列表法、图象法、解析式法. 例题剖析 ìa1=1ï 设数列an满足í 1,n1.写出这个数列的前五项.a=1+ïnan-1î258111解：据题意可知：a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ =,a4=1+ =,a5= 335a1a2a3 已知a1=2，an+1=2an，写出前5项，并猜想an. 解： 前5项分别为2，4，8，16，32. 由a1=2，a2=2×2=22，a3=2×22=23观察可得， an=2n. 或者：由a n+1=2an变形可得an=2a n-1，即an=2，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘起来，an-1anan-1an-2a2就有2n-1=2n. ´´´×1=2n-1，所以an=a1·aan-1an-2an-3师 太妙了，真是求解的好方法.所用的这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法. 知识拓展已知a1=2，an+1=an-4,求an. 法1 写出：a1=2，a2=-2，a3=-6，a4=-10，观察可得：an=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1). 4 法2 an-a n-1=-4 an-1-an-2=-4 an-2-an-3=-4 +) a2-a1=-4an-a1=-4(n-1)an=2-4(n-1). 教师精讲 (1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的. 例如，由数列an中的递推公式an+1=2an+1无法写出数列an中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出a2=3,a3=7,a4=15,. (2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式. 学生活动 根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式. (1)a10，an+1an(2n-1)(nN)；(2)a11，a n+1an (nN)； an+2(3)a13，an+13an-2(nN). 解：(1)a10，a21，a34，a49，a516，an(n-1)2. (2)a11，a22122122，a3=，a4，a5 =，an. 324536n+1(3)a131+2×30，a271+2×31，a3191+2×32， a4551+2×33，a51631+2×34，an12·3 n-1. 合作探究 一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？ 分析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种. 爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种. 若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种, 则an=an-1+an-2+an-3(n4), 则得到a1=1,a2=2,a3=4及an=a n-1+an-2+an-3(n4)，就可以求得a8=81. 课堂小结 递推公式与通项公式的区别。 1、 通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系. 2、 对于通项公式，只要将公式中的n依次取1，2，3,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n项)，才可求得其他的项. 布置作业 课本第38页习题2.1A组第4、6题. 预习内容：课本P41P 44. 板书设计 数列的概念与简单表示法(二) 一、定义 二、例题讲解 小结： 1.递推公式： 例1 通项公式与 例2 递推公式区别 5