1第一讲 集合与简易逻辑.docx
1第一讲 集合与简易逻辑第一讲 集合与简易逻辑 典型例题选读 1已知集合A=xx-ax+a-19=0.B=xlog2(x-5x+8)=1 C=222x2ÉÆ与AICÆ同时成立，求实数a的值。 x+2x-8=0，若AIB¹É3，C=2，-4，由AIBÆ知A与B的交集为非空集。 解：易求得B2，¹故2.3两数中至少有一个适合方程x-ax+a-19=0,又AICÆ2ÏA 即9-3a+a-19=0，解得a=5或a=-2，当a=5时，A=2,3，此时 222AIC=2¹Æ,故a=5舍去，当a=-2时，A3，-5，于是AIB=3 ÉÆa=-2. ¹2已知集合A=yy=4-3×2-x-x-1ì1ü+1,xÎ(-1,2).B=íxx-m2³ý 4þî命题p:xÎA,命题q：xÎB，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围。 1x1x+11xé1xù31x解：化简A：由y=-3+1得y=êú-+1，令=t， 422ë2û22ì7ü1371é7ö£x<2ý 则tÎ(,2),则有y=(t-)2+,tÎ(,2)yÎê,2÷A=íx44164ë16øî16þ由B=íxx-m³2ìî21ü111222，知 x-m³Ûx£m-或x³m+ý4þ444ì11üBíxx£m2-或x³m2+ýQP是q的充分条件AÍB 44îþ3ùé33ùé3117æö,2£m2-或m2+£，故实数m的取值范围是ç-¥,-úUê-úUê,+¥÷ 2ûë44ûë24416èø3设命题P：函数f(x)=lg(ax-x+21a)的值域为R，命题q：不等式2x+1<1+ax对一切16正实数恒成立，如果“P或q”为真且“P且q”为假，求实数a的取值范围。 1 ìa>0ï解：命题P为真命题Û函数f(x)的值域为RÛa=0或íÛ0£a£2 12V=1-a³0ïî4 命题q为真命题Û2x+1-1<ax对一切正实数x成立Ûa>2x+1-1 x=2,对一切正实数x均成立Ûa³1,根据题意知命题P与q中有且只有一个是真命2x+1+1ìP真ìP假ìo£a£2ìa<0或a>2或í等价于í或ía取值范围是： 题，即ía<1a³1q假q真îîîî0,1)U(2,+¥). 4已知集合A=(x,y)x+y-4x-14y+45<0.B=(x,y)y>x-m+7. 若AIB¹Æ，求m的取值范围. 若点Q且QÎA，集合A、B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N，求22DQMN面积的最大值. 解：当射线y=x-m+7(x³m)与圆(x-2)2+(y-7)2=8相切时，由得m=-2或m=6(舍去)，当射线y=-x+m+7(x£m)与圆相切时，由得m=6或m=-2，故所求m取值范围是(-2,6). 显然点Q在圆(x-2)2+(y-7)2=8的直线AB上，由对称性和圆幂定理可得 |MQ|V|NQ|=|AQ|V|BQ|,由y=|x-m|+7的斜率可知，ÐMQN=90°. |2-7-m+7|=22 2|-2-7+m+7|=22 211t+(42-t)2设|AQ|=t,则|BQ|=42-t,于是S=t(42-t)£=4,当且仅当t=22 时取等号，224故QMN面积的最大值为4. 练讲题 1定义集合A与B的运算A*B=x|xÎA或xÎB且xÏAIB，则(A*B)*A为 AAIB BAUB CA DB k1k12设集合M=x|x=+,kÎz，N=x|x=+,kÎz，则 2442ÉAM=N BMÌ ¹ N CM DMIN=Æ ¹ N 2 3命题P：若a,bÎR则a+b>1是a+b>1的充分非必要条件，命题Q：函数 y=x-1-2的定义域是(-¥,-1U3,+¥)则 B“P且Q”为真 DP假Q真 A“P或Q”为假 CP真Q假 4若非空集合A、B、C满足AUB=C且B不是A的子集则 A“xÎC”是“xÎA”的充分非必要条件 B“xÎC”是“xÎA”的必要非充分条件 C“xÎC”是“xÎA”的充要条件 D“xÎC”是“xÎA”既不充分也不必要的条件 9x2y25设A(x1,y1),B(4,),C(x2,y2)是右焦点为F的椭圆+=1的三个不同点，则 2595“AF,BF,CF”成等差数列是“x1+x2=8”的 A充分不必要条件 C充要条件 B必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 6设x表示离x最近的整数，即若m-的四个命题： 11<x£m+,则x=m,下列关于函数f(x)=x-x22é1ùëû函数y=f(x)的定义域是R，值域是ê0,ú 2函数y=f(x)的图象关于直线x=k(kÎz)对称 2函数y=f(x)是周期函数且最小正周期是1 函数y=f(x)是连续函数，但不可导，则其中正确的命题个数是 A1 B2 C3 D4 ìx2-35 (x³3)7已知xÎN*,函数f(x)=í 的值域为D，给出数值：-26，-1，9，14，27，îf(x+2) (x<3)65，其中属于集合D的数据有_. 8方程x2+(2k-1)x+k2=0的两根均大于1的充要条件是 . 9设U=(x,y)Îx|P(2Î,3AI)饀uRÎ,yR=,Ax(-y,+,)xB>yx,y)m=(|x+y-n£0,那么点的充要条件是 . B 3 1510已知集合A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0，B=y|y=x2-x+,xÎ0,3. 22若AIB¹Æ，求a的取值范围. 当a取使不等式x2+1³ax恒成立的a的最小值时，求(CRA)IB. 11设函数f(x)=x-a-ax，其中a>0是常数，试探求函数f(x) 存在最小值的充要条件，并求出相应的最小值。 12已知函数f(x)=x-4，设曲线y=f(x)在点(xn,f(xn)处的切线与x轴的交点为 2(xn+1,0)(nÎN*)，其中x1为正实数. 用xn表示xn+1； 求证：对一切正整数n，xn+1£xn的充要条件是x1³2； 若x1=4.记an=lg xn+2，证明an是等比数列，并求数列xn的通项公式. xn-2 4
