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19极限的计算两个重要极限模块基本信息 一级模块名称 先行知识 函数与极限 极限的计算-常用计算方法 知识内容 1、两个重要极限的证明 2、lim式） 3、lim(1+)x型极限的计算 能力目标 时间分配 修订 1、培养学生的计算能力 2、培养学生对知识的归纳能力 45分钟 熊文婷 编撰 陈亮 校对 王清玲 审核 危子青 危子青 二审 一、正文编写思路及特点： 思路：通过对两个重要极限的特点分析，及例题层层递进的训练。让学生能够灵活运用两个重要极限求解相关函数的极限。 特点：以两个重要极限的基本模型为基础，对类似的两个重要极限进行转换计算，让学生在对同类型的极限进行计算过程中，掌握利用两个重要极限进行相关计算。 二、授课部分 预备知识 0型极限的计算 0新课讲授 1、无穷小的定义 定义：如果当x®x0时,函数f(x)的极限为零，那么函数f(x)就称为x®x0时的无穷小量。 引例 limsinx=? x®0x(说明：当x®0时，sinx,x均为无穷小量.) 2、limsinxx®0x=1 (选讲) 证明思路：函数的夹逼准则 由于limsinxsinxx®0x为型极限，之前我们有因式分解法，而对于00limx®0x显然无法利用因式分解法进行求解，所以我们利用如下解D 法。 首先注意到, 函数sinx对于一切x¹0都有x定义. 如右图，图中的圆为单位圆, BCOA, DAOA. 圆心角ÐAOB=x (0<x< p). 2O B 1 x C A 显然 sin x=CB, x=AB, tan x=AD. 因为 SDAOB<S扇形AOB<SDAOD , 所以 1sin x<1x<1tan x, 222Ç即 sin x<x<tan x. 不等号各边都除以sin x, 就有1<x<1, 或 cosx<sinx<1. sinxcosxx注意：此不等式当= p<x<0时也成立. 而limcosx=1, 2x®0根据夹逼准则得 limsinxx®0x=1. 使用说明: 在极限limsina(x)中, 只要a(x)是无穷小, 就有a(x)limsina(x)=1. a(x)sin3x. x®0xsin3xsin3x=lim×3=3 解:limx®0x®0x3xtanxlim例2. 求x®0. xsinx1sinx1tanx=lim×lim=1. =lim×解:limx®0x®0xxcosxx®0xx®0cosx例1. 求limx例3. 求lim1-cos. 2x®0xx解:lim1-coslimx®0x2=x®02sin2xx2sin2=1lim2 2x2x®0x22sin2x. x®psin3x解：令t®p-x，则 例4. 求limlimx®psin2(p-t)sin2xsin2t2=lim=lim-=-= sin3xt®0sin3(p-t)t®0sin3t313、lim(1+)x=e x®¥x1考虑特殊情况lim(1+)n=e.对n取不同正整数，可得数列n®¥n1(1+)n的取值的表格如下： n1 2 3 L10 20 30 100 L12 964L2.594 2.653 2.658 2.705 L(1+)n n427 根据上述的表格，可得以下结论： 1n 数列(1+)单调、有界； n1n 数列(1+)的极限存在； n1n 数列(1+)的极限为无理数. nn 使用说明：在极限lim1+a(x)11a(x)中, 只要a(x)是无穷小，就有lim1+a(x)a(x)=e. 1 例5. 求lim(1-)n. n®¥n 解: 令t=n, 则n®¥时,t®¥. 于是 1lim(1-)n=lim(1+1)-t=lim1=1. n®¥t®¥t®¥tn(1+1)tet1n1-n(-1)1-n-1lim(1-)=lim(1+)=lim(1+)=e-1 或 n®¥n®¥n®¥n-n-n例6. 求lim(1+x). x®01x解: 令t=1 则x®0时,t®¥. 于是 x1x1t=lim(1+)=e. lim(1+x)t®¥x®0t1注：lim(1+x)=e为lim(1+)x=e的等价形式. x®0x®¥x1x例7. 求lim(1+x®¥12x2). (二级) 2x+1 解: 令t=x2+1 则x®¥时,t®¥. 于是 2111lim(1+2)2x=lim(1+)2(t-1)=lim(1+)tx®¥t®¥t®¥ttx+12(t-1)t=limet®¥2(t-1)t=e2 例8. 求lim(1-sinx). 第一个重要极限 sin5xx®0xlim(1sinx+xsin1) x®0xxcos4x-1limlim(1-x)tan x®02lim第二个重要极限 lim(1+2x) x®01xlimln(1+x) (二级) x®0xx2-1x2lim(2)lim(cos2x)sin2x x®01