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182 勾股定理的逆定理 达训练18.2 勾股定理的逆定理 达标训练 一、基础·巩固 1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是 A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为345 D.三内角之比为345 2.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120°，则该零件另一腰AB的长是_ cm. 图1824 图1825 图1826 3.如图1825，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_. 4.如图1826，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= 5.一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 1AD，试判断EFC的形状. 4 图1827 - 1 - 6.已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1，求证：ABC是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形吗？为什么？ 8.已知：如图1828，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：ABC是直角三角形. 图1828 9.如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A，B，OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图1829 - 2 - 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状. 解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2， A.三内角之比为123 B.三边长的平方之比为123 C.三边长之比为345 D.三内角之比为345 思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：有一个角是直角或两锐角互余；两边的平方和等于第三边的平方；一边的中线等于这条边的一半. 由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D. 答案：D 2.如图1824所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的长为10 cm，D=120°，则该零件另一腰AB的长是_ cm. 图1824 解：过D点作DEAB交BC于E, 则DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形， AB=DE. D=120°，CDE=30°. 又在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，CE=5 cm. 根据勾股定理的逆定理得，DE=102-52=53 cm. AB=102-52=53 cm. 3.如图1825，以RtABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，则AB的长为_. 图1825 图1826 思路分析：因为ABC是Rt，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,- 4 - 所以AB=S3=12=23. 答案：23 4.如图1826，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF=1AD，试判断EFC的形状. 4思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可. 解：E为AB中点，BE=2. CE2=BE2+BC2=22+42=20. 同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25. CE2+EF2=CF2, EFC是以CEF为直角的直角三角形. 5.一个零件的形状如图1827，按规定这个零件中A与BDC都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？ 图1827 思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ADB和DBC是否为直角三角形即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了. 解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD为直角三角形，A =90°. 在BDC中, BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2. 所以BDC是直角三角形，CDB =90°. 因此这个零件符合要求. 6.已知ABC的三边分别为k21，2k，k2+1，求证：ABC是直角三角形. 思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可. 证明：k2+1>k21,k2+12k=(k1)2>0,即k2+1>2k，k2+1是最长边. (k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2, ABC是直角三角形. 二、综合·应用 7.已知a、b、c是RtABC的三边长，A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么A1B1C1- 5 - 是直角三角形吗？为什么？ 思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直角三角形. 解：略 8.已知：如图1828，在ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD. 求证：ABC是直角三角形. 图1828 思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可. 证明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2， AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 =AD2+2AD·BD+BD2 =2=AB2. ABC是直角三角形. 9.如图1829所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A，B，OAB是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论. 图1829 思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理的逆定理判断OAB是否是直角三角形即可. 解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20, AB2=AC2+BC2=12+32=10, OA2+AB2=OB2. OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形. 10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC- 6 - 的形状. 解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形. 解：由已知可得a210a+25+b224b+144+c226c+169=0, 配方并化简得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0. (a5)20,(b12)20,(c13)20. a5=0,b12=0,c13=0. 解得a=5,b=12,c=13. 又a2+b2=169=c2, ABC是直角三角形. 12.已知：如图18210，四边形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四边形ABCD的面积. 图18210 思路分析：作DEAB，连结BD，则可以证明ABDEDB； (2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在DEC中，3、4、5为勾股数，DEC为直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解. 解：作DEAB，连结BD，则可以证明ABDEDB, - 7 - DE=AB=4，BE=AD=3. BC=6,EC=EB=3. DE2+CE2=32+42=25=CD2, DEC为直角三角形. 又EC=EB=3, DBC为等腰三角形，DB=DC=5. 在BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2, BDA是直角三角形. 它们的面积分别为SBDA=11×3×4=6;SDBC=×6×4=12. 22S四边形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18. - 8 -