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18光的衍射习题解答 1 第十八章 光的衍射 一 选择题 1平行单色光垂直入射到单缝上，观察夫朗和费衍射。若屏上P点处为第2级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为几个半波带 ( ) A. 一个 B. 两个 C. 三个 D. 四个 解：暗纹条件：asinq=±(2kl),k=1,2,3.，k=2，所以2k=4。 2故本题答案为D。 2波长为l的单色光垂直入射到狭缝上，若第1级暗纹的位置对应的衍射角为q =±/6，则缝宽的大小为 ( ) A. l/2 B. l C. 2l D. 3l 解p：lasinq=±(2kl2),k=1,2,3.k=1,q=±p6，所以asin(±)=±2´,a=2l。 62故本题答案为C。 2 3一宇航员在160km高空，恰好能分辨地面上两个发射波长为550nm的点光源，假定宇航员的瞳孔直径为5.0mm，如此两点光源的间距为 ( ) A. 21.5m B. 10.5m C. 31.0m D. 42.0m 解：q1=1.22l=Dx,Dx=1.22lh=21.5m。 DhD本题答案为A。 4波长l=550nm的单色光垂直入射于光栅常数d=2×10-cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级4次为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解：dsinq=kl，k=dsinq=3.64。k的可能最大值对应sinq=1，所l以k=3。 故本题答案为B。 5一束单色光垂直入射在平面光栅上，衍射光谱中共出现了5条明纹。若已知此光栅缝宽度与不透明宽度相等，那么在中央明纹一侧的第二条明纹是第几级？( ) 3 A. 1级 B. 2级 C. 3级 D. 4级 解：dsinq=±kl,a+b=2,因此±2,±4,±6.等级缺级。衍射光谱a中共出现了5条明纹，所以k=±3,±1,0，那么在中央明纹一侧的第二条明纹是第3级。 故本题答案为C。 6一束白光垂直照射在一光栅上，在形成的同一级光栅光谱中，偏离中央明纹最远的是 A. 紫光 B. 绿光 C.黄光 D. 红光 解：本题答案为D 7测量单色光的波长时，下列方法中哪一种最为准确 A. 光栅衍射 B. 单缝衍射 C. 双缝干涉 D. 牛顿环 解：本题答案为A 8X射线投射到间距为d的平行点阵平面的晶体中，发生布拉格晶体衍射的最大波长为 4 A. d / 4 B. d / 2 C. d D. 2d 解：最大波长对应最大掠射角90°和最小级数k=1。根据布拉格公式易知： 本题答案为D 二 填空题 1波长为l的单色光垂直照射在缝宽为a=4l的单缝上，对应q =30°衍射角，单缝处的波面可划分为 半波带，对应的屏上条纹为 纹。 解：asinq=4lsin300=2l=4´l，所以可划分为4个半波带，2且为暗纹。 2在单缝衍射中，衍射角q 越大，所对应的明条纹亮度 ，衍射明条纹的角宽度 。 解：越小；不变。 3平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上，缝后有焦距f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏 5 幕，现测得屏幕中央明条纹两侧的两个第3级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为l = 。 3lx,k=3,sinq= 解：asinq=2kl2afax1.5´10-4´4´10-3=500nm l=3f3´400´10-34在单缝实验中，如果上下平行移动单缝的位置，衍射条纹的位置 。 解：衍射条纹的位置是由衍射角决定的，因此上下移动单缝，条纹位置不会变化。 5一个人在夜晚用肉眼恰能分辨10公里外的山上的两个点光源。假定此人眼瞳孔直径为5.0 mm，则此两点光源的间距为 。 解：q1=1.22l=Dx Dh所以x=1.22Dh=l1.22´550´10-9´10´1035.0´10-3=1.342m。 6已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84´10-rad，它们发出的光波波长为550nm，为了能分6 辨出这两颗星，望远镜物镜的口径至少应为 0.139m 。 解：D=1.22ql=0.139m 17平行单色光垂直入射到平面衍射光栅上，若增大光6 栅常数，则衍射图样中明条纹的间距将 ，若增大入射光的波长，则明条纹间距将 。 解：dsinq=±kl,qsinqtanqx f所以d增大，q变小，间距变小；l增大，q变大，间距变大。 8波长为500nm的平行单色光垂直入射在光栅常数为2×10-mm的光栅上，光栅透光缝宽度为1×10-mm，则第 33级主极大缺级，屏上将出现 条明条纹。 解：a=1´10-3mm,d=2´10-3mm,d=2；故第2级主极大缺级； adsinq=kl,当sinq=1 时，kmax=dl=4；故屏上将出现k=0,±1, ±3 共5条明条纹。 9一束具有两种波长的平行光入射到某个光栅上，l1=450nm，l2=600nm，两种波长的谱线第二次重合时，l1的光为第 级主极大，l2的光为第 级主极大。 l1解：重合时，dsinq=k1l1=k2l2，l=2k23= k14 k1、k2为整数又是第2次重合，所以k1=8，k2=6。 10用X射线分析晶体的晶格常数，所用X射线波长 7 为0.1nm。在偏离入射线60°角方向上看到第2级反射极大，则掠射角为 ，晶格常数为 。 解：30° ；0.2nm 三 计算题 1在单缝衍射实验中，透镜焦距为0.5m，入射光波长l=500nm，缝宽a=0.1mm。求：中央明条纹宽度；第1级明条纹宽度。 解：中央明条纹宽度 Dx0=2ftanq0»2fla=2´0.5´500´10-90.1´10-3=5´10-m=5mm 3(2) 第1级明条纹宽度为第1级暗条纹和第2级暗条纹间的距离 Dx1=ftanq2-ftanq1=f(fl2ll=2.5mm -)=aaa2在单缝夫琅禾费衍射实验中，第1级暗条纹的衍射角为0.4°，求第2级亮条纹的衍射角。 解：由亮条纹条件a sinq2=l/ 2和k =2 得 a sinq2 = 5l / 2 由暗条纹条件a sinq 1=l/2和k = 1 得 8 a sinq 1=l 故 sinq 2/sinq 1=5/2 衍射角一般很小，sinq » q ，得 q 2=5/2q 1=1° 3假若侦察卫星上的照相机能清楚地识别地面上汽车的牌照号码。如果牌照上的笔划间的距离为4cm，在150km高空的卫星上的照相机的最小分辨角应多大？此照相机的孔径需要多大？光波的波长按500nm计算。 解：最小分辨角应为 d4´10-2-7q1=2.67´10rad l150´103照相机的孔径为 l500´10-9mD=1.22=1.22´=2.28m -7q12.67´104毫米波雷达发出的波束比常用的雷达波束窄，这使得毫米波雷达不易受到反雷达导弹的袭击。有一毫米波雷达，其圆形天线直径为55cm，发射波长为1.36mm的毫米波，试计算其波束的角宽度。将此结果与普通船用雷达的波束的角宽度进行比较，设船用雷达波长为1.57cm，圆形天线直径为2.33m。 9 解：根据提示，雷达波束的角宽度就是艾里斑的角宽度。根据(18.3.3)式，艾里斑的角宽度为 1.36´10-3m2q1=2.44=2.44´=0.00603rad D10.55l1同理可算出船用雷达波束的角宽度为 1.57´10-2m2q1=2.44=2.44´=0.0164rad D22.33l2对比可见，尽管毫米波雷达天线直径较小，但其发射的波束角宽度仍然小于厘米波雷达波束的角宽度，原因就是毫米波的波长较短。 5一束具有两种波长l1和l2的平行光垂直照射到一个衍射光栅上，测得波长l1的第3级主极大与l2的第4级主极大衍射角均为30°，已知l1=560nm，求：光栅常数d；波长l2。 解：由光栅衍射明纹公式 dsinq = kl 10 d = kl /sinq =3×5.6×10-7 m /sin30°=3.36×10-m 6 d sin30°= 4l2 l2= d sin30°/ 4 = 420 nm 6一个每毫米500条缝的光栅，用钠黄光垂直入射，观察衍射光谱，钠黄光包含两条谱线，其波长分别为589.6nm和589.0nm。求第2级光谱中这两条谱线互相分离的角度。 解：光栅公式：dsinq = kl d =1 mm /500 =2×10-3 mm l1=589.6 nm =5.896×10-4mm l2=589.0 nm =5.890×10-4mm 因为 k =2 所以 sinq1 = kl1/ d =0.5896 q1 =sin-10.5896=36.129° sinq2 = kl/d =0.5890 q2=sin-10.5890=36.086° 所以Dq = q1-q2 =0.043° 11 7平行光含有两种波长l1= 400.0nm，l2=760.0nm，垂直入射在光栅常数d = 1.0×10-cm的光栅上，透镜焦距3f = 50 cm，求屏上两种光第1级衍射明纹中心之间的距离。 解：由光栅衍射主极大的公式 d sinq 1 = kl1= 1l1 d sinq 2 = kl2= 1l2 x1 = f tgq 1 » f sinq 1= fl1 /d x2 = f tgq 2 » f sinq 2= fl2 /d x= x2- x1=1.8cm 8用波长l=700nm的单色光，垂直入射在平面透射光栅上，光栅常数为3×10-m的光栅观察，试问：最多6能看到第几级衍射明条 、纹？若缝宽0.001mm，第几级条纹缺级？ 解：由光栅方程d sinq = kl 可得：k =d sinq /l 可见k的可能最大值对应sinq =1。将d及l值代入上式，并设sinq =1，得 k=3´10-6700´10-9=4.28 12 k只能取整数，故取k =4，即垂直入射时最多能看到第4级条纹。 当d 和a 的比为整数比d=k时，k级出现缺级。ak'题中d= 3×10-m，a = 1×10-m，因此d/a = 3，故缺66级的级数为3，6，9¼。 又因k4，所以实际上只能观察到第3级缺级。 9白光垂直入射到每厘米有4000条缝的光栅，试求利用此光栅可以产生多少级完整的光谱？ 解：对第k级光谱，角位置的范围从q k紫到q k红，要产生完整的光谱，即要求l紫的第(k+1)级纹在l红的第k级条纹之后，亦即 qk红<q紫根据光栅方程d sinq = kl，得 dsinqk红=kl红 由以上三式得到 kl红<l紫 dsinql紫 所以只有k=1才满足上式，所以只能产生一级完整的可见光谱，而第2级和第3级光谱即有重叠出现。