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143正切函数的性质与图象SCH高中数学同步教学设计 1.4.3正切函数的性质与图象 教学目的： 知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象； 2.用正切函数图象解决函数有关的性质； 能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法； 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 德育目标：培养认真学习的精神； 教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 教学难点：正切函数的性质。 授课类型：新授课 教学模式： 启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 问题：正弦曲线是怎样画的？ 正切线? 练习正切线，画出下列各角的正切线： 下面我们来作正切函数图象 二、师生互动，新课讲解： 1正切函数y=tanx的定义域是什么？ íìx|x¹p2+kp,kÎzüîýþ 2正切函数是不是周期函数？ tan(x+p)=tanxæçpöèxÎR,且x¹kp+2,kÎz÷ø， p是y=tanxæèçxÎR,且x¹kp+p2,kÎzö÷ø的一个周期。 p是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3作y=tanx，xÎçæè-p2,pö2÷ø的图象 1 SCH高中数学同步教学设计 说明：正切函数的最小正周期不能比p小，正切函数的最小正周期是p； 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数 y=tanxxÎR，且x¹p2+kp(kÎz)的图象，称“正切曲线”。 y x -3p-p-pOpp322 22p 由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线x=kp+p2(kÎZ)所隔开的无穷多支曲线组成的。4正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： 定义域：íìx|x¹pî2+kp,kÎzüýþ； 值域：R 观察：当x从小于kp+p(kÎz)，x¾¾®kp+p22时，tanx¾¾®+¥ 当x从大于p2+kp(kÎz)，x¾¾®p2+kp时，tanx¾¾®-¥。 周期性：T=p； 奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函数是奇函数； 单调性：在开区间æçè-p2+kp,pö2+kp÷økÎz内，函数单调递增。 2 SCH高中数学同步教学设计 5.例题选讲： 例1:比较tançæ-13pö÷与tanæ17pöè4øçè-5÷的大小ø解：Qtançæ-13pöpæ17pöè4÷ø=-tan4，tançè-÷2p5ø=-tan5， 又：0<pp4<25,y=tanx在æçpöè0,2÷ø内单调递增， tanp2p5,-tanp4>-tan2p5,即tanæç-13pö÷>tanæ17ö4<tanè4øçè-5p÷ø 变式训练1：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小 解：90°135°138°270° 又ytanx在x(90°，270°)上是增函数 tan135°tan138° 例2:讨论函数y=tançæx+pöè4÷的性质ø 略解：定义域：íìx|xÎR且x¹kppî+4,kÎzüýþ 值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在çækp-3pè4,kp+pö4÷上是增函数ø 图象：可看作是y=tanx的图象向左平移p单位4 变式训练2：求函数ytan2x的定义域 解：由2xkp2，(kZ) 得xkp2p4，(kZ) ytan2x的定义域为：xxR且xkp2p4，kZ 求下列函数的周期： y=3tançæx+pöè5÷ø 答：T=p。 y=tanæçpöè3x-6÷ø 答：T=p3。 3 SCH高中数学同步教学设计 说明：函数y=Atan(wx+j)(A¹0,w¹0)的周期T= 例3求函数y=tan( 变式训练3：求函数y=tanç3x-p wp2x+p3)的定义域，周期和单调区间。 ÷的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性。 3øppkp5p解：由3x-¹kp+得x¹， +32318pkp5pìü+,kÎzý，值域为R，周期T=，是非奇非偶函数，在区间所求定义域为íx|xÎR,且x¹3183îþækppkp5pö-,+ç÷(kÎz)上是增函数。 318318èøæèpö课堂巩固练习 例4：用图象求函数y=tanx-3的定义域。 解：由tanx-3³0 得 tanx³3， 利用图象知，所求定义域为êkp+亦可利用单位圆求解。 变式训练4函数y=1-tanx的定义域是 çkp- 4 éëp3,kp+pö÷(kÎZ)， 2øy T 3 0 y 3 0 pp A x 32x æèp2,kp+pù4úû(kÎZ) SCH高中数学同步教学设计 三、课堂小结，巩固反思： 1.因为正切函数y=tanx的定义域是x|xÎR,x¹kp+行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。 2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是个单位，就可以得到整个正切函数的图象。 3讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如ytan(x)，x注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 p2,kÎZ，所以它的图象被x=±p3,±p,.等相互平22kpw+pp (kZ)的周期T；2ww四、课时必记： 1要求记住正切函数y=tanx的图象与性质。 2、正切函数y=tanx的定义域是x|xÎR,x¹kp+p2,kÎZ 3、ytan(x+j)，的最小正周期T五、分层作业： A组： 1、 2、 3、 4、 5、 B组： 1、求函数y=3tan(2x- p； |w|p)的单调区间。 45 SCH高中数学同步教学设计 2、(tb0137501)求函数y=tan(x-p3)-2的定义域、值域和周期。 3、 C类： 1、(tb12169273)关于函数f(x)=4sin(2x+p3) (xÎR)，有下列命题： (1) 由f(x1)=f(x2)=0，可得x1-x2必是p的整数倍； (2) y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(7p6-2x)； (3) y=f(x)的图象关于点(5p6,0)对称； (4) y=f(x)的图象关于x= -7p6对称； 其中正确的是。 、 、 、 、 6