14《直角三角形的射影定理》教案.docx

14直角三角形的射影定理教案直角三角形的射影定理 教学目标 知识与技能 1能应用相似三角形的性质解决相关的几何问题； 2通过对射影定理的探究，使学生经历探索数学问题的过程，逐步形成探究问题的意识，发展探究问题的能力 过程与方法 类比正方体、长方体的表面积，讨论柱体、锥体、台体的表面积的求法 情感态度与价值观 通过小组活动，让学生体验合作学习的愉悦，培养学生团队合作精神 教学重点 射影定理的证明 教学难点 建立三角形以外的、和三角形有关的元素与三角形相似比之间的关系 教学方法 师生协作共同探究法 教学用具 黑板 多媒体 教学过程设计 一 复习引入 前面已经学习了相似三角形的判定定理及性质定理，请学生回答以下两个问题：1相似三角形的判定定理及性质定理分别是什么？ 2如何判定两个直角三角形相似？ 二 新知探究 如图，ABC是直角三角形， CD为斜边AB上的高 提出问题： A D B C 图1 1在这个图形中,有哪几组相似三角形？ 2把学生分为三组，分组讨论：结合相似三角形对应边成比例的性质，寻找 1 / 4 每组三角形中的线段长度关系： ACD与CBD中，CD2= AD·BD , BDC与BCA中，BC2= BD·AB , CDA与BCA中，AC2= AD·AB 这三个关系式形式上完全一样，但不便于记忆，因此，在这里教师适时的引入射影的定义： 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影 一条直线在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影之间的线段 A A B 点和线段的正射影简称为射影 M A N M A B N 图2 请学生结合射影定义及图1，观察三个关系式的特点，在此基础上，即可得出射影定理： 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分 N 别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项 三 例题分析 例1 如图3，圆O上一点C在直径AB上的射影为DAD=2，DB=8,求CD、AC和BC的长 解：ACB是半圆上的圆周角， ACB=90°，即ABC是直角三角形 由射影定理可得： CD2=AD·BD=2×8=16，解得CD=4； AC2=AD·AB=2×10=20，解得AC=25； BC2=BD·AB=8×10=80，解得BC= 45 2 / 4 C C A D O B A D B 图3 图4 例2 如图4，ABC中，顶点C在AB边上的射影为D，且CD2=AD·BD求 证：ABC是直角三角形 N 证明：在CDA和BDC中，点 C在AB上的射影为D， N CDAB CDA=BDC=90° 又CD2=AD·BD， AD:CD=CD:DB CDABDC 在ACD中， CAD+ACD=90°, BCD+ACD=90° BCD+ACD=ACB=90° ABC是直角三角形 3 / 4 四 课堂练习 1 在ABC中，C=90°, CD是斜边AB上的高已知CD=60，AD=25，求BD、AB、AC、BC的长 2 如图，已知线段a、b，求作线段a和b的比例中项 (引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同的作图方法) 五 课堂小结 1 知识内容：掌握射影定理及其逆定理，并能熟练运用 2 思想方法：化归 六 课后作业 1 基础训练：在ABC中，C=90°, CDAB，垂足为D，AC=12,BC=5,求CD的长 2 小组探究：请学生以四人学习小组为单位，探究是否还有其它的方法来证明射影定理 a b 4 / 4