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1221导数 直线与圆 微积分 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 导数 1、导数的概念 导数的定义 认知：函数 是一个数值；的函数值。 求函数 在点 处的导数的三部曲： ； 的导数 在点 是以x为自变量的函数，而函数 处的导数 是 的导函数 在点 当 处的导数 时 求函数的增量 求平均变化率 ； 求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 导数的几何意义： 函数率。 2、求导公式与求导运算法则 基本函数的导数 公式1 常数的导数： 公式2 幂函数的导数： 。 ，即常数的导数等于0。 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜 公式3 正弦函数的导数： 公式4 余弦函数的导数： 公式5 对数函数的导数： 。 ； 公式6 指数函数的导数： 可导函数四则运算的求导法则 设 为可导函数，则有 ； 。 ； 法则1 法则2 ； 法则3 3、复合函数的导数 复合函数的求导法则 设 ，。 复合成以x为自变量的函数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，则复合函数 ，乘以中间变量u对自对自变量x的导数变量x的导数 即 ， 。 引申：设 认知认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第二层中间变量 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 的函数结构设出 ，由此一层一层分析， 为止。于是所给函数便“分解” ， 复合成函数 ， 则有一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数为若干相互联系的简单函数的链条： 运用上述法则求复合函数导数的解题思路 ； 分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数； 求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求； 还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。 二、导数的应用 1、函数的单调性 导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数 在某个区间内可导，则若 为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 利用导数求函数单调性的步骤 确定函数 求导数 令 当 时， ，解出相应的x的范围 在相应区间上为增函数；当 ； 的定义域； ，则在这一区间上为常函数。 时 在相应区间上为减函数。 强调与认知 利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式的取值范围为B，则应用 在某一区间内 是函数 在这一区间上为增 确定的x的取值集合为A，由 ； 确定的x函数的充分条件。因此方程函数划分单调区间时，除去确定 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。 举例： +）内递增。 2、函数的极值 函数的极值的定义 设函数 是函数 如果对记作 极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： 函数的极值点取得； 极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处 附近的所有点，都有 。 ，则说 是函数 的一个极小值， 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有 ； ，则说 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在内递减，在当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。 函数的极值的判定 设函数 可导，且在点 处连续，判定 ，右侧 ，右侧 是极大值的方法是 ，则 ，则 为极大值； 为极小值； 如果在点如果在点 附近的左侧 附近的左侧注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数探求函数极值的步骤： 求导数 求方程考察 的实根及 不存在的点； ； 的导数研究中悟出这一点。 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得极小值。 在这一点取得极大值，若左负右正，则将最小值。 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求已知函数f(x)=lnx-ax+1-a-1(aÎR) x当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程； 当a£ 曲线y=1时，讨论f(x)的单调性. 2x在点(-1,-1)处的切线方程为 x+2y=2x+1 y=2x-1 y=-2x-3 y=-2x-2 1直线l1与直线l2的的平行与垂直 若l1，l2均存在斜率且不重合： l1/l2Û k1=k2；l1l2Û k1k2=1。 若l1:A1x+B1y+C1=0, 若A1、A2、B1、B2都不为零。 l1/l2Ûl2:A2x+B2y+C2=0 A1B1C1； =¹A2B2C2A1B1； ¹A2B2A1B1C1； =A2B2C2l1l2Û A1A2+B1B2=0； l1与l2相交Ûl1与l2重合Û注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与¹0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2 距离 两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=(x2-x1)2+(y2-y1)2 特别地：AB/x轴，则AB=|x1-x2|、AB/y轴，则AB=|y1-y2|。 平行线间距离：若l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0， 则：d=C1-C2A+B22。注意点：x，y对应项系数应相等 点到直线的距离：P(xo,yo),l:Ax+By+C=0，则P到l的距离为：d=Axo+Byo+CA+B222223直线Ax+By+C=0与圆(x-a)+(y-b)=r的位置关系有三种 若d=Aa+Bb+CA+B22，d>rÛ相离ÛD<0； d=rÛ相切ÛD=0； d<rÛ相交ÛD>0。 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组íìAx+By+C=0îx+y+Dx+Ey+F=022求解，通过解的个数来判断： 当方程组有2个公共解时，直线与圆相交； 当方程组有且只有1个公共解时，直线与圆相切； 当方程组没有公共解时，直线与圆相离； 即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系： 相切Ûd=rÛ0； 相交Ûd<rÛ>0； 相离Ûd>rÛ<0。 4两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2=d。 d>r1+r2Û外离Û4条公切线； d=r1+r2Û外切Û3条公切线； r1-r2<d<r1+r2Û相交Û2条公切线； d=r1-r2Û内切Û1条公切线； 0<d<r1-r2Û内含Û无公切线； 外离 外切 相交 内切 内含 判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决 已知圆O：x+y=5和点A，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 若曲线y=x的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 A4x-y-3=0 Bx+4y-5=0 C4x-y+3=0 Dx+4y+3=0 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 例3 将直线2x-y+l=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x+y+2x-4y=0 相切，则实数l的值为 3或7 2或8 0或10 1或11 过原点O作圆x2+y6x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 2-22422则线段PQ的长为 。 题型1 直线与圆的位置关系 22例1 已知圆C：(x1)(y2)25，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR) (1) 求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程 (1) 证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0， mR， ìï2xy70，ìïx3，íí也就是直线l恒过定点A(3，1)由于|AC|5<5(半径)， 点ïxy40ïy1，îîA(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点 1(2) 解：弦长最小时，直线lAC，而kAC，故此时直线l的方程为2xy50. 2 变式训练 222已知圆xy6mx2(m1)y10m2m240(mR) (1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上； (2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离 已知圆C：(x3)(y4)4，直线l1过定点A(1，0) (1) 若l1与圆相切，求l1的方程； (2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由 解：(1) 若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意 若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0. |3k4k|3由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k. 24k1所求直线方程是x1或3x4y30. (2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0. ìïx2y20，æ2k2，3kö. 由í得Nç2k1÷è2k1øïkxyk0，î又直线CM与l1垂直， ìykxk，22ïk4k34k2köæ，由í得Mç22÷. 11k1kèøy4，ïkî22 AM·AN23öæ4k2köæk4kç1k21÷ç1k2÷· èøèø22222æ2k21öæ3kö ç2k1÷ç2k1÷èøèø2|2k1|31k21k·6为定值 21k|2k1|故AM·AN是定值，且为6. (解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0. ìïx2y20，æ2k2，3kö. 由í得Nç2k1÷è2k1øïkxyk0，îìïykxk，再由í 22ï4，î2得(1k)x(2k8k6)xk8k210. 222k4k34k2kö2k 8k 6æ，x1x2，得Mç22÷. 21kø1 kè1k以下同解法1. 22221(解法3)用几何法 连结CA并延长交l2于点B，kAC2，kl2， 2AMACCBl2.如图所示，AMCABN，则， ABAN3可得AM·ANAC·AB25·6，是定值 5自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：2xy4x4y70相切求： (1) 光线l和反射光线所在的直线方程； (2) 光线自A到切点所经过的路程 2定积分、微积分基本定理与应用 一知识结构 定积分的定义：bnòaf(x)dx=limån®¥i=1b-af(xi) n定积分的性质：òòba； kf(x)dx=kòf(x)dx abòf(x)±fa1bab2(x)dx=òf1(x)dx±òf2(x)dx； aacbacbb f(x)dx=òf(x)dx+òf(x)dx ：òbaf(x)dx=F(x)|ba=F(b)-F(a) n+1¢æ1xö¢¢¢nç÷()()sinx=-cosxcosx=sinx()n¹-1=lnxx= e=eax=ç，çlna÷èø2定积分的应用： 求曲边梯形的面积：S=； ò(f(x)-g(x)dxab注意：若是单曲线y=f(x)与x轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“” 求变速直线运动的路程：S=求变力做功：W=òv(t)dt； abòbaF(s)ds。 二. 典型例题 例1由抛物线y=x和直线x=1所围成的图形的面积等于 2 A1 B4 3C 2 3D 1 3如图，阴影部分的面积是 |x-4|dx= 0A23 CB9-23 D32 335 3ò12例1 2221 B 332523C D 33Aòpp2xcos2dx= 293a，求直线l的方程 2例3如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为4 已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为 2gt0A 3A 例3图 Bgt 202gt0C 22gt0D 69 平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m 求水面宽； 如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？ 例1已知圆O：x+y=5和点A，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 221(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上251525的截距分别是5和，所以所求面积为´´5=。 2224254由题意可直接求出切线方程为y-2=-本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力. 若曲线y=x的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为 A4x-y-3=0 Bx+4y-5=0 C4x-y+3=0 Dx+4y+3=0 解析：答案为D；与直线x+4y-8=0垂直的直线l为4x-y+m=0，即y=x3444在某一点的导数为4，而y¢=4x，所以y=x在(1，1)处导数为4，此点的切线为4x-y-3=0，故选A。 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 题型2：距离问题 例3 将直线2x-y+l=0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x+y+2x-4y=0 相切，则实数l的值为 3或7 2或8 0或10 1或11 本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决. 由题意可知：直线2x-y+l=0沿x轴向左平移1个单位后的直线l为： 222(x+1)-y+l=0.已知圆的圆心为O(-1,2)，半径为5. 解法1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有 |2´(-1+1)-2+l|=5，得l=-3或7. 5解法2：设切点为C(x,y)，则切点满足2(x+1)-y+l=0，即y=2(x+1)+l，代入圆方程整理得：5x+(2+4l)x+(l-4)=0， 由直线与圆相切可知，方程只有一个解，因而有D=0，得l=-3或7. 22解法3：由直线与圆相切，可知COl，因而斜率相乘得1，即y-2´2=-1，又因为x+1C(x,y)在圆上，满足方程x2+y2+2x-4y=0，解得切点为(1,1)或(2,3)，又C(x,y)在直线2(x+1)-y+l=0上，解得l=-3或7. 过原点O作圆x2+y6x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q， 2-则线段PQ的长为 。 可得圆方程是(x-3)+(y-4)=5又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得PQ=4. 题型1 直线与圆的位置关系 22例1 已知圆C：(x1)(y2)25，直线l：(2m1)x(m1)y7m40(mR) (1) 求证：不论m取什么实数，直线l与圆C恒交于两点； (2) 求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程 (1) 证明：直线l的方程整理得(xy4)m(2xy7)0， mR， ìï2xy70，ìïx3，íí也就是直线l恒过定点A(3，1)由于|AC|5<5(半径)， 点ïxy40ïy1，îîA(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒交于两点 1(2) 解：弦长最小时，直线lAC，而kAC，故此时直线l的方程为2xy50. 2变式训练 222已知圆xy6mx2(m1)y10m2m240(mR) (1) 求证：不论m取什么值，圆心在同一直线l上； (2) 与l平行的直线中，哪些与圆相交，相切，相离 ìx3m，ï22(1) 证明：配方得(x3m)y(m1)25.设圆心为(x，y)，则í消去m，ïîym1，得x3y30.故不论m取什么值，圆心在同一直线l：x3y30上 (2) 解：设与l平行的直线为n：x3yb0，则圆心到直线l的距离d|3m3b|3b|，由于圆的半径r5， 当d<r，即5103<b<51031010时，直线与圆相交；当dr，即b±5103时，直线与圆相切；当d>r，即b<5103或b>5103时，直线与圆相离 题型2 直线与圆相交的弦的问题 22例2 已知圆C：x(y3)4，一动直线l过A(1，0)与圆C相交于P、Q两点， 22M是PQ中点，l与直线m：x3y60相交于N. (1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C； (2) 当PQ23时，求直线l的方程； (3) 探索AM·AN是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由 1(1) 证明： l与m垂直，且km， 3 kl3.又kAC3，所以当l与m垂直时，l的方程为y3(x1)，l必过圆心C. (2) 解：当直线l与x轴垂直时， 易知x1符合题意当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.因为PQ2 3，所以CM43|k3|41，则由CM1，得k， 直线l：4x3y40. 从而所求的直线l的方程23k1为x1或4x3y40. (3) 解： CMMN， AM·AN(ACCM)·ANAC·ANCM·ANAC·AN . 5ö5öææ当l与x轴垂直时，易得Nç1，÷，则ANç0，÷.又AC(1，3)， AM·AN3ø3øèèìïyk，AC·AN5；当l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，则由í ïîx3y60，æ3k6，5kö，则æ5，5kö. 得NçANç÷÷è13k13køè13k13kø15k5 AM·ANAC·AN5. 13k13k综上，AM·AN与直线l的斜率无关，且AM·AN5. 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知ACm，又CMl， 四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得AM·AN|AM|·|AN|AC|·|AB|5. 备选变式 22已知圆C：(x3)(y4)4，直线l1过定点A(1，0) (1) 若l1与圆相切，求l1的方程； (2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x2y20的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由 解：(1) 若直线l1的斜率不存在，即直线是x1，符合题意 若直线l1斜率存在，设直线l1为yk(x1)，即kxyk0. |3k4k|3由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即2，解得k. 24k1所求直线方程是x1或3x4y30. (2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0. ìïx2y20，æ2k2，3kö. 由í得Nç÷2k12k1èøïkxyk0，î又直线CM与l1垂直， ìykxk，22ïk4k34k2köæ，由í得Mç22÷. 11k1køèy4，ïkî AM·AN23öæ4k2köæk4kç1k21÷ç1k2÷· èøèø22222æ2k21öæ3kö ç2k1÷ç2k1÷èøèø2|2k1|31k21k·6为定值 21k|2k1|2故AM·AN是定值，且为6. (解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kxyk0. ìïx2y20，æ2k2，3kö. 由í得Nç÷2k12k1èøïkxyk0，îìïykxk，再由í 22ï4，î得(1k)x(2k8k6)xk8k210. 222k4k34k2kö2k 8k 6æ，x1x2，得Mç. 2221k÷1 kè1kø以下同解法1. 2222(解法3)用几何法 1连结CA并延长交l2于点B，kAC2，kl2， 2AMACCBl2.如图所示，AMCABN，则， ABAN3可得AM·ANAC·AB25·6，是定值 5题型3 圆的切线问题 22例3 求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程 222解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)(yb)r. 圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，4)又已22知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|437或|CA|431. 222222 当C1(a，4)时，有(a2)(41)7或(a2)(41)1(无解)，故可得a2222222±210. 所求圆方程为(x2210)(y4)4或(x2210)(y4)4. 222222 当C2(a，4)时，(a2)(41)7或(a2)(41)1(无解)，故a2±26. 222222 所求圆的方程为(x226)(y4)4或(x226)(y4)4. 备选变式 自点A(3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：22xy4x4y70相切求： (1) 光线l和反射光线所在的直线方程； (2) 光线自A到切点所经过的路程 解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为(3，3)，其次设过A的圆C的切线方程为 yk(x3)3. 43根据dr，即求出圆C的切线的斜率为k或k， 34进一步求出反射光线所在的直线的方程为 4x3y30或3x4y30. 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x3y30或3x4y30. 光路的距离为|AM|，可由勾股定理求得 222|AM|AC|CM|7.