122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则.docx

122 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则 备课人：王宏伟 年级组：高二 教材分析 本节内容是导数的计算这一节的关键部分，对后面更深刻地研究导数起着至关重要的作用在导数的定义中，我们不仅阐明了导数概念的实质，也给出了利用定义求导数的方法但是，如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数，往往是极为复杂和困难的，甚至是不可能的因此，我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则，借助它们来简化导数的计算过程因此教材直接给出了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，使得用定义求导数比较麻烦问题得以解决，为以后导数的研究带来了方便，同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来，使得导数的优越性发挥得淋漓尽致复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容教材在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题，但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透彻，就得继续研究导数教材层层深入，给我们展示了什么是复合函数，同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生因此，使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂 课时分配 2课时 第1课时(基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)； 第2课时(复合函数的求导法则) 第1课时 教学目标 1知识与技能目标 (1)熟练掌握基本初等函数的导数公式； (2)掌握导数的四则运算法则 2过程与方法目标 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 3情感、态度与价值观 通过学习本节课，培养学生对问题的认知能力由于利用定义求函数的导数非常复杂，本节课直接给出了八个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则学生不用推导而直接 1 / 12 去求一些简单函数的导数，认识事物之间的普遍联系，达到学有所用在训练中也加深了学生对学习数学的兴趣，激发学生将所学知识应用于实际的求知欲，培养浓厚的学习兴趣 教学重点：应用八个函数导数求复杂函数的导数. 教学难点：商求导法则的理解与应用. 教学过程： 一、复习回顾 复习五种常见函数y=c、y=x、y=x2、y= 二、提出问题，展示目标 我们知道,函数y=f(x)=xn(nÎQ*)的导数为y'=nxn-1，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。减。乘。除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。 三、合作探究 1分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表 函数 导数 函数 导数 1、y=x的导数公式填写下表 xy=c y=x y=x2 y=1 xy=x y=f(x)=xn(nÎQ*) y=c y'=0 y'=nxn-1 y'=cosx y=f(x)=xn(nÎQ*) y=sinx 2 / 12 y=cosx y'=-sinx y'=ax×lna(a>0) y'=ex f(x)=logaxf'(x)=1(a>0且a¹1) xlna1 xy=f(x)=ax y=f(x)=ex f(x)=logax f(x)=lnx f'(x)=根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数 y=x2与y=2x y=3与y=log3x 2导数运算法则： 和的导数 法则1 两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和，即 (u±v)¢u¢±v¢ 例1 求yxsinx的导数 解：y¢(x) ¢(sinx) ¢3xcosx 例2 求yxxx3的导数 解：y¢4x 2x1 积的导数 法则2 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数，即 (uv)¢u¢vuv¢ 由此可以得出 (Cu)¢C ¢uCu¢0Cu¢Cu¢ 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即 (Cu)¢Cu¢ 例3 求y2x3x5x4的导数 解：y¢6x6x5 例4 求y(2x3) (3x2) 的导数 解：y¢(2x3) ¢ (3x2)(2x3)(3x2) ¢4x(3x2)(2x3)·318x8x9 3 / 12 22222232342323x或：y=6x商的导数 3-2x2+9x-6，y¢=18x2-4x+9 例5求下列函数的导数 y=xtanx y=sinxsinx y= 1+cosxlog2x提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. 四、当堂检测 1填空： (3x1)(4x3) ¢( )(4x3) (3x1)( )； (xsinx) ¢( )x·sinxx· ( ) 2判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正： (3x)(2x) ¢2x(2x)3x(3x) (3x)(2x) ¢2x(2x)3x(3x) 3求下列函数的导数： y2x3x5x4； yaxbxc； ysinxx1； y(3x1)(2x)； 4求函数y=xsinxcosx的导数 5思考：设 f(x)x(x1) (x2) (xn)，求f ¢ (0) 6函数f(x)x(x1) (x2)(x3) (x100)在x0处的导数值为( ) A. 0 B. 100 C. 200 D. 100! 五、课堂总结 分四组写出基本初等函数的导数公式表： 导数的运算法则： 1和的导数 (u±v)¢u¢±v¢ 2积的导数 (uv)¢u¢vuv¢ 2232323322233223232222 4 / 12 3商的导数 六课后作业 1课本第18页习题1.1A组:4 2求下列函数的导数： y(1x)cosx； y=2cosx-3log22xx y=七、板书设计 1x-2x2+5x3 y=xtanx-cosx 1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则 一、复习回顾 复习五种常见函数y=c、三、合作探究 1分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表 2导数运算法则： 和的导数 积的导数 商的导数四、当堂检测 五课堂总结 六课后作业 y=x、y=x2、y=x的导数公式 二、提出问题，展示目标 八课后反思 第2课时 课程内容：复合函数的导数 内容分析： 复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解. 教学目标： 1知识与技能 理解复合函数的概念 能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式 5 / 12 理解并掌握复合函数的求导法则 2过程与方法 记基本初等函数求导公式，会利用基本初等函数求导公式求函数的导数 通过分析复合层次确定函数的复合顺序，为正确求导奠定基础 3情感态度与价值观 通过正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确培养学生严谨的治 学态度，做事的条理性和处理问题大局观，进而影响到学生的一生。 教学目的：理解 ，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入 1.常见函数的导数公式： C'=0；(xn)'=nxn-1；(sinx)'=cosx；(cosx)'=-sinx 2.法则1 u(x)±v(x)'=u'(x)±v'(x) 法则2 u(x)v(x)¢=u'(x)v(x)+u(x)v'(x), Cu(x)¢=Cu'(x) æuöu'v-uv'法则3 ç÷=(v¹0) 2vvèø'二、讲解新课 1.举出例子y=(3x-2)2、y=sinx2，让学生感觉到这既不是基本初等函数，也不是初等函数，然后引入如何函数的概念。 2.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数由函数y=f(u)与u=j(x)复合而成的函数一般形式是y=fj(x)，其中u称为中间变量. 3.求函数y=(3x-2)的导数的两种方法与思路： 2¢¢方法一：y¢x=(3x-2)=(9x-12x+4)=18x-12； 方法二：将函数y=(3x-2)看作是函数y=u和函数u=3x-2复合函数，并分别求对 6 / 12 2222应变量的导数如下： ¢¢=(u2)¢=2u，u¢yux=(3x-2)=3 两个导数相乘，得 ¢u¢ yux=2u3=2(3x-2)3=18x-12， 从而有 y'x=y'u×u'x 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求yx时，就可以转化为求yu和ux的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同. 4.复合函数的导数：设函数u=j(x)在点x处有导数ux=j(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(j (x)在点x处也有导数，且y'x=y'u×u'x 或fx(j (x)=f(u) j(x). 证明： 设x有增量x，则对应的u，y分别有增量u，y，因为u=(x)在点x可导，所以u=j (x)在点x处连续.因此当x0时，u0. DyDyDuDyDy=lim=×当u0时，由. 且lim. Dx®0DuDu®0DxDxDuDxlimDyDyDuDyDuDyDu=lim×=lim×lim=lim×lim Dx®0DxDx®0DuDxDx®0DuDx®0DxDu®0DuDx®0Dx即y'x=y'u×u'x (当u0时，也成立) 5.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数. 6.复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代. 注意： 间变量的选择应是基本初等函数结构 键是正确分清函数的复合层次 般是从最外层开始，由外及里，一层一层地求导 善于把一部分表达式作为一个整体 最后要把中间变量换成自变量的函数 三、讲解范例 7 / 12 例1 试说明下列函数是怎样复合而成的？ y=(2-x2)3； y=sinx2； y=cos(p4-x)； y=lnsin(3x-1) 2解：函数y=(2-x2)3由函数y=u3和u=2-x复合而成； 函数y=sinx2由函数y=sinu和u=x复合而成； 函数y=cos(2p4-x)由函数y=cosu和u=p4-x复合而成； 函数y=lnsin(3x-1)由函数y=lnu、u=sinv和v=3x-1复合而成. 说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等. 例2 写出由下列函数复合而成的函数： 2y=cosu，u=1+x； y=lnu，u=lnx. 解：y=cos(1+x2)； y=ln(lnx). 例3 求y=(2x+1)5的导数 5解： 设y=u，u=2x+1，则 y'x=y'u×u'x=(u)'x×(2x+1)' =5u×2=5(2x+1)×2=10(2x+1). 注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导. 例4 求f(x)=sinx的导数. 解：令y=f(x)=sinu; u=x y'x=y'u×u'x=(sinu)u·(x)x=cosu·2x=cosx·2x=2xcosx 222225434f(x)=2xcosx 2 8 / 12 p例5 求y=sin(2x+)的导数. 32p分析: 设u=sin(2x+32p)时，求ux，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3pp)，再令u=sinv，v=2x+33. 解：令y=u，u=sin(2x+y'x=y'u×u'x=yu(uv·vx) pyx=yu·uv·vx=(u)u·(sinv)v·(2x+32)x =2u·cosv·2=2sin(2x+p3)cos(2x+p3)·2 pp=4sin(2x+)cos(2x+332p即yx=2sin(4x+) 3例6 求函数y=(2x3)22p)=2sin(4x+) 31+x2的导数. 2分析: y可看成两个函数的乘积，2x3可求导，1+x2是复合函数，可以先算出1+x2对x的导数. 解：令y=uv，u=2x3，v=21+x2, 令v=w，=1+x2 2¢¢¢v¢x=vw×wx =(w)w (1+x)x 1-12xx=w2(2x)= =22221+x1+xyx=(uv)x=uxv+uvx =(2x3)x·21+x2+(2x23)·x1+x2=4x1+x+22x3-3x1+x22=6x3+x1+x2即yx=6x3+x1+x 9 / 12 四、课堂练习 1求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y=(5x3) (2)y=(2+3x) (3)y=(2x) (4)y=(2x+x) 2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(nN) (1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx 解：(1)令y=sinu，u=nx *452332y'x=y'u×u'x=(sinu)u·(nx)x=cosu·n=ncosnx (2)令y=cosu，u=nx y'x=y'u×u'x=(cosu)u·(nx)x=sinu·n=nsinnx (3)令y=tanu，u=nx y'x=y'u×u'x=(tanu)u·(nx)x=(sinu)u·n cosu=1ncosu×cosu-sinu(-sinu)2n=·n=n·secnx 222cosucosnx(cosu)(4)令y=cotu，u=nx y'x=y'u×u'x=(cotu)u·(nx)x=(cosu)u·n sinu=五、课堂小结 1n-sinu×sinu-cosu×cosu2·n=·n=ncscnx. 222sinusinnx(sinu)这节课你学到了什么?把它写下来！ 明确了什么是复合函数 学会了分解复合函数 复合函数的求导法则： 开阔思路，恰当选用求导数方法 计算要认真，要学会循序渐进。 复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导； 复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代. 六、课后作业 10 / 12 1. 课本第18页习题1.1A组:4、6 2. 求y=解：令y=33ax2+bx+c的导数. u，u=ax2+bx+c 321-2y'x=y'u×u'x=(u)u·(ax+bx+c)x=u3·(2ax+b) 32-2ax+b123=(ax+bx+c)(2ax+b)= 22333(ax+bx+c)即yx=2ax+b3(ax+bx+c)32213. 求y=sinx的导数. 211解：令y=u，u=sinx，再令u=sinv，v=x 21y'x=y'u×u'x·vx=(u)u·(sinv)v·(x)x 21211-10-1=2u·cosv·2=2sinx·cosx·2=x2·sinx xx12yx=x2sinx 设计意图：对一般学生布置第1题，而对学有余力的学生布置2、3题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。 七、板书设计 1.2.2 基本初等函数的导数及导数的运算法则 一、复习回顾 1.基本函数求导公式 2.求导法则 二、讲解新课 1. 复合函数概念 2. 复合函数求导的两种方法与思路 3. 复合函数的求导法则 4. 基本步骤 三、讲解范例 四、课堂练习 五课堂总结 六课后作业 11 / 12 八、课后反思 12 / 12