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12 充分条件和必要条件1.2 充分条件和必要条件 1从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义； 2结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 3培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识 构建充分条件、必要条件的数学意义； 命题条件的充分性、必要性的判断 一、复习回顾 1命题：可以判断真假的语句，可写成：若p则q 2四种命题及相互关系： 3请判断下列命题的真假： 若x=y,则x=y; 若x=y,则x=y; 若x>1,则x2>1; 若x>1,则x>122222来源:学.科.网二、讲授新课 1.推断符号“Þ”的含义： 一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果p成立，那么q一定成立,记作:“pÞq”; 如果“若p,则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“pÞ/q”. 用推断符号“Þ和Þ /”写出下列命题：若a>b，则ac>bc；若a>b，则a+c>b+c；2充分条件与必要条件 一般地，如果pÞq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件 如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？ 由上述定义知“pÞq”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解但同时说q是p的必要条件是为什么呢？q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的它符合上述的“若p则q”为真的形式“有之必成立，无之未必不成立” 必要性：必要就是必须，必不可少它满足上述的“若非q则非p”为真的形式“有之未必成立，无之必不成立” 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类： 充分必要条件，即 pÞq且qÞp； 充分不必要条件，即pÞq且qÞ/p； 必要不充分条件，即pÞ/q且qÞp； 既不充分又不必要条件，即pÞ/q且qÞ/p 3从不同角度理解充分条件、必要条件的意义 借助“子集概念”理解充分条件与必要条件。设A,B为两个集合，集合AÍB是指 xÎAÞxÎB。这就是说，“xÎA”是“xÎB”的充分条件，“xÎB”是“ xÎA”的必要条件。对于真命题“若p则q”，即pÞq，若把p看做集合A，把q看做集合B，“pÞq”相当于“AÍB”。 借助“电路图”理解充分条件与必要条件。设“开关A闭合”为条件A，“灯泡B亮” 为结论B，可用图1、图2来表示A是B的充分条件，A是B的必要条件。 A BA C B C A 图2 图1 B C A B图3 图4 回答下列问题中的条件与结论之间的关系： 若a>b，则a+c>b+c； 若x³0，则x2³0； 若两三角形全等，则两三角形的面积相等 三、例题 例1：指出下列命题中，p是q的什么条件 p：x-1=0，q：(x-1)(x+2)=0； p：两直线平行，q：内错角相等； p：a>b，q：a2>b2； p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形 四、课堂练习 课本P8 练习1、2、3 五、课堂小结 1充分条件的意义； 2必要条件的意义 六、课后作业： 1.2 充分条件和必要条件 教学目标： 1进一步理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2掌握判断命题的条件的充要性的方法； 教学重点、难点： 理解充要条件的意义，掌握命题条件的充要性判断 教学过程： 一、复习回顾 一般地，如果已知pÞq，那么我们就说p是q成立的充分条件，q是p的必要条件 来源:学科网ZXXK来源:学。科。网“a>b>c”是“(a-b)(b-c)(c-a)<0”的 充分不必要 条件 若a、b都是实数，从ab>0；a+b>0；ab=0；a+b=0；a2+b2>0；a2+b2=0中选出使a、b都不为0的充分条件是 二、例题分析 条件充要性的判定结果有四种，判定的方法很多，但针对各种具体情况，应采取不同的策略，灵活判断下面我们来看几个充要性的判断及其证明的例题 1要注意转换命题判定，培养思维的灵活性 例1：已知p：x+y¹-2；q：x、y不都是-1，p是q的什么条件？ 分析：要考虑p是q的什么条件，就是判断“若p则q”及“若q则p”的真假性 从正面很难判断是，我们从它们的逆否命题来判断其真假性 “若p则q”的逆否命题是“若x、y都是-1，则x+y=-2”真的 “若q则p”的逆否命题是“若x+y=-2，则x、y都是-1”假的 故p是q的充分不必要条件 注：当一个命题很难判断其真假性时，我们可以从其逆否命题来着手 2练习：已知p：x>2或x<；q：x>2或x<-1，则Øp是Øq的什么条件？ 32 £x£2 Øq:-1£x£23显然Øp是Øq的的充分不必要条件 方法二：要考虑Øp是Øq的什么条件，就是判断“若Øp则Øq”及“若Øq则Øp”的方法一：Øp:来源:Zxxk.Com真假性 “若Øp则Øq”等价于“若q则p”真的 “若Øq则Øp”等价于“若p则q”假的 故Øp是Øq的的充分不必要条件 2要注意充要条件的传递性，培养思维的敏捷性 例2：若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的什么条件？ 分析：命题的充分必要性具有传递性MÞNÛPÞQ 显然M是Q的充分不必要条件 3充要性的求解是一种等价的转化 例3：求关于x的一元二次不等式ax2+1>ax于一切实数x都成立的充要条件 分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化 ìa¹0ï由题可知等价于a=0或ía>0Ûa=0或0<a<4Û0£a<4 ïD<0î4充要性的证明，关键是理清题意，特别要认清条件与结论分别是什么 例4：证明：对于x、yÎR，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件 分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件 必要性：对于x、yÎR，如果x2+y2=0 则x=0，y=0 即xy=0 故xy=0是x2+y2=0的必要条件 不充分性：对于x、yÎR，如果xy=0，如x=0，y=1，此时x2+y2¹0 故xy=0是x2+y2=0的不充分条件 综上所述：对于x、yÎR，xy=0是x2+y2=0的必要不充分条件来源:Zxxk.Com例5：p：-2£x£10；q：1-m£x£1+m(m>0)若Øp是Øq的必要不充分条件，求实数m的取值范围 解：由于Øp是Øq的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件 ì1-m£-2于是有ím³9 10£1+mî三、练习： 1若命题甲是命题乙的充分不必要条件，命题丙是命题乙的必要非充分条件，命题丁是命题丙的充要条件，那么：命题丁是命题甲的什么条件 2对于实数x、y，判断“x+y8”是“x2或y6”的什么条件 3已知ab¹0，求证：a+b=1的充要条件是：a3+b3+ab-a2-b2=0. 简单的逻辑联结词复合命题 教学目标：加深对“或”“且”“非”的含义的理解，能利用真值表判断含有复合命题的真假； 教学重点：判断复合命题真假的方法； 教学难点：对“p或q”复合命题真假判断的方法 课 型：新授课 教学手段：多媒体 一、创设情境 1什么叫做命题？ 2逻辑联结词是什么？ 3什么叫做简单命题和复合命题？ 4复合命题的构成形式是什么？ p或q(记作“pq” )； p且q(记作“pq” )；非p(记作“q” ) 二、活动尝试 问题1: 判断下列复合命题的真假 87 2是偶数且2是质数； p不是整数； 解：真；真；真； 命题的真假结果与命题的结构中的p和q的真假有什么联系吗？这中间是否存在规律？ 三、师生探究 1“非p”形式的复合命题真假： 例1：写出下列命题的非，并判断真假： 2p：方程x+1=0有实数根 2p：存在一个实数x，使得x9=0 2p:对任意实数x，均有x2x+10； p：等腰三角形两底角相等 显然，当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真 2“p且q”形式的复合命题真假： 例2：判断下列命题的真假：正方形ABCD是矩形，且是菱形； 5是10的约数且是15的约数 5是10的约数且是8的约数 x2-5x=0的根是自然数 所以得：当p、q为真时，p且q为真；当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 3“p或q”形式的复合命题真假： 例3：判断下列命题的真假：5是10的约数或是15的约数； 5是12的约数或是8的约数； 5是12的约数或是15的约数； 方程x23x-4=0的判别式大于或等于零 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 四、数学理论 1“非p”形式的复合命题真假： 当p为真时，非p为假； 当p为假时，非p为真 来源:Zxxk.Comp 真 假 非p 假 真 2“p且q”形式的复合命题真假： 当p、q为真时，p且q为真； 当p、q中至少有一个为假时，p且q为假。 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 p且q 真 假 假 假 3“p或q”形式的复合命题真假： 当p、q中至少有一个为真时，p或q为真；当p、q都为假时，p或q为假。 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 P或q来源:Zxxk.Com真 真 真 假 注：1°像上面表示命题真假的表叫真值表； 2°由真值表得： “非p”形式复合命题的真假与p的真假相反； “p且q”形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情况为假； “p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况为真； 3°真值表是根据简单命题的真假，判断由这些简单命题构成的 复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。如：p表示“圆周率是无理数”，q表示“ABC是直角三角形”，尽管p与q的内容毫无关系，但并不妨碍我们利用真值表判断其命题p或q 的真假。 4°介绍“或门电路”“与门电路”。 或门电路 与门电路 五、巩固运用 例4：判断下列命题的真假： 43 44 45 对一切实数x,x2+x+1³0 分析：为例： 第一步：把命题写成“对一切实数x,x2+x+1>0或x2+x+1=0”是p或q形式 第二步：其中p是“对一切实数x,x2+x+1>0”为真命题；q是“对一切实数x,x2+x+1=0”是假命题。 第三步：因为p真q假， 由真值表得：“对一切实数x,x2+x+1³0”是真命题。 例5：分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假： p：2+2=5； q：3>2 p：9是质数； q：8是12的约数； p：11，2； q：1Ì1，2 p：FÌ0； q：F=0 解：p或q：2+2=5或3>2 ；p且q：2+2=5且3>2 ；非p：2+2¹5. p假q真，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真. p或q：9是质数或8是12的约数；p且q：9是质数且8是12的约数；非p：9不是质数. p假q假，“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真. p或q：11，2或1Ì1，2；p且q：11，2且1Ì1，2；非p：1Ï1，2. p真q真，“p或q”为真，“p且q”为真，“非p”为假. p或q：Ì0或=0；p且q：Ì0且=0 ；非p：Ë0. p真q假，“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假. 七、课后练习 1命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是 A简单命题 B非p形式的命题 Cp或q形式的命题 Dp且q的命题 2如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是 A“p且q”是假命题 B“p或q”是真命题 C“非p”是真命题 D“非q”是真命题 3如果命题“p或q”和“非p”都是真命题，则命题q的真假是_。 如果命题“p且q”和“非p”都是假命题，则命题q的真假是_。 4分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假. 来源学_科_网Z_X_X_K来源:Z。xx。k.Com(1)5和7是30的约数. (2)菱形的对角线互相垂直平分. (3)8x52无自然数解. 5判断下列命题真假： 108； 为无理数且为实数； 2+2=5或32 若AB=Æ，则A=Æ或B=Æ 来源:学科网ZXXK6已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围。 八、参考答案： 1D 2D 3真；假 4(1)是“p或q”的形式.其中p：5是30的约数；q：7是30的约数，为真命题 (2) “p且q”其中p：菱形的对角线互相垂直；q：菱形的对角线互相平分；为真命题 (3)是“p”的形式.其中p：8x52有自然数解.p：8x52有自然数解如x0，则为真命题故“p”为假命题 5假命题；真命题；真命题真命题 6由p命题可解得m2，由q命题可解得1m3； 由命题p或q为真，p且q为假，所以命题p或q中有一个是真，另一个是假 ìm>2Þm³3 若命题p真而q为假则有ím£1,或m³3î若命题p真而q为假，则有íìm£2Þ1<m£2 î1<m<3所以m3或1m2