111无穷小的阶及其比较.docx

111无穷小的阶及其比较模块基本信息 一级模块名称 先行知识 函数与极限 无穷小与无穷大 知识内容 1、无穷小比较的概念； 2、运用概念进行无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小； 能力目标 时间分配 修订 25分钟 编撰 教学要求 二级模块名称 模块编号 模块编号 基础模块 1-11 1-10 掌握程度 熟记 三级模块名称 无穷小阶的比较 1、理解无穷小比较的概念； 2、能运用概念进行无穷小阶的比较； 肖莉娜 二审 校对 方玲玲 审核 危子青 培养学生的计算能力 危子青 熊文婷 一、正文编写思路及特点： 思路：本文利用无穷小的性质引入无穷小的比较，为后续利用等价无穷小求极限作好铺垫。 特点：利用速度，引入阶的概念。 二、授课部分 1、预备知识 无穷小的定义：极限为零的变量称为无穷小量. 无穷小的性质：有限多个无穷小量的代数和、差、积仍是无穷小. 2、导入部分 有限个无穷小的和、差、积都是无穷小，商呢？ 举例，当x®0时，x,x2,sinx,1-cosx都是无穷小，而 1-cosx1x2xsinx= lim=0,lim2=¥,lim=1,lim2x®0x®0xx®0xx®0x2x 结论：商不一定是无穷小，解释为什么会出现这种情况。 例举：运动会赛场上的赛跑为什么会出现第一名、第二名、倒数第一名。 结论是速度不一样，同样的，由于无穷小趋向于零的速度不一样，于是，就有了阶的概念。 3、无穷小比较的概念 定义1 设a及b都是在同一自变量变化过程中的无穷小，且b¹0， 若lima=0，则称a是比b高阶的无穷b小，记作a=o(b)； 若lim小； 若lim无穷小； 特别地，若lima=¥，则称a是比b低阶的无穷ba=c¹0，则称a与b是同阶的ba=1，则称a与b是等价b无穷小，记作a:b； 若lim穷小. 举例： a=c¹0，则称a是b的k阶无kbx2lim=0，所以当x®0时，x2是比x高阶的无穷小，即x®0xx2=o(x)(x®0); x=¥，所以当x®0时，x是比x2低阶的无穷小； 2x®0xsinxlim=1，所以当x®0时，sinx与x是等价无穷小，即x®0xlimsinx:x(x®0)； 1-cosx1=，所以当x®0时，1-cosx与x是同阶的无2x®0x2穷小； 1-cosx1lim=，所以当x®0时，1-cosx是x的二阶无穷x®0x22小. lim三、案例讲解 例1. 证明x®0时，arcsinx:x. 证: 令 t=arcsinx 则 x=sint 当x®0时t®0 limarcsinxt=lim=1 x®0t®0sintx所以当x®0时，arcsinx:x. 例2.证明当x®0时，tanx-sinx是x的3阶无穷小量. 证明：limtanx-sinxtanx1-cosx1=lim=， x®0x®0x2x3x2所以，当x®0时，tanx-sinx是x的3阶无穷小量. 1 例3. 证明当x®0时，x2+x3sin是x的2阶无穷小量. 1x2+x3sinx=lim(1+xsin1)=1， 证明：limx®0x®0x2x1所以，当x®0时，x2+x3sin是x的2阶无穷小量. xx(选讲)例4. 证明x®0时，n1+x-1:. n证: 令n1+x-1=t，则 0n1n-1n-1nx=(1+t)-1=Cnt+Cnt+L+Cnt+Cn-1nnlimx®01+x-1tnt=lim=lim0n=1 1n-1n-1nt®0t®0x1nCnt+Cnt+L+Cnt+Cn-1(1+t)-1nn()x. n注：不是所有的无穷小都能比较. 1例如,当x®0时,xsin与x都是无穷小,但是,x1xsinx=limsin1而limsin1不存在,所以当x®0时,xsin1与limx®0x®0x®0xxxxx是不能比较的. 所以当x®0时，n1+x-1:四、能力反馈部分 1.证明：当x®0时，有： arctanx:x ln(1+x):x 2.当x®0时，1+x3-1与x相比是几阶无穷小？ 113.证明：函数y=sin在区间