10个导数题.docx
10个导数题极值点偏移的问题 1.已知f(x)=lnx-ax,(a为常数）若函数1f(x)在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；1当a=1时，试比较f(m)与f的大小；mf(x)有两个零点x1,x2,证明：x1×x2e2变式：已知函数f(x)=lnx-ax2，a为常数。?讨论f(x)的单调性；若有两个零点x1,x2,，试证明：x1×x2ex2.已知f(x)=x2+ax+sin,xÎ(0,1);2(1)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(x0)若f(x1)=f(x2),求证x1+x22x013.已知f(x)=lnx-ax2+x,(aÎR)2(1)若f(1）=0，求函数f(x)的最大值；令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；若a=-2,正实数x1,x2,满足+f(x2)+x1x2=0,证明：x1+x2³5+124.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)证明：当x>1时，g(x)>0恒成立；2(x-1)x+1若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围；若函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求证：x1x2>e25.已知f(x)=x-2a-alnx,常数aÎR。求1f(x)的单调区间；f(x)有两个零点x1,x2，且x1<x2；(i)指出a的取值范围，并说明理由；求a的取值范围； 证明：f¢(； x1x2<0x2-1=t，x1-1)设点C在函数y=f(x)的图象上，且ABC为等腰直角三角形，记求(a-1)(t-1)的值 f¢(x)=ex-a 若a0，则f¢(x)>0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾所以a>0，令f¢(x)=0，则x=lna 当x<lna时，f¢(x)<0，f(x)是单调减函数；x>lna时，f¢(x)>0，f(x)是单调增函数； 于是当x=lna时，f(x)取得极小值 因为函数f(x)=ex-ax+a(aÎR)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1x2)， 所以f(lna)=a(2-lna)<0，即a>e2. 此时，存在1<lna，f(1)=e>0； 存在3lna>lna，f(3lna)=a3-3alna+a>a3-3a2+a>0， 又由f(x)在(-¥，lna)及(lna，+¥)上的单调性及曲线在R上不间断，可知a>e2为所求取值范围. xx2x1ìïe1-ax1+a=0，因为íx 两式相减得a=e-e 2x2-x1ïîe-ax2+a=0，x1+x2x1+x2x2x12x1+x2x2-x1e-e2¢é=e-=e2s-(es-e-s)ù=s(s>0)，则f记ëû，设2x2-x12s2()g(s)=2s-(es-e-s)，则g¢(s)=2-(es+e-s)<0，所以g(s)是单调减函数， 则有g(s)<g(0)=0，而ex1+x222s>0，所以f¢x<0 (x+2)12又f¢(x)=ex-a是单调增函数，且所以f¢x1+x2>x1x2 2(x1x2<0 )依题意有exi-axi+a=0，则a(xi-1)=exi>0Þxi>于是ex0=x1+x22=a(x1-1)(x2-1)，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以x1+x2Î(x1，x2)，即y0=f(x0)<0， 2由直角三角形斜边的中线性质，可知x2-x1=-y0， 2x1+x2x-xx2-x1=0，即e2-a(x1+x2)+a+21=0， 所以y0+222所以a(x1-1)(x2-1)-a(x1+x2)+a+2x2-x1=0， 2(x2-1)-(x1-1)=0 2即a(x1-1)(x2-1)-a(x1-1)+(x2-1)+2x2-1-1x2-1ax2-1x1-1因为x1-1¹0，则a-1+=0， x1-12x1-12()又x2-1=t，所以at-a(1+t2)+1(t2-1)=0， x1-122即a=1+2，所以(a-1)(t-1)=2. t-17.已知函数f(x)=xc(xÎR) 求函数f(x)的单调区间和极值； 已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当-xx>1时，f(x)>g(x) 如果x1¹x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x2>2 解：f(x)=(1-x)e令f(x)=0,解得x=1 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 X f(x) f(x) (-¥,1) + 1 0 极大值 (1,+¥) - -xZ 所以f(x)在(-¥,1)内是增函数，在(1,+¥)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=1 ex-2证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=xe于是F'(x)=(x-1)(e2x-2-x+(x-2)ex-2 -1)e-x -1>0,又e-x>0,所以F(x)>0,从而函数F在1,+当x>1时，2x-2>0,从而e)是增函数。 2x-2又F(1)=e-e=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). )证明： 若(x1-1)(x2-1)=0,由及f(x1)=f(x2),则x1=x2=1.与x1¹x2矛盾。 若(x1-1)(x2-1)>0,由及f(x1)=f(x2),得x1=x2.与x1¹x2矛盾。 根据得(x1-1)(x2-1)<0,不妨设x1<1,x2>1. 由可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而-1-1f(x1)>f(2-x2).因为x2>1，所以2-x2<1，又由可知函数f(x)在区间内事增函数，所以x1>2-x2,即x1+x2>2. 8. 已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x (I)讨论f(x)的单调性；设a0，证明：当0<x<1时，f(1+x)>f(1-x)； aaa若函数y= f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)<0 9. 已知函数f(x)=1-xxe. 1+x2求f(x)的单调区间； 证明：当f(x1)=f(x2) (x1¹x2)时，x1+x2<0 2(-1+1-x)ex时，f'(x)£0,y=f(x)单调递减. 0上单调递增；在xÎ0，所以，y=f(x)在在由()知，只需要证明：当x>0时f(x) < f(x)即可。 1-xx1+x-xe-x2xf(x)-f(-x)=e-e=(1-x)e-1-x。 2221+x1+x1+x令g(x)=(1-x)e2x-1-x,x>0Þg'(x)=(1-2x)e2x-1。 令h(x)=(1-2x)e2x-1Þh'(x)=(1-2x)e2x=-4xe2x<0, Þy=h(x)在上单调递减Þh(x)<h(0)=0 Þy=g(x)在上单调递减Þg(x)<g(0)=0 e-xÞy=(1-x)e2x-1-x在上单调递减，但x=0时y=0. 21+xÞf(x)-f(-x)<0Þf(x)<f(-x) 所以，当f(x1)=f(x2)且x1¹x2时，x1+x2<0. 10.已知函数f(x)=alnx-x2. 当a=2时，求函数y=f(x)在,2上的最大值； 令g(x)=f(x)+ax，若y=g(x)在区间(0,3)上不单调，求a的取值范围； 12A(x1,0),B(x2,0)当a=2时，函数h(x)=f(x)-mx的图象与x轴交于两点，且0<x1<x2¢，又h(x)是h(x)的导函数.若正常数a,b满足条件a+b=1,b³a.证明：h¢(ax1+bx2)<0'22-2x2解 Qf(x)=-2x=, xx1函数y=f(x)在,1是增函数，在1,2是减函数，3分 2所以f(x)max=f(1)=2ln1-12=-1 4分 因为g(x)=alnx-x2+ax，所以g¢(x)=a-2x+a， 5分 x因为g(x)在区间(0,3)上不单调，所以g¢(x)=0在上有实数解，且无重根， 192x2¢g(x)=0=2(x+1+)-4Î(0,)，由，有a= 6分 x+12x+1又当a=-8时，g¢(x)=0有重根x=-2， 7分 综上aÎ(0,) 8分 h'(x)=922-2x-m，又f(x)-mx=0有两个实根x1,x2， x2ì2lnx1-x1-mx1=0222(lnx-lnx)-(xí，两式相减，得121-x2)=m(x1-x2)， 2î2lnx2-x2-mx2=0m=2(lnx1-lnx2)-(x1+x2), 10分 x1-x22(lnx1-lnx2)2-2(ax1+bx2)-+(x1+x2) ax1+bx2x1-x2'于是h(ax1+bx2)=2(lnx1-lnx2)2-+(2a-1)(x2-x1) 11分 ax1+bx2x1-x2Qb³a,2a£1,(2a-1)(x2-x1)£0 要证：h'(ax1+bx2)<0，只需证：2(lnx1-lnx2)2-<0 ax1+bx2x1-x2只需证：x1-x2x-ln1>0(*) 12分 ax1+bx2x2x11-t1-t=tÎ(0,1)+lnt<0u(t)=lnt+<0即可 Qu(t)在(*) 令，化为，只证x2at+bat+b上单调递增，u(t)<u(1)=0,lnt+x-x2x1-t+ln1<0<0，即1at+bx2at+bh'(ax1+bx2)<014分
