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1 静电场习题课1 静 电 场 习 题 课 教学基本要求 1.掌握静电场的电场强度和电势的概念以及电场强度叠加原理和电势叠加原理。掌握电势与电场强度的积分关系。能计算一些简单问题中的电场强度和电势。 2.理解静电场的规律；高斯定理和环路定理。理解用高斯定理计算电场强度的条件和方法。 3.了解导体的静电平衡条件，了解介质的极化现象及其微观解释。了解各向同性介质中D和E的关系和区别。了解介质中的高斯定理。 内容提要 一、电荷守恒定律(略) . 连续带电体激发的电势U=dq(4pe0r). q3二、库仑定律 ： F=q1q2r/(40r) . 4.静电场力的功 WAB=qVAB ； 三、电场强度E： 5. 场强与电势的微分关系 1定义：E=F/q0 (F为试验电荷q0在电场EE=gradV=(V/x)i+(V/y)j+(V/z)k . 中所受作用力)； 七、电偶极子： 2. 电场叠加原理E=SEi (矢量叠加)； 1.定义(略)； 点电荷系激发的电场：E=Sqiri/(4pe0r3)；2.电矩 Pe=ql； 连续带电体激发的电场： E= qrdq/(40r3) . 3.激发的电场： 2 四、高斯定理： 延长线上 E=1/(40) (2Pe/r3)； 1.电力线(略)； 中垂线上 E=1/(40) (Pe/r3)； 2.电场强度通量 e=SEdS (计算电场强度通4. 激发的电势 U=Pe·r / (40r3) ； 量时注意曲面S的法线正方向)； 5. 在均匀电场中受力矩 M= Pe×E. 3.高斯定理(过闭合曲面的电场强度通量)： 八、导体： 真空中 e=E×dS=Sqie0； S1.静电平衡条件 导体内E=0, 导体表面附近òò介质中 òD×dS=SqS0i； 4.库仑电场为有源场. 五、环路定理： 1.表达式E×dl=0； l外E垂直表面； 2.推论 (1)导体为等势体，导体表面为等势面， (2)导体表面曲率半径小处面电荷密度大， (3) 导体表面外附近电场E=/0, 3.静电屏蔽 (1) 空腔导体内的物体不受腔外电场的影响，(2)接地空腔导体外物体不受腔内电场的影响. 九、电介质： 1.有极分子取向极化,无极分子位移极化； 2.极化强度 P=Spe/V， 在各向同性介质中 P=0E ； 3.电位移矢量 D=0E+P， 在各向同性介质中D=0rE=E ，r=1+. 1 ò2. 静电场为保守场. 六、电势U： 1.定义式 (场强与电势的积分关系.下式 中p表示场点，(0) 表示电势零点)： U=òE×dl； p(0)2. 电势差 UAB=UA-UB=òBAE×dl； 3. 电势叠加原理 U=SUi (标量叠加)； 点电荷系激发的电势：U=Sqi/(4pe0r)； 十、电容： 1.定义式 C=Q/DU=Q/(U1U2)； 2.几种电容器的电容 (1)平行板电容器 C=S/d， (2)圆柱形电容器 C=2l/ln(R2/R1)， (3)球形电容器 C=4R2R1 /(R2R1)， (4)孤立导体球 C=4R； 十一、静电场的能量: 1.点电荷系相互作用能We= (1/2)SqiUi； 2.连续带电体的能量We= (1/2)qUdq； 3.电容器电能 We=(1/2)qU=(1/2)CU2=q2/(2C)； 4.静电场的能量密度 we=(1/2)D·E， We=V wedV=(1/2)V D·EdV. 十二、几种特殊带电体激发电场： 1.无限长均匀带电直线激发电场的场强 E=lr/(2pe0r2)； 练习一至练习七答案及简短解答 练习1 库仑定律 电场强度 2.均匀带电园环轴线上的场强与电势 E=Qx/4pe0 (x2+R2)3/2,U= Q/4pe0 (x2+R2)1/2； 3. 无限大均匀带电平面激发电场的场强 E=s/(2e0)； 4. 均匀带电球面激发的场强与电势： 球面内 E=0, U= Q/(4pe0 R) 球面外 E= Qr/(4pe0 r3), U= Q/(4pe0 r)； 5. 均匀带电球体激发的场强与电势： 球体内E=Qr/(4pe0R3), U=Q(3R2-r)/(8pe0R3); 球体外E= Qr/(4pe0 r3), U= Q/(4pe0 r)； 6. 无限长均匀带电圆柱面激发的场强： 柱面内 E=0, 柱面外 E=lr/(2pe0r2)； 7. 无限长均匀带电圆柱体激发的场强： 柱体内 E=lr/(2pe0R2)， 柱体外 E=lr/(2pe0r2) 十三、电源电动势： e=òE×dl e=òlE×dl -+一、选择题 C B A C D 二、填空题 1. l1d/(l1+l2). 2. 2qyj /4pe0 (a2+y2)3/2 , ±a/21/2. 3. M/(Esinq). dq=ldl =Q/(pR)Rd=Qd/p dE=dq/(4pe0r2) =Qd/(42e0R2) dEx=dEcos(+p) =dEcos dEy=dEsin(+p) =dEsin Ex=dEx=-dE x dl y q O dEy dEx x dE 三、计算题 1. 取环带微元 dq=sdS =s2p(Rsinq)Rdq =2psR2sinqdq dE=dqx/4pe0(r2+x2)3/2 22psRsinqdq(Rcosq) =4pe0R3=ssinqcosqdq/(2e0)p/20q æòO =Q/(2p2e0R2) Ey=òdEy-òp3p/2/2Qcosqdq(4p2e0R2) òp3p/2/2Qsinqdq(4p2e0R2)=0 故 E=Ex=Q2p2e0R2 方向沿x轴正向. ()练习2 电场强度 E=òssinqcosqdq(2e0)=s/(4e0) 方向：x轴正向. 2.取园弧微元 - 2 - 一、选择题 D C D B A 二、填空题 1. 2p/(4pe0x3), p/(4pe0y3). 2. l/(pe0a), 0 3. 5.14´105. 二、填空题 dE y P b dx x 1. s/(2e0),向左;3s/(2e0),向左;s/(2e0),向右. 2 -Q/e0, -2Qr0/(9pe0R2), -Qr0/(2pe0R2). 3 (q1+ q4)/e0, q1、q2、q3、q4, 矢量和 三、计算题 1. 取无限长窄条电荷元dx,电荷线密度 三、计算题 1 因电荷分布以中心面面对称,故电场强度方向垂直于平板,距离中心相等处场强大小相等.取如图所示的柱形高斯面:两底面DS以平板中心面对称,侧面与平板垂直. O dx DS x l¢=ldx/a 它在P点产生的电场强度为 dE=l¢/(2pe0r)=ldx/(2pe0ab2+x2) dEx=dEcosa=-lxdx/2pe0a(b2+x2) dEy=dEsina=lbdx/2pe0a(b+x) a/222Ex=dEx=ò-a/22pe0ab+xa/2òlxdx(22)lln(b2+x2)=0 =4pe0a-a/2a/2òE×dS=Q/e左边=òE×dS+òE×dS+òE×dS=2DSE S0 左底右底侧面(1) 板内|x|<a Q=Ey=dEy=ò222peab+x0-a/2òlbdx()òx-xr0cospx(2a)DSdx x= =r0(2ap)DSsinpx(2a)-x =4r0(a/p)DSsinpx/(2a) 得 E=2r0asinpx/(2a)/(pe0) (2)板外|x|>a =lb1x×arctan2pe0abblaarctanpe0a2ba/2-a/2 Q=òa-ar0cospx(2a)DSdx a=r0(2ap)DSsinpx(2a)-a =4r0(a/p)DS 得 E=2r0a/(pe0) 当x>0方向向右, 当x<0方向向左. 2. 取窄条面元dS=adx,该处电场强度为 E=l/(2pe0r) 过面元的电通量为 dFe=E×dS =l/(2pe0r)adxcosq =lacdx/2pe0(c2+x2) Fe=òdF b/2lacdx=ò22-b/22pe0(c+x)lac1x=×arctan2pe0ccb/2E y a b x r q c l 2. 球形空腔无限长圆柱带电体可认为是均匀带正电(体电荷密度为r)无限长圆柱体与均匀带负电(体电荷密度为-r)球体组成.分别用高斯定理求无限长均匀带电圆柱体激发的电场E1与均匀带电球体激发的电场E2.为求E1,在柱体内作同轴的圆柱形高斯面,有 -b/2òE×dS=2prlE=QeS0=pr12lre0 =laarctanb/(2c)/(pe0) 练习3 高斯定理 E1=rr1/(2e0) 方向垂直于轴指向外;为求E2,在球体内外作同心的球形高斯面,有 2E×dS=4prE=Qe0 2òS一、选择题 D A D C B - 3 - 球内r<a Q=-r4pr23/3 E2= -rr2/(3e0) 球外r>a Q=-r4pa3/3 E2= -ra3/(3e0r22) 负号表示方向指向球心.对于O点 E1=rd/(2e0), E2= -rr2/(3e0)=0 (因r2=0) 得 EO=ra/(2e0) 方向向右; 对于P点 E1=rd/(2e0), E2= -ra3/(12e0d2) 得 EP=rd/(2e0)- ra3/(12e0d2) 方向向左. 练习4 静电场的环路定理 电势 (2)无限长带电直线不能选取无限远为势能零点，因为此时带电直线已不是无限长了，公式E=l/(2pe0r)不再适用. 练习5 静电场中的导体 一、选择题 A A C D B 二、填空题 1. 2U0/3+2Qd/(9e0S). 2. 会, 矢量. 3. 是, 是, 垂直, 等于. 三、计算题 1. Ex=-¶U/¶x =-C1/(x2+y2)3/2+x(-3/2)2x/(x2+y2)5/2 = (2x2-y2)C /(x2+y2)5/2 Ey=-¶U/¶y =-Cx(-3/2)2y/(x2+y2)5/2 =3Cxy/(x2+y2)5/2 x轴上点(y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0 E=2Ci/x3 y轴上点(x=0) Ex=-Cy2/y5=-C/y3 Ey=0 E=-Ci/y3 2. B球接地,有 UB=U¥=0, UA=UAB UA=(-Q+QB)/(4pe0R3) UAB=QB/(4pe0)(1/R2-1/R1) 得 QB=QR1R2/( R1R2+ R2R3- R1R3) 一、选择题 A C B D D 二、填空题 11. (2q1+2q3+2q2). 8pe0R2 Edcosa. 3 -q/(6pe0R) 三、计算题 1.解：设球层电荷密度为r. r=Q/(4pR23/3-4pR13/3)=3Q/4p(R23-R13) 球内，球层中，球外电场为 E1=0, E2=r(r3-R13)/(3e0r2) , E3=r(R23-R13)/(3e0r2) 故¥R1R2¥j=òE×dr=òE1dr+òE2dr+òE3dr rrR1R2UA=Q/(4pe0R3)-1+R1R2/(R1R2+R2R3-R1R3) = -Q(R2-R1)/4pe0(R1R2+R2R3-R1R3) 练习6 静电场中的电介质 =0+r(R22-R12)/(6e0)+rR13/(3e0)(1/R2-1/R1)+ r(R23-R13)/(3e0R2) =r(R22-R12)/(2e0) =3Q(R22-R12)/8pe0(R23-R13) 2. (1)Ur1-Ur2=一、选择题 D D B A C 二、填空题 1. 非极性, 极性. 2. 取向, 取向; 位移, 位移. 3. -Q/(2S), -Q/(S) òr2r1ldr E2×dl=ò2per0r1r2=(l/2pe0)ln(r2/r1) - 4 - 三、计算题 1. 在A板体内取一点A, B板体内取一点B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有 EA=s1/(2e0)-s2/(2e0)-s3/(2e0)-s4/(2e0)=0 EA=s1/(2e0)+s2/(2e0)+s3/(2e0)-s4/(2e0)=0 而 S(s1+s2)=Q1 S(s3+s4)=Q2 有 s1-s2-s3-s4=0 二、填空题 1. 9.42×103N/C, 5×10-9C. 2. 52. 3 R1/R2, 4pe0(R1+R2), R2/R1. 三、计算题 1. (1)拉开前 C0=e0S/d W0=Q2/(2C0)= Q2d/(2e0S) 拉开后 C=e0S/(2d) W=Q2/(2C)=Q2d/(e0S) DW=W-W0= Q2d/(2e0S) (2)外力所作功 A=-Ae=-(W0-W)= W-W0= Q2d/(2e0S) 外力作功转换成电场的能量 用定义式解:A=2. 洞很细,可认为电荷与电场仍为球对称,由高斯定理可得球体内的电场为 E=(r4pr3/3)/(4pe0r2)(r/r) =rr/(3e0)=Qr/(4pe0R3) F=-qE=-qQr/(4pe0R3) F为恢复力, 点电荷作谐振动 s1+s2+s3-s4=0 s1+s2=Q1/S s3+s4=Q2/S 解得 s1= s4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66´10-8C/m2 s2= -s3=(Q1-Q2)/(2S)=0.89´10-8C/m2 两板间的场强 E=s2/e0=(Q1-Q2)/(2e0S) V=UAUB=òBAE×dl =Ed=(Q1-Q2)d/(2e0S)=1V òF×dl=Fd=QE¢d 四、证明题 1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的=Q(Q/S)/(2e0)d= Q2d/(2e0S) C B - - + - A - + + + 电场线.沿电场线ACB作环路ACBA,导体内直线BA的场强为零,ACB的电场与环路同向于是有 òE×dl=òE×dl¹0 与静电场的环路定理òE×dl=0相违背,故lòE×dl=òACBE×dl+ABl2ACB-qQr/(4pe0R3)=md2r/dt2 w= qQ/(4pe0mR3)1/2 因t=0时, r0=a, v0=0,得谐振动A=a,j0=0故点电荷的运动方程为 在同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线. 练习7 静电场习题课 r=acosqQ4pe0mR3t ()一、选择题 D B A C A - 5 - 课堂例题 一. 选择题 1.真空中有一均匀带电球体和一均匀带电球面，如果它们的半径和所带的电量都相等，则它们的静电能之间的关系是 (A) 均匀带电球体产生电场的静电能等于均匀带电球面产生电场的静电能. (B) 均匀带电球体产生电场的静电能大于均匀带电球面产生电场的静电能. (C) 均匀带电球体产生电场的静电能小于均匀带电球面产生电场的静电能. (D) 球体内的静电能大于球面内的静电能，球体外的静电能小于球面外的静电能. 2.如图1所示，一半径为a 的“无限长”圆柱面上均匀带电，其电荷线密度为l,在它外面同轴地套一半径为b的薄金属圆筒，圆筒原先不带电，但与地连接，设地的电势为零，则在内圆柱面里面、距离轴线为r的P点的场强大小和电势分别为： laln. (A) E=0，U=2pe0ra r P l ·b lbln. 2pe0alblln. (C) E=，U=2pe0r2pe0rlblln. (D) E=，U=2pe0a2pe0r(B) E=0，U=图1 3. 如图2所示，在真空中半径分别为R和2R的两个同心球面，其上分别均匀地带有电量+q 和-3q ，今将一电量为+Q的带电粒子从内球面处由静止释放，则该粒子到达外球面时的动能为： +q QqQq-3q (A) . (B) . Q 4pe0R2pe0RR · (C) Qq8pe0R. (D) 3Qq. 8pe0R2R 图2 d a · h h b · 4.如图3所示,厚度为d的“无限大”均匀带电导体板,电荷面密度为s ，则板两侧离板面距离均为h的两点a、b之间的电势差为： (A) 零. (B) s /2e 0 (C) s h/e 0. (D) 2s h/e 0. 5.关于试验电荷以下说法正确的是 (A) 试验电荷是电量极小的电荷； (B) 试验电荷是体积极小的电荷； (C) 试验电荷是体积和电量都极小的电荷； 图3 (D) 试验电荷是电量足够小，以至于它不影响产生原电场的电荷分布，从而不影响原电场;- 6 - 同时是体积足够小，以至于它所在的位置真正代表一点的电荷. 6.关于高斯定理的理解有下面几种说法,其中正确的是 (A) 如高斯面上E处处为零,则该面内必无电荷； (B) 如高斯面内无电荷,则高斯面上E处处为零； (C) 如高斯面上E处处不为零,则高斯面内必有电荷； (D) 如高斯面内有净电荷,则通过高斯面的电通量必不为零. 二. 填空题 1. 一均匀带电直线长为d,电荷线密度为+l,以导线中点O为球心，R为半径(R>d/2 ) 作一球面,如图4所示,则通过该球面的电场强度通量为 , 带电直线的延长线与球面交点P处的电场强度的大小为 , 方向 . 2.一空气平行板容器，两板相距为d，与一电池连接时两板之间相互作用力的大小为F，在与电池保持连接的情况下，将两板距离拉开到2d，则两板之间的相互作用力的大小是 . 3.电量分别为q1 , q2 , q3的三个点电荷分别位于同一圆周的三个点上,如图5所示,设无穷远处为电势零点,圆半径为R, 则b点处的电势U = . 4. 图6所示为某电荷系形成的电场中的电力线示意图，已知A点处有电量为Q的点电荷，则从电力可判断B处存在一 Q 的点电荷；其电量 | q | (填> ,< ,= )Q. 三. 计算题 1.如图7所示，一电荷面密度为s的“无限大”平面，在距离平图6 A B q1 · b 图5 图4 q2 · R O · q3 P R l O d 面a米远处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小 - 7 - O R a E · 图7 2.两平行的无限长半径均为r0的圆柱形导线相距为d (d >> r0 ) ，求单位长度的此两导线间的电容. 3.半径为R的一球体内均匀分布着电荷体密度为r的正电荷,若保持电荷分布不变,在该球体内挖去半径r 的一个小球体,球心为O´ , 两球心间距离OO¢ = d, 如图8所示 , 求： (1) 在球形空腔内,球心O¢处的电场强度E0 ； (2) 在球体内P点处的电场强度E.设O¢、O、P三点在同一直径上，且OP= d . 4.一均匀带电的球层, 其电荷体密度为r , 球层内表面半径为R1 , 外表面半径为R2 ,设无穷远处为电势零点, 求球层内任一点(R1<r0<R2)的电势. 附 课堂例题解答见稳恒磁场习题课 - 8 - d P O R d O¢ r r 图8