04 第四节 实对称矩阵的对角化.docx

04 第四节 实对称矩阵的对角化第四节 实对称矩阵的对角化 一个n阶矩阵A具备什么条件才能对角化？这是一个比较复杂的问题. 本节我们仅对A为实对称矩阵的情况进行讨论. 实对称矩阵具有许多一般矩阵所没有的特殊性质. 分布图示 实对称矩阵的性质 ( 1 ) 实对称矩阵的性质 ( 2 ) 对称矩阵对角化的方法 例1 例3 内容小结 习题4-4 例2 例4 课堂练习 内容要点 定理1 实对称矩阵的特征值都为实数. 注: 对实对称矩阵A，因其特征值li为实数, 故方程组 (A-liE)X=0 是实系数方程组, 由|A-liE|=0知它必有实的基础解系, 所以A的特征向量可以取实向量. 定理2 设l1,l2是对称矩阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量. 若l1¹l2, 则p1与p2正交. 定理3 设A为n阶实对称矩阵,l是A的特征方程的k重根,则矩阵A-lE的秩r(A-lE)=n-k,从而对应特征值l恰有k个线性无关的特征向量. 定理4 设A为n阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵P,使 P-1AP=L, 其中L是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵. 与上节将一般矩阵对角化的方法类似，根据上述结论，可求正交变换矩阵P将实对称矩阵A对角化的步骤为： (1) 求出A的全部特征值l1,l2,L,ls; (2) 对每一个特征值li, 由(liE-A)X=0求出基础解系; (3) 将基础解系正交化；再单位化; (4) 以这些单位向量作为列向量构成一个正交矩阵P，使 P-1AP=L. 注：P中列向量的次序与矩阵L对角线上的特征值的次序相对应. 例题选讲 æ1-20öç÷例1 (E01) 设实对称矩阵A=ç-22-2÷, 求正交矩阵P, 使P-1AP为对角矩阵. ç0-23÷èøl-1解 矩阵A的特征方程为|lE-A|=202l-2202=0 l-3(l+1)(l-2)(l-5)=0 l1=-1,l2=2,l3=5. 当l1=-1时，由(-E-A)x=0,得基础解系p1=(2,2,1)T. 当l2=2时，由(2E-A)x=0,得基础解系p2=(2,-1,-2)T. 当l3=5时，由(5E-A)x=0,得基础解系p3=(1,-2,2)T. 不难验证p1,p2,p3是正交向量组,把p1,p2,p3单位化，得 æ2/3öç÷pph1=1=ç2/3÷,h2=2=|p2|p1|ç÷1/3èøæ2/3öç÷p3=-1/3ç÷,h3=|p|3ç-2/3÷èøæ1/3öç÷-2/3ç÷ ç2/3÷èø1/3öæ2/32/3æ-100öç÷ç÷令P=(h1,h2,h3)=ç2/3-1/3-2/3÷, 则P-1AP=PTAP=ç020÷. ç1/3-2/32/3÷ç005÷èøèøæ400öç÷例2 (E02) 设有对称矩阵A=ç031÷, 试求出正交矩阵P, 使P-1AP为对角阵. ç013÷èøl-4解 |lE-A|=000l-3-10-1=(l-2)(4-l)2 l1=2,l2=l3=4. l-3æ0öç÷对l1=2,由(2E-A)x=0 基础解系p1=ç1÷, ç-1÷èøæ1öæ0öç÷ç÷对l2=l3=4,由(4E-A)x=0 基础解系p2=ç0÷,p3=ç1÷. ç0÷ç1÷èøèø所以p1,p2,p3两两正交. 再将p1,p2,p3单位化，令hi=pi|pi|(i=1,2,3) p2与p3恰好正交，æ0öæ0öæ1öç÷ç÷ç÷得 h1=ç1/2÷,h2=ç0÷,h3=ç1/2÷. ç1/2÷ç-1/2÷ç0÷èøèøèø故所求正交矩阵 æ0çP=(h1,h2,h3)=ç1/2ç-1/2è10ö÷01/2÷ 且P-1AP=01/2÷øæ200öç÷040ç÷. ç004÷èøæ200öç÷例3 已知A=ç0a2÷(其中a>0)有一特征值为1, 求正交矩阵P使得 ç02a÷èøP-1AP为对角矩阵. 解 A的特征多项式为 l-2|lE-A|=000l-a-20-2=(l-2)(l-a+2)(l-a-2) l-a由于A有特征值1，故有两种情形: 若a-2=1,则a=3;若a+2=1,则a=-1. 但a>0,所以只能是a=3.从而得A的特征值为2,1,5. 对l1=2,由(2E-A)x=0,得基础解系p1=(1,0,0)T; 对l2=1,由(E-A)x=0,得基础解系p2=(0,1,-1)T; 对l3=5,由(5E-A)x=0,得基础解系p3=(1,0,0)T; 因实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必相互正交, 故特征向量p1,p2,p3已是正交向量组，只需单位化: æ1æ11ö1ö÷ç÷h=h1=(1,0,0);h2=ç0,-;,3ç÷ç0,÷ 2222èøèøTTT00öæ1ç÷令P=(h1,h2,h3)=ç01/21/2÷, 则P-1AP=ç0-1/21/2÷èøæ200öç÷ç010÷. ç005÷èøæ2-1ön例4 设A=çç-12÷÷, 求A. èø解 因A对称，故A可对角化, 即有可逆矩阵P及对角阵L,使P-1AP=L.于是 A=PLP-1 An=PLnP-1. 由|A-lE|=2-l-1-12-l=l2-4l+3=(l-1)(l-3),得A的特征值l1=1,l2=3.于是 æ10önæ10öL=çç03÷÷,L=çç03n÷÷. èøèøæ1öç对应l1=1,由(A-E)x=0,解得对应特征向量P=1ç1÷÷ èøæ1ö对应l2=3,由(A-3E)x=0,解得对应特征向量P2=çç-1÷÷. èøæ11ö1æ11ö-1÷ç,令P=(p1,p2)=ç求出P=ç1-1÷ç1-1÷÷. 于是 2èøèøA=PLPnn-11=2æ11öæ10öæ11ö1æ1+3n1-3nö÷çç1-1÷÷çç03n÷÷çç1-1÷÷=2çç1-3n1+3n÷. èøèøèøèø课堂练习 æ2-20öç÷1. 设实对称矩阵A=ç-21-2÷, 试求出正交矩阵P, 使P-1AP为对角阵. ç0-20÷èø2. 设n阶实对称矩阵A满足A2=A,且A的秩为r, 试求行列式det(2E-A)的值.