03 第三节 正定二次型.docx

03 第三节 正定二次型第三节 正定二次型 内容分布图示 二次型有定性的概念 例1-3 正定矩阵的判定 定理6 矩阵的主子式 定理7 例4 例5 例6 内容小结 课堂练习 习题5-3 返回 内容要点: 一、二次型有定性的概念 定义1 具有对称矩阵A之二次型f=XTAX, (1) 如果对任何非零向量X, 都有 XTAX>0 成立，则称f=XTAX为正定二次型，矩阵A称为正定矩阵. (2) 如果对任何非零向量X, 都有 XTAX³0 成立，且有非零向量X0，使X0TAX0=0，则称f=XTAX为半正定二次型，矩阵A称为半正定矩阵. 注: 二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别. 二、正定矩阵的判别法 定理1 设A为正定矩阵,若AB(A与B合同),则B也是正定矩阵. 定理2 对角矩阵D=diag(d1,d2,L,dn)正定的充分必要条件是di>0(i=1,2,L,n). 定理3 对称矩阵A为正定的充分必要条件是它的特征值全大于零. 定理4 A为正定矩阵的充分必要条件A的正惯性指数p=n. 定理4 矩阵A为正定矩阵的充分必要条件矩阵是：存在非奇异矩阵C, 使A=CTC.即A与E合同。 推论1 若A为正定矩阵, 则|A|>0. 定理6 秩为r的n元实二次型f=XTAX, 设其规范形为 222z12+z2+L+z2p-zp+1-L-zr 则 (1) f负定的充分必要条件是p=0,且r=n. (即负定二次型,其规范形为22f=-z12-z2-L-zn) (2) f半正定的充分必要条件是p=r<n. (即半正定二次型的规范形为2f=z12+z2+L+zr2,r<n) 2-L-zr2,r<n) (3) f半负定的充分必要条件是p=0,r<n. (即f=-z12-z2222(4) f不定的充分必要条件是0<p<r£n. (即f=z12+z2+L+z2p-zp+1-L-zr) 定义2 n阶矩阵A=(aij)的k个行标和列标相同的子式 ai1i1ai2i1Laiki1ai1i2ai2i2Laiki2a12a22Lak2Lai1ikLai2ikLLLaikikLa1kLa2kLLLakk(1£i1<i2<L<ik£n) 称为A的一个k阶主子式.而子式 a11a|Ak|=21Lak1(k=1,2,L,n) 称为A的k阶顺序主子式. 定理7 n阶矩阵A=(aij)为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式|Ak|>0(k=1,2,L,n). 注：(1) 若A是负定矩阵，则-A为正定矩阵,。 (2) A是负定矩阵的充要条件是：(-1)k|Ak|>0,(k=1,2,L,n). 其中Ak是A的k阶顺序主子式. (3) 对半正定矩阵可证明以下三个结论等价: a. 对称矩阵A是半正定的; b. A的所有主子式大于或等于零； c. A的全部特征值大于或等于零. 例题选讲： 二次型有定性的概念 22例1(讲义例1) 二次型f(x1,x2,L,xn)=x12+x2+L+xn, 当x=(x1,x2,L,xn)T¹0时, 显然有 f(x1,x2,L,xn)>0, 所以这个二次型是正定的,其矩阵En是正定矩阵. 22例2 (讲义例2) 二次型f=-x12-2x1x2+4x1x3-x2+4x2x3-4x3,将其改写成 f(x1,x2,x3)=-(x1+x2-2x3)2£0, æ-1-12öç÷当x1+x2-2x3=0时, f(x1,x2,x3)=0,故f(x1,x2,x3)是半负定,其对应的矩阵ç-1-12÷ç22-4÷èø是半负定矩阵. 2例3 (讲义例3) f(x1,x2)=x12-2x2 是不定二次型, 因其符号有时正有时负, 如 f(1,1)=-1<0,f(2,1)>0. 正定矩阵的判别法 例4 (讲义例4) 当l取何值时, 二次型f(x1,x2,x3)为正定. 22. f(x1,x2,x3)=x12+2x1x2+4x1x3+2x2+6x2x3+lx3例5 (讲义例5) 判别二次型f(x,y,z)为负定. f(x,y,z)=-5x2-6y2-6z2+4xy+4xz. 例6 (讲义例6) 证明: 如果A为正定矩阵, 则A-1也是正定矩阵. 课堂练习 221.设二次型f(x1,x2,x3)=x12+x2+2x3+2tx1x2-2x1x3, 试确定当t取何值时, f(x1,x2,x3)为正定二次型. 2222.判别二次型f(x1,x2,x3)=2x1+4x2+5x3-4x1x3是否正定. æA0ö3.设A,B分别为m阶, n阶正定矩阵, 试判定分块矩阵C=çç0B÷÷是否为正定矩阵. èø