01 第一节 向量的内积.docx

01 第一节 向量的内积第四章 矩阵的特征值 第一节 向量的内积 在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质. rr在空间解析几何中，向量x=x1,x2,x3和y=y1,y2,y3的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积 rrrrrr x×y=|x|y|cos(x,y) 来表示，且在直角坐标系中，有 rr x×y=x1y1+x2y2+x3y3, r222 |x|=x1. +x2+x3本节中，我们要将数量积的概念推广到n维向量空间中，引入内积的概念 分布图示 引言 内积的定义与性质 例1 例2 例3 向量的长度与性质 单位向量及n维向量间的夹角 例4 例5 正交向量组 向量空间的正交基 求规范正交基的方法 例6 例7 例8 正交矩阵与正交变换 例9 内容小结 课堂练习 习题4-1 内容要点 一、内积及其性质 定义1 设有n维向量 æx1öç÷çx÷x=ç2÷,Mç÷çx÷ènøæy1öç÷çy÷y=ç2÷, Mç÷çy÷ènø令 x,y=x1y1+x2y2+L+xnyn, 称x,y为向量x与y的内积. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 æy1öç÷çy÷x,y=xTy=(x1,x2,L,xn)ç2÷. Mç÷çy÷ènø内积的运算性质 (其中x,y,z为n维向量,lÎR): (1) x,y=y,x; (2) lx,y=lx,y; (3) x+y,z=x,z+y,z; (4) x,x³0; 当且仅当x=0时, x,x=0. 二、向量的长度与性质 定义2 令 222|x|=x,x=x1+x2+L+xn, 称|x|为n维向量x的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性 |x|³0;当且仅当x=0时, |x|=0; (2) 齐次性 |lx|=|l|x|; (3) 三角不等式 |x+y|£|x|+|y|; (4) 对任意n维向量x,y, 有 x,y£|x|×|y|. 注: 若令xT=(x1,x2,L,xn),yT=(y1,y2,L,yn), 则性质(4)可表示为 åxiyii=1n£åi=1nxi2×åyi2 i=1n上述不等式称为柯西布涅可夫斯基不等式，它说明Rn中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系. 当|x|=1时, 称x为单位向量. 对Rn中的任一非零向量a, 向量a是一个单位向量,因为 |a|a1=|a|=1. |a|a|注: 用非零向量a的长度去除向量a,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量a单位化. 当|a|¹0,|b|¹0, 定义 q=arccos称q为n维向量a与b的夹角. 三、正交向量组 a,b(0£q£p). |a|×|b|定义3 若两向量a与b的内积等于零，即 a,b=0， 则称向量a与b相互正交. 记作ab. 注: 显然,若a=0, 则a与任何向量都正交. 定义4 若n维向量a1,a2,L,ar是一个非零向量组，且a1,a2,L,ar中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定理1 若n维向量a1,a2,L,ar是一组正交向量组，则a1,L,ar线性无关. 四、规范正交基及其求法 定义5 设VÌRn是一个向量空间， 若a1,a2,L,ar是向量空间V的一个基，且是两两正交的向量组，则称a1,a2,L,ar是向量空间V的正交基. 若e1,e2,L,er是向量空间V的一个基,e1,L,er两两正交, 且都是单位向量, 则称e1,L,er是向量空间V的一个规范正交基. 若e1,L,er是V的一个规范正交基, 则V中任一向量a能由e1,L,er线性表示, 设表示式为 a=l1e1+l2e2+L+lrer, 为求其中的系数li(i=1,2,L,r),可用eiT左乘上式, 有 eiTa=lieiTei=li, 即 li=eiTa=a,ei 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量a在规范正交基e1,L,er下的坐标为：(l1,l2,×××,lr). 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基. 规范正交基的求法: 设a1,L,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量e1,L,er,使e1,L,er与a1,L,ar等价. 这样一个问题,称为把a1,L,ar这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化 b1=a1;b2=a2-LLb1,a2b1;b1,b1b1,arb,ab,ab1-2rb2-r-1rbr-1.b1,b1b2,b2br-1,br-1br=ar-容易验证b1,L,br两两正交,且b1,L,br与a1,L,ar等价. 注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它不仅满足b1,L,br与a1,L,ar等价,还满足:对任何k(1£k£r), 向量组b1,L,bk与a1,L,ak等价. (2) 单位化: 取 bb2bre1=1,e2=,L,er=, |b1|b2|br|则e1,e2,L,er是V的一个规范正交基. 注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将Rn中的任一组线性无关的向量组a1,L,ar化为与之等价的正交组b1,L,bk；再经过单位化，得到一组与a1,L,ar等价的规范正交组e1,e2,L,er 五、正交矩阵与正交变换 定义6 若n阶方阵A满足 ATA=E (即A-1=AT), 则称A为正交矩阵, 简称正交阵. 定理2 A为正交矩阵的充分必要条件是A的列向量都是单位正交向量组. 注：由ATA=E与AAT=E等价,定理的结论对行向量也成立.即A为正交矩阵的充分必要条件是A的行向量都是单位正交向量组. 定义7 若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变换. 正交变换的性质：正交变换保持向量的长度不变. 例题选讲 例1设有R中的基e1=(1,0,0)T,e2=(0,1,0)T,e3=(0,0,1)T,试求ei与ej(i,j=1,2,3)的内积. 解 e1,e2=1´0+0´1+0´0=0, e2,e3=0´0+1´0+0´1=0, 3e3,e1=0´1+0´0+1´0=0. 同理可得 ei,ei=1(i=1，2，3). éæù1ö例2 求êça,ab-a,ba÷,3aú. 3øëèû解 êça,ab-a,ba÷,3aú3a,ab,a-a,ba,a éæëè13öøùû=3a,a-a,aa,b=2a,aa,b. 例3 a,b,g是n维实向量(n>1),下列算式无意义: a,bg=a,ab,g; a,b,g+2a. 解 在(1)中, a,b表示一个数，因此a,bg是一个向量，而a,a及b,g都是数，故a,ab,g也是数.于是(1)式变为一个向量减去一个数，显然没有意义. 在(2)中，a,b是数，a,bg表示a,b与g的数乘，a,bg,g表示a,bg与g的内积，事实上 a,bg,g=a,bg,g, 因此(2)式中第一项是一个数，而2a是一个向量，两者相加无意义. 例4 求R中向量a=(4,0,3)T,b=(-3,3,2)T之间的夹角q. 解 由 3|a|=42+02+32=5, |b|=(-3)2+32+22=4, a,b=4(-3)+0´3+3´2=6-43, 所以 cosq=例5 求R中的向量a=(1,0,-1,0,2)Tb=(0,1,2,4,1)T, 的夹角q. 解 因为 a,b=1´0+0´1+(-1)´2+0´4+2´1=0, 而 5a,b6-433-23=,|a|×|b|5´410q=arccos3-23. 10cosq=a,b=0, 所以q=90°. |a|b|æ1öæ-1öæ4öç÷ç÷ç÷例6 (E01) 设a1=ç2÷,a2=ç3÷,a3=ç-1÷, 试用施密特正交化方法, 将向量组正交 ç-1÷ç1÷ç0÷èøèøèø规范化. 解 不难证明a1,a2,a3是线性无关的.取b1a1； æ-1öæ1öç÷4ç÷a,bb2=a2-21b=ç3÷-ç2÷=12|b1|ç1÷6ç-1÷èøèøæ-1ö5ç÷ç1÷ 3ç÷è1øæ4öæ1öæ-1öæ1öç÷ç÷ç÷ç÷a3,b1a3,b215b3=a3-b1-b2=ç-1÷-ç2÷+ç1÷=2ç0÷. |b1|2|b2|2ç0÷3ç-1÷3ç1÷ç1÷èøèøèøèø再把它们单位化，取 æ1öæ-1öæ1öç÷ç÷b3b1b2111ç÷e1=ç2÷,e2=ç1÷,e3=ç0÷. |b1|b|b|6ç÷3ç÷2ç÷23-11èøèøè1øe,e2,e3即为所求. 例7 用施密特正交化方法，将向量组正交规范化 a1=(1,1,1,1),a2=(1,-1,0,4),a3=(3,5,1,-1). 解 显然，a1,a2,a3是线性无关的.先正交化，取 b1=a1=(1,1,1,1), b2=a2-b3=a3-b1,a21-1+4b1=(1,-1,0,4)-(1,1,1,1)=(0,-2,-1,3), b1,b11+1+1+1b1,a3b,a8-14b1-23b2=(3,5,1,-1)-(1,1,1,1)-(0,-2,-1,3)=(1,1,-2,0),b1,b1b2,b2414再单位化，得规范正交向量如下 e1=b11æ1111ö=(1,1,1,1)=ç,÷, |b1|2è2222ø e2=b21æ-2-13ö=(0,-2,-1,3)=ç0,÷, |b2|14141414øèe3=b3æ11-2ö1=(1,1,-2,0)=ç,0÷. ç÷|b3|6è666øé1ùé1ùúêú例8 (E02) 已知三维向量空间中两个向量a1=ê试求a3使a1，a2,a3 ê1ú, =ê-2ú正交，êêë1úûë1úû构成三维空间的一个正交基. 解 设a3=(x1,x2,x3)T¹0,且分别与a1,a2正交.则a1,a3=a2,a3=0 ìa1,a3=x1+x2+x3=0即 í a,a=x-2x+x=0123î23解之得 x1=-x3,x2=0. æx1öæ-1öç÷ç÷令x3=1 a3=çx2÷=ç0÷ çx÷ç1÷è3øèø由上可知a1，a2,a3构成三维空间的一个正交基. 例9 (E03) 判别下列矩形是否为正交阵. -1/21/3öæ1ç÷(1)ç-1/211/2÷ç1/31/2-1÷èøæ1/9-8/9-4/9öç÷(2)ç-8/91/9-4/9÷. ç-4/4-4/47/9÷èø解 (1) 考察矩阵的第一列和第二列， 11æ1öæ1öQ1´ç-÷+ç-÷´1+´¹0, 它不是正交矩阵； 32è2øè2ø(2) 由正交矩阵的定义， æ19-89-49öæ19-89-49öæ100öç÷ç÷ç÷Qç-8919-49÷ç-8919-49÷=ç010÷, ç-49-4979÷ç-49-4979÷ç001÷èøèøèøT课堂练习 1. 试将线性无关的向量组正交化 a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2,0,6,8)T. æ1öç÷2. 已知a1=ç1÷, 求一组非零向量a2,a3, 使a1,a2,a3两两正交. ç1÷èø