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008第章 点的合成运动第8章 点的合成运动 前面我们只研究了物体相对于一个参考系的运动。如果有两个参考系，其中一个参考系相对于另一参考系运动，则物体相对于这两个不同的参考系的运动一般是不同的。本章研究点相对于两个不同参考系的运动，即研究点的合成运动，并给出点的速度合成定理和点的加速度合成定理。 例8-1 如图8-9所示，机器A连同基座B安装在弹性基础上，按规律y=dcosw0t沿铅直方向振动，式中d,w0均为常量。机器中的飞轮 D，半径为r，以匀角速度w转动。t=p时，轮缘上1、2两点在图示 2w0位置，试求这两点在该瞬时相对于地面的速度。 图8-9 图8-8 解：取1、2两点为动点，机器为动系。动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆，牵连运动为平动。由所给条件可求得1、2两点的相对速度vr1、vr2为：vr1=wr，方向向上；vr2=wr，方向向左。由于牵连运动为平动，平动刚体上各点的速度相同。 &=-dw0sinw0t 因y当t=p&=-dw0，故此时1、2两点的牵连 时y2w0速度ve1=ve2=dw0，方向与y轴方向相反，如图8-9所示。作出动点1、2的速度平行四边形，如图8-9所示。由图可见，va1的大小为 va1=vr1-ve1=rw-dw0 设rw>dw0，则va1的方向和vr1相同。因vr2与ve2方向相互垂直，故有 va2=ve22+vr22=(dw0)2+(rw)2 va2与vr2的夹角q为 1 q=arctanve2dw=arctan0 vr2rw例8-2 图8-10所示的摆杆机构中的滑杆AB以匀速u向上运动，铰链O与滑槽间的距离为l，开始时j=0，试求j=p/4时摆杆OD上D点的速度的大小。 解：D点是作定轴转动刚体上的点，要求点D的速度，必须先求得杆OD的角速度。因此，通过分析杆AB上A点的运动，由已知运动量求得待求运动量。 取杆AB上A点为动点，杆OD为动系。 A点为作直线平动的杆AB上的点，其绝对轨迹为铅垂直线。滑块在OD杆上滑动，A的相对轨迹为沿OD的直线运动，动系OD的牵连运动为绕轴O的定轴转动。 图8-9 作动点的速度平行四边形如图8-10所示。作速度图时，先作大小、方向已知的矢量va；vr大小未知，方向沿相对轨迹,ve大小未知，方向垂直于OD连线；根据va应在速度平行四边形的对角线方向，可定出ve,vr的正确指向。 由图可见 ve=vacos45o=杆OD作定轴转动，得 2uveu2w= OA2l2l2 2u 2由图可知，w为逆时针转向。D点的速度大小 vD=bw=方向垂直于OD，指向如图。 例8-3 已知定滑轮半径为R，以等角速度w绕轴O顺时针方向转动，重物M铅垂下落，如图8-11所示。试求图示瞬时M相对于滑轮的相对速度。 bu 2l图8-10 解：本题要求M相对于滑轮的运动，应取M为动点，滑轮为动系。动点的绝对轨迹为铅垂直线，相对轨迹为平面曲线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。 作动点的速度平行四边形时，先作已知的绝对速度va；，牵连速度ve为固结于滑轮的动坐标面上和动点M相重合的点的速度，它垂直于牵连点和轴心O的连线，方向如图；相对速度vr大小、方向未知，为速度平行四边形的一边，如图8-11所示。 va=Rw ve=OMw=2Rw 由余弦定理 2vr=ve2+va-2vevacosq cosq=RR2+3R2 =0.5 q=6o0代入上式求得 vr=3Rw 由正弦定理 3 vvr=e sinqsinj得 sinj=ve23sinq=´=1 j=90o vr32由计算结果可知，图示瞬时vr沿水平线方向。 例8-4 销钉M可在直角杆BCD的铅垂槽内滑动，同时又在杆OA的直槽中滑动，如图8-12a所示。若杆BCD以匀速v1向右运动，杆OA以匀角速度w绕O作顺时针方向转动，当q=450时，OM为l。试求该瞬时销钉M的绝对速度。 图8-11 解： 销M为两运动部件的联接点，它相对于BCD、OA都有运动。故本题应分别考虑M相对于BCD、OA的运动情况。 取销钉M为动点，先取BCD为动系。动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为铅垂直线，牵连运动为水平直线平动。作动点的速度图时，先画ve1=v1，再画vr1沿铅垂线方向，设其向下，如图7-12b所示。根据速度合成定理，有 va1=ve1+vr1 再取OA为动系，动点的相对轨迹为沿OA的直线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。先作ve2垂直于OM连线，顺w的转向，再画vr2沿OM连线，设其指向点O。如图7-12b所示。根据速度合成定理，有 va2=ve2+vr2 因动点M的速度唯一，得 4 ve1+vr1=ve2+vr2 ve1和vr1、ve2和vr2分别互相垂直，牵连速度已知，只需求得相对速度中任一个的大小，即可求得绝对速度的大小。例如求vr1，可取投影轴z垂直于vr2，将矢量等式向z轴投影 ve1sinq-vr1cosq=ve2 得 vr1=ve1sinq-ve2=v1-2lw cosq va=ve21+vr21=2v12-22v1lw+2l2w2 tanj=vr1v1-2lw2lw =1-ve1v1v1若vr10，即v1>2lw，va如图7-12c中实线方向；若vr10，即v1<2lw，va如图7-12c中虚线方向。 例1.飞机沿航空母舰的飞行跑道起飞，跑道长160m与舰身成180角，母舰航行速度vc=50km/h，飞向与航向相反，风速vw=35km/h。飞机起飞时的迎面相对风速为vrx=260km/h。试问飞机相对甲板的加速度ar至少应为多少才能保证飞机在滑行至甲板末端前能够飞离甲板。 图8-12 解：取飞机为动点，先取航空母舰为动系，设飞机加速至甲板末v端时相对甲板的速度为v作动点的速度图时，先画ve=vc，再画vr沿r，跑道方向，如图b，由点的速度合成定理有 va=vc+vr 再取风为动系，作点的速度图，先画ve=vw，并设动点相对于风的速度为vrw，由点的速度合成定理有 va=vw+vrw 由动点的绝对速度是唯一的，有 5 vc+vr=vw+vrw 即 vrw=vc+vr-vw 画出上式速度矢量图，如图b所示，取投影轴x如图所示，将上式向该轴投影，有 vrwx=vccos180+vr+vwcos180 即 260=50cos180+vr+35cos180 由上式得 vr=179.17km/h 由 vr2=2ars 得 ar=1211000öæ2vr=´ç179.17´÷=7.74m/s 2s2´160è3600ø §8-3牵连运动为平动时点的加速度合成定理 例8-6 在图8-14a所示位置，小车以速度vA=0.2m/s、加速度aA=0.2m/s2向右移动，杆AB长0.7m，在A处与小车铰接，并在铅垂平面内摆动，该瞬时角速度w=1rad/s,角加速度a=2rad/s2,转向如图。试求此时点B的速度、加速度的大小。 图8-14 解： 取B为动点，小车A为动系。动点的绝对轨迹为平面曲线，相对轨迹为圆心在A点、半径等于AB的圆，牵连运动为平动。以ve、vr为边va为对角线作速度平行四边形，如图8-14a所示。由几何关系可知 va=ve2+vr2+2vevrcos30o 因 vr=ABw=0.7´1=0.7m/s 代入上式得 6 va=0.72+0.22+2´0.7´0.2´3=0.879m/s 2作加速度图，aa大小方向未知，用aax、aay表示，取投影轴x,y如图8-14b所示。由牵连运动为平动时点的加速度合成定理，有 n aax+aay=ae+atr+ar 向x,y投影，得 tono aax=ae+acros30-arsin 3ono aay=atrsin30+arcos30 式中 2 atr=ABa=0.7´2=1.4m/s n ar=ABw2=0.7´1=0.7m/s2 解得 2 aax=1.06m saay=1.31m/s /2 a=22aax+aay=1.69m/s2 例8-7 如图8-15a所示的机构，已知O1A=O2B=r，且O1A/O2B，杆O1A以角速度w、角加速度a绕轴O1转动，通过滑块C带动杆CD运动。试求图示位置杆CD速度、加速度。 解：取C为动点，杆AB为动系。 动点的绝对轨迹为铅垂直线，相对轨迹为沿AB的水平直线，牵连运动为平动。作速度平行四边形时，注意到动系作平动，C点的牵连速度ve等于A点的速度，先作ve,再根据va为速度平行四边形的对角线，定出va、vr的正确指向，如图8-15a所示，由几何关系得 图8-15a 图8-15b 图8-15 va=vesin30o ve=wr 得 7 1va=vCD=wr 2n作加速度图。先作出牵连加速度ate,ae的正确指向，再作aa,ar沿其轨迹方向，假设其指向如图8-15b所示。取投影轴z垂直于ar，由牵连运动为平动时点的加速度合成定理，有 n aa=ate+ae+ar 将上式 向z轴投影，得 ntaa=aecos30o-aesin30o 式中 t aen=rw2 ae=ra 得 aa=321rrw-ra=(3w2-a) 222由以上例可见，用加速度合成定理解题的解题步骤和用速度合成定理基本相同。在求加速度量时，常常先需求出部分速度量。 §8-4牵连运动为转动时点的加速度合成定理 例7-8 曲杆OAB绕轴O转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OC滑动，如图所示。已知曲杆的角速度w=0.5rad/s，OA=100mm，且OA和AB垂直。求当j=600时小环M的速度和加速度。 图8-19 解：取小环M为动点，曲杆OAB为动系。动点的绝对轨迹为水平直线，相对轨迹为沿AB的直线，牵连运动为绕轴O的定轴转动。作速度平行四边形。先作ve垂直于点M到转轴O的连线，指向向下；再作va、vr沿其轨迹，va在速度平行四边形的对角线方向，如图a所示。 ve=OMw=由几何关系得 OAw=100mm/s 0cos60 va=vetan600=100tan600=173.2mm/s 8 vr=ve=200mm/s sin300作动点的加速度图。作ae指向点O，将vr顺着w的方向，即顺时针方向转90°便为aC的正确指向，作aa、ar分别沿其轨迹方向，假设其指向如图b所示。 据加速度合成定理 aa=ae+ar+aC 式中 ae=OMw2=50mm/s2 aC=2wvr=200mm/s2 aa和ar的大小未知，取z轴垂直于ar，将加速度合成式向z轴投影，有 aacos600=-aecos600+aC 得 aa=-ae+aC2=350mm/s 0cos60例7-10 在图7-22a所示机构中，已知偏心轮半径为R，偏心距OO=r，偏心轮绕轴O1转动的角速度w为常数。试求杆O2E的角速度1和角加速度。 图8-20 解：(1)先分析凸轮推杆系统。取轮心O为动点，推杆AB为动系。动点的绝对轨迹为圆心在O1、半径为r的圆，相对轨迹为过O点的铅垂直线，牵连运动为平动。 作速度平行四边形。先作绝对速度va1垂直于O1O，指向右下，vr1沿相对轨迹，ve1沿水平方向，由va1在速度平行四边形的对角线方向确定ve1、vr1的正确指向如图7-22a所示，且va1=wr， 由几何关系得 ve1=va1cos300=为 9 3wr 2因为动系作平动，其上各点的速度、加速度相同，故推杆的速度 vAB=ve1=3wr 2作加速度图。绝对加速度aa1指向点O1，因为动系作平动，且加速度合成时只涉及到三个加速度矢量，故ae1、ar1的指向可正确画出，如图7-22 b所示。由动系作平动的加速度合成定理，有 aa1=ae1+ar1 式中 aa1=w2r 由几何关系得 ae1=aa1sin300=w2r aAB=ae1=w2r (2)再分析推杆滑块摇杆系统。取D为动点，杆O2E为动系。动点的绝对轨迹为水平直线，相对轨迹为沿O2E的直线，牵连运动为绕轴O2的定轴转动。作速度平行四边形。动点的绝对速度va和推杆的速度vAB相同。相对速度vr沿相对轨迹，牵连速度ve垂直于O2D的连线，指向如图7-22a所示。 va2=vAB=由几何关系得 ve2=va2cos300= wOE112123wr 2333wr´=wr 224ve2ve2cos30033=wr 0h/cos30h8h313rw´=rw 2242 vr2=va2sin300=作动点的加速度图。aa2=aAB,aen2指向点O2，将vr2顺着wOE的转向转90°为aC的方向。作ar2沿相对轨迹，ate2垂直于O2D连线，它们的指向假设如图7-22b所示。由动系作转动的加速度合成定理，有 n aa2=ate2+ae2+ar2+aC 式中 aa2=aAB=rw2 aC=2wOEvr2=112922rw 16h取投影轴z垂直于ar2，将加速度合成式向z轴投影，有 t -aa2cos300=-ae2+aC 10 得 t0 ae2=aa2cos30+aC=ççæ39rö2+rw ÷÷è416hø aOE2tæ393rörw2ae2=ç+÷÷h h/cos300ç832hèø例1.豹床机构中，主动轮O以匀角速n=50rpm转动，OA=17.5cm，当OOA=900时，试求刨刀B的速度vB和加速度aB。 1解：为了求得B点的运动必须求得摇杆O1B的运动，而只有分析销钉A的运动才能将摇杆的运动和已知的主动轮O的运动联系起来。 第一步：将动系x¢oy¢固结于摇杆，依次分析A、B两点的速度，由图 vA=OAw=17.5´50´2p=91.6cm/s 60图8-21 vAr=vcs AoqvAe=vAsinq w1=vAeOAwsinq=1.06rad/s O1AO1AvBe=O1Bw1=2vAsinq vBr=vBetanq=2vAsinqtanq vB=vBe=2vAtanq=91.6cm/s cosq第二步：分析A、B两点的加速度，首先将图中A点加速11 度向向矢量akA方向投影，有 aAcosq=akA-atAe atw2cosq Ae=akA-aAcosq=2w1vAr-OAate1=Ae=6.6rad/s2 O1A再将B点加速度向aBk方向投影 aBcosq=aBk+atBe=2w1vBr+O1Be1 1(2w1vBr-O1Be1)483cm/s2 cosq例2.A车以匀速vA=40km/h，沿半径为R=60m的公路行驶，当A车行径图示位置时，B车位于十字路口以北30m处，向南行驶，其速度aB=加速度aB=2m/s2。试求A车相对B车的加速度和B车相对vB=40km/h，A车的加速度。 图8-22 解：首先在B车上建立一个移动动坐标系分解A车的运动，由图根据动系为平动时加速度合成定理，有 aAa=aAe+aAr aAr=aAa-aAe2vA=(-sin300i+cos300j)-aBj R =-1.029i-0.218j 其次在A车上建立动坐标系分解B车运动，此动系随A车绕O轴转动，转动角速度为 w=vAæ1000öæ1ö=ç40´÷ç÷=0.1852rad/s Rè3600øè60ø 12 由图知 vBr=vBa-vBe=-40j-30VAi=-40j-20i km/h=-11.11j-5.56i m/s R最后根据动系转动时加速度合成定理，有 aB=aBe+aBr+aC aBr=aB-aBe-aC =-2j-30w2j-2(wk´vBr)=-4.12i-0.969jm/s2 13