沪科版九年级数学下册第24章圆课件.ppt

,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（HK）教学课件,24.3 圆周角,第1课时 圆周角定理及推论,第24章 圆,学习目标,1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理 解决简单的几何问题.（重点、难点）3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用.（难点）,问题1 什么是圆心角？,顶点在圆心的角叫圆心角.,问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？,圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.,复习引入,导入新课,像A这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角.,一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.,观察图中的A，它有什么特点？,观察与思考,讲授新课,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,C,O,A,B,C,O,B,C,O,B,A,A,判一判：下列各图中的BAC是否为圆周角并简述理由.,顶点不在圆上,顶点不在圆上,边AC没有和圆相交,如图，连接BO，CO，得圆心角BOC.试猜想BAC与BOC存在怎样的数量关系?,观察与思考,你能证明吗？,圆心O 在BAC的内部,圆心O在BAC的一边上,圆心O在BAC的外部,下面给出猜想的证明：以O上任一点A为顶点的圆周角，按圆心与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：,(1)圆心O在BAC的一边上（特殊情形）,OA=OC,A=C,BOC=A+C,(2)圆心O在BAC的内部,(3)圆心O在BAC的外部,一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,O,知识要点,A,C,B,如图，点A、B、C、D在O上，点A与点D在点B、C 所在直线的同侧，BAC=35.,(1)BOC=，理由是.；(2)BDC=，理由是.,70,35,同弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半,练一练,典例精析,例1 如图，AB是O的直径，C，D为圆上两点，AOC130，则D等于(),A25B30C35D50,解析：AOC130，AOB180，BOC50，D25.故选A.,A,问题1 如图，OB，OC都是O的半径，点A，D 是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.BAC与BDC相等吗？请说明理由.,D,BAC=BDC.,相等，,合作探究,问题2 如图，若 A与B相等吗？,相等，,想一想：反过来，若A=B，那么 成立吗？,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,圆周角定理推论1,几何语言,知识要点,完成下列填空：1=.2=.3=.5=.,如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线，,4,8,6,7,练一练,思考：如图，AC是圆O的直径，,则ADC=，ABC=.,90,90,推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.,例2 如图，AB为O的直径，弦CD交AB于点P，ACD=60，ADC=70.求APC的度数.,.O,A,D,C,P,B,解：连接BC，则ACB=90，,DCB=ACBACD=9060=30.,又BAD=DCB=30，,APC=BAD+ADC=30+70=100.,如图，BD是O的直径，CBD30，则A的度数为()A30 B45 C60 D75,解析：BD是O的直径，BCD90.CBD30，D60，AD60.故选C.,方法总结：在圆中，如果有直径，一般要找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题,练一练,C,O,例3 如图，O的直径AC为10cm，弦AD为6cm.(1)求DC的长；,B,解：AC是直径，,ADC=90.,在RtADC中，,(2)若ADC的平分线交O于B，求AB、BC的长,解：AC是直径，ABC=90.BD平分ADC，ADB=CDB.又ACB=ADB，BAC=BDC.BAC=ACB,AB=BC，ABC为等腰直角三角形.,方法总结：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.,1.判断（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等（）（2）相等的弦所对的圆周角也相等（）（3）同弦所对的圆周角相等（）,当堂练习,2.已知 ABC 的三个顶点在 O 上，BAC=50，ABC=47，则AOB=,166,3.如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30，AB2，则O的半径是.,C,A,B,O,2,4.如图，已知BD是O的直径，O的弦ACBD于点E，若AOD=60，则DBC的度数为.,方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理.,30,5.如图所示，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半 径为 1 的 O 的圆心 O 在格点上，则 AED 的正 切值等于.,ACB=2BAC.,证明：,6.如图，OA，OB，OC 都是 O 的半径，AOB=2BOC.求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC，,7.如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于 D，交AC于E.(1)BD与CD的大小有什么关系?为什么?,AB是圆的直径，点D在圆上，,ADB=90，,ADBC，,又AB=AC，ABC为等腰三角形，BD=CD.,解：BD=CD.理由如下：连接AD，,(2)求证：.,证明：,ABC为等腰三角形，ADBC，BAD=CAD.,8.已知 O 的弦 AB 长等于 O 的半径，求此弦 AB 所 对的圆周角的度数,解：分下面两种情况：如图所示，连接OA，OB，在O上任取一点C，连接CA，CB.ABOAOB，AOB60，ACB1/2AOB30.即弦AB所对的圆周角等于30.,如图所示，连接OA，OB，在劣弧上任取一点D，连接AD，OD，BD，则BAD1/2BOD，ABD1/2AOD.BADABD1/2(BODAOD)1/2AOB.AB的长等于O的半径，AOB为等边三角形，AOB60.BADABD30，ADB180(BADABD)150，即弦AB所对的圆周角为150.综上所述，弦AB所对的圆周角的度数是30或150.,课堂小结,圆周角,定义,定理,推论,1.顶点在圆上；2.两边都与圆相交的角,二者必须同时具备,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,半圆或直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径.,在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（HK）教学课件,24.3 圆周角,第24章 圆,第2课时 圆内接四边形,1.复习并巩固圆周角和圆心角的相关知识.2.理解并掌握圆内接四边形的概念及性质并学会运用.(重点),1.什么是圆周角？,导入新课,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.,复习引入,2.什么是圆周角定理？,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,观察图中的四边形，它有什么特点？,新课讲授,观察与思考,一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,如图，四边形 ABCD为O 的内接四边形，O为四边形ABCD的外接圆.A 与C，B 与D之间有什么关系？,问题1,猜想：,A+C=180，B+D=180.,如何证明你的猜想？,证明：由于弧BAD和弧BCD所对的圆心角之和是周角为360，则,AC180.,同理，得BD180.,如图，延长DC 到E，A 与BCE有什么关系？,问题2,E,解：A=BCE，理由如下：,ABCD=180，,BCDBCE180.,A=BCE.,归纳总结,圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.,如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，A=110，B=80，则C=，D=，DCE=.,70,100,练一练,A,E,C,D,B,110,解：设A，B，C的度数分别等于2x，3x，6x，,例1 在圆内接四边形ABCD中，A，B，C的度数之比是236.求这个四边形各角的度数.,四边形ABCD内接于圆，,A+C=B+D=180，,2x+6x=180，,x=22.5.,A=45，B=67.5，C=135，D=180-67.5=112.5.,典例精析,例2 如图，点A，B，C，D在O上，点O在D的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则OAD OCD_度,解析：四边形ABCD是圆内接四边形，BADC180.四边形OABC为平行四边形，AOCB.又由题意可知AOC2ADC.ADC180360.连接 OD，可得 AOOD，COOD.OADODA，OCDODC.OADOCDODAODCADC60.,60,如图，在O的内接四边形 ABCD 中，BOD120，那么BCD是()A120 B100C80 D60,解析：BOD120，A60，C18060120，故选A.,练一练,A,例3 如图，已知 A，B，C，D 是 O 上的四点，延长 DC，AB 相交于点E.若BCBE.求证：ADE是等腰 三角形,证明：BCBE，EBCE.四边形ABCD是圆内接四边形，ADCB180.BCEDCB180，ABCE，AE，ADDE，ADE是等腰三角形,当堂练习,1.如图，四边形ABCD是O的内接四边形，B=70，则D的度数是()A.110 B.90 C.70 D.50,A,2.若ABCD为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立(),A.ABCD 1234,B.ABCD 2134,C.ABCD 3214,D.ABCD 4321,B,3.如图，等边三角形ABC内接于O，P是AB上的一点，则APB=.,120,4.O的内接四边形ABCD中，ABC=123，则D=.,90,5.在 O中，CBD=30，BDC=20，求A.,解：CBD=30，BDC=20，C=180CBDBDC=130，A=180C=50.,6.如图，AB为O的直径，CFAB于E，交O于D，AF交O于G.求证：FGDADC.,证明：四边形ACDG内接于O，FGDACD.又AB为O的直径，CFAB于E，AB垂直平分CD，ACAD，ADCACD，FGDADC.,7.如图，O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分 别交于点E，F(1)若E+F=，求A的度数(用含的式子表示)；,E+F=，,解：四边形ABCD为O的内接四边形，,A=BCF，,A+E=EBF=180BCFF，,=180AF，,即 2A=180(E+F)，,(2)若E+F=60，求A的度数,解：当=60时，,课堂小结,一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫作圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.,圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.,圆内接四边形,定义,定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（HK）教学课件,24.4 直线与圆的位置关系,第1课时 直线与圆的位置关系,第24章 圆,学习目标,1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.能根据圆心到直线的距离 d 和圆的半径 r 之间的数 量关系，判断出直线与圆的位置关系.(重点),点和圆的位置关系有几种？,复习引入,点P在O内,r,P,d,d,r,d,点P在O上,d,r,=,P,r,d,点P在O外,d,r,导入新课,在纸上画一条直线l，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，直线和圆的公共点的个数是否发生变化？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？,l,观察与思考,讲授新课,2个,交点,1个,切点,切线,0个,相离,相切,相交,位置关系,公共点个数,根据你的发现填表：,割线,知识要点,(2)如果直线与圆只有一个公共点，这时直线与圆的位置关系叫做相 切，这条直线叫做圆的切线，这 个公共点叫做切点.,(1)如果直线与圆有两个公共点，这 时直线与圆的位置关系叫做相交，这条直线叫做圆的割线.,(3)如果直线与圆没有公共点，这时 直线与圆的位置关系叫做相离.,1.直线与圆最多有两个公共点.2.若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.3.若A是O上一点，则直线AB与O相切.4.若C为O外一点，则过点C的直线与O相交 或相离.5.直线a 和O有公共点，则直线a与O相交.,判断：,练一练,圆与直线从相交到相离的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还有什么量在改变？,观察与思考,它与圆的半径有什么样的数量关系呢？,怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？,O,d,思考：,直线和圆相交,d r,直线和圆相切,d=r,直线和圆相离,d r,位置关系,数量关系,用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系来判断直线与圆的位置关系：,o,o,o,知识要点,相交,相切,相离,2,1,0,练一练,d 5cm,d=5cm,0 cm d 5 cm,例1 如图，RtABC的斜边AB=10cm，A=30.,(1)以点C为圆心，当半径为多少时，AB与C相切？,A,C,B,解：过点C作边AB上的高CD.,A=30，AB=10cm，,在RtBCD中，有,当半径为 时，AB与C相切.,典例精析,(2)以点C为圆心、半径 r 分别为 4cm 和 5cm 作两个圆，这两个圆与斜边AB分别有怎样的位置关系？,当r=4cm时，dr，C与AB相离；,当r=5cm时，dr，C与AB相交.,解：由(1)可知圆心 C 到 AB 的距离,1.在RtABC中，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以 C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？(1)r=2cm；(2)r=2.4cm；(3)r=3cm,练一练,解：过C作CDAB，垂足为D.,在ABC中，,AB=,5.,根据三角形的面积公式有,即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4 cm.,(1)当r=2cm时，,有d r，,因此C和AB相离.,(2)当r=2.4cm时，有d=r，,因此C和AB相切.,(3)当r=3cm时，有d r，,因此，C和AB相交.,A,B,C,A,D,4,5,3,2.RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，以C为 圆心画圆.(1)当半径r为何值时，圆C与线段AB有一个公共点？(2)当半径r为何值时，圆C与线段AB有两个公共点？(3)当半径r为何值时，圆C与线段AB没有公共点？,(3)当0cmr2.4cm或r4cm时，C与线段AB没有公共点.,答案：(1)当r=2.4cm或 3cm r4cm时，C与线段AB有一个公共点.,(2)当2.4cmr3cm 时，C与线段AB有两个公共点.,例2 如图，在平面直角坐标系中，A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 A 于 M、N 两点若点 M的坐标是(4，2)，则点 N 的坐标为()A(1，2)B(1，2)C(1.5，2)D(1.5，2),解析：过点A作AQMN于点Q，连接AN，设半径为r，由垂径定理有MQNQ，所以AQ2，ANr，NQ4r，利用勾股定理得r24(4r)2，解得r2.5，可以求出NQ1.5，所以N点坐标为(1，2)故选A.,A,当堂练习,.O,.O,.O,.O,.O,1.看图判断直线与O的位置关系？,相离,相交,相切,相交,?,相交,2.直线和圆相交，圆的半径为r，且圆心到直线的距离 为5，则有（）A.r 5 C.r=5 D.r 53.O的半径为5，直线l上的一点P到圆心O的距离是5，则直线 l 与O的位置关系是（）A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切或相离 D.上三种情况都有可能,B,A,解析：分两种情况讨论：(1)OP直线l，则圆心到直线l的距离为5，此时直线l与O相切；(2)若OP与直线l不垂直，则圆心到直线的距离小于5，此时直线l与O相交所以本题选A.,5.O的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线l的距离为d=5，则直线l与O.,相离,4.已知圆的半径等于 5，直线 l 与圆没有交点，则圆心 到直线 l 的距离 d 的取值范围是_,d 5,6.如图，ABC80，O为射线BC上一点，以点O为 圆心，1/2OB长为半径作 O，要使射线BA与O相 切，应将射线BA绕点B按顺时针方向旋转()A40或80 B50或100 C50或110 D60或120,C,7.如图：M是OB上的一点，且OM=5 cm，以M为圆心，半径 r=2.5cm 作M.试问过 O 的射线 OA 与 OB 所夹的锐角a取什么值时射线OA与 M(1)相离；(2)相切；(3)相交.,5,a,答案：(1)30a90.(2)a=30.(3)a30.,8.已知O的半径为R，点O到直线m的距离为d，R、d 是方程 x22xa0 的两根，当直线m与O相切时，求a的值,解：直线 m 与O相切，d R，即方程 x22xa0 有两个相等的根，44a0，a1.,课堂小结,直线与圆的位置关系,定义,性质,判定,相离,相切,相交,公共点的个数,d与r的数量关系,定义法,性质法,特别提醒：若图中没有d要先做出该垂线段,相离:0个相切：1个相交：2个,相离:dr相切:d=r相交:dr,0个：相离；1个：相切；2个：相交,dr：相离d=r:相切dr：相交,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（HK）教学课件,24.4 直线与圆的位置关系,第2课时 切线的性质和判定,第24章 圆,学习目标,1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作 圆的切线.2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.（重点）3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.（难点）,导入新课,情境引入,转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？,都是沿切线方向飞出的.,生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白.,如图，如果直线 l 是 O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？,观察与思考,讲授新课,证明：当直线 l与O相切时，切点为A，连接OA.这时，如在直线l上任取一个不同于点A的点B，连接OB，因为点B在O外，所以OB OA.这就是说，OA是点O到直线 l上任一点连线中最短的，故OAl.于是我们可以得到：切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.,B,A,O,l,直线l是O 的切线，A是切点，,直线l OA.,切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径,应用格式：,知识要点,如图，在O中，OA、OB为半径，直线MN与O相切于点B，若ABN=30，则AOB=.,60,练一练,M,典例精析,例1 如图，点 O 是 BAC 的边 AC 上的一点，O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是O 上一点，且EPD 35，则 BAC 的度数为(),A20 B35 C55 D70,解析：连接OD，O与边AB相切于点D，ODAD，ADO90.EPD35，EOD2EPD70，BAC90EOD20.故选A.,A,例2 如图，PA为O的切线，A为切点直线PO与O交于 B、C 两点，P30，连接AO、AB、AC.(1)求证：ACBAPO；,在ACB和APO中，BACOAP，ABAO，ABOAOB，ACBAPO.,证明：PA为O的切线，A为切点，,又P30，OA，OB为半径，AOB60，AOB为等边三角形ABAO，ABO60.,又BC为O的直径，BAC90.,OAP90，,(2)若AP，求O的半径,AO1，即O的半径为1.,解：在RtAOP中，P30，AP，,A,B,C,已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点 A作圆O的切线？,作法：1.连接OA.2.过点 A 作直线 BCOA.则直线 BC 即为所作.,O,观察与思考,为什么直线BC即为所作呢？,经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,OA为O的半径，,BC OA于A，,BC为O的切线.,B,C,切线的判定定理,应用格式,O,知识要点,利用切线判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明理由.,(1)不是，因为没有垂直.,(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.,练一练,判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：,1.定义法：直线和圆只有一个公共点 时，我们说这条直线是圆的切线.,2.数量关系法：圆心到这条直线的距 离等于半径(即 d=r)时，直线与 圆相切.,3.判定定理：经过半径的外端且垂直 于这条半径的直线是圆的切线.,知识要点,例3 如图,ABC=45，AB是O的直径，AB=AC.求证：AC是O的切线.,提示：直线AC经过半径的一端，因此只要证AB垂直于AC即可.,证明：AB=AC，ABC=45，,ACB=ABC=45.,BAC=180-ABC-ACB=90.,AB是O的直径，,AC是O的切线.,例4 已知：直线 AB 经过 O 上的点 C，并且OA=OB，CA=CB.求证：直线AB是O的切线.,O,B,C,提示：由于AB过O上的点C，所以连接OC，只要证明ABOC即可.,证明：连接OC.OAOB，CACB，OAB是等腰三角形，ABOC.OC是O的半径,AB是O的切线.,例5 如图，ABC 中，AB AC，O 是 BC 的中点，O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是O 的切线,B,O,C,E,A,提示：根据切线的判定定理，要证明AC是O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂线段OF是O的半径就可以了，而OE是O的半径，因此只需要证明OF=OE.,证明：连接OE，OA，过O 作OF AC.,O 与AB 相切于E，OE AB.,又ABC 中，AB AC，O 是BC 的中点,AO 平分BAC，,F,B,O,C,E,A,OE OF，OF为O 半径，,AC 是O 的切线,又 OE AB，OFAC.,如图，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB求证：直线AB是O的切线.,C,B,A,O,如图，OAOB=5，AB8，O的直径为6.求证：直线AB是O的切线.,B,A,O,通过对比，你能得出什么结论？,作垂直,连接,方法归纳,(1)有交点，连半径，证垂直(如：例4)；(2)无交点，作垂直，证半径(如：例5).,证切线时辅助线的添加方法,有切线时常用辅助线添加方法,见切点，连半径，得垂直(如：例1).,要点归纳,当堂练习,1.判断下列命题是否正确.(1)经过半径外端的直线是圆的切线.（）(2)垂直于半径的直线是圆的切线.（）(3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆 的切线.（）(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线.（）(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.（）,3.如图，在O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，BCD=120，过 D 点的切线 PD 与直线AB 交于 点P，则 ADP 的度数为（）A40 B35 C30 D45,2.如图所示，A 是O上一点，且 AO=5，PO=13，AP=12，则 PA 与O 的位置关系是.,相切,C,P,O,第3题,D,A,B,C,4.如图，O切PB于点B，PB=4，PA=2，则O的半径 多少？,P,B,A,解：连接OB，则OBP=90.,设O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=r+2.,在RtOBP中，,OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.,解得 r=3，,即O的半径为3.,5.如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的 O交边BC于P，PEAC于E.求证：PE是O的切线.,证明：连接OP.AB=AC，B=C.OB=OP，B=OPB，OBP=C.OPAC.PEAC，PEOP.PE为O的切线.,6.如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为 圆心，OA 长为半径的 O 与 BC 相切于点 M.求证：CD 与O相切.,证明：连接OM，过点O作ONCD于点N，O与BC相切于点M，OMBC.又ONCD，O为正方形，ABCD 对角线 AC 上一点，OMON，CD与O相切,M,N,7.已知：ABC内接于O，过点A作直线EF.(1)如图1，AB为直径，要使EF为O的切线，还需添 加的条件是（只需写出两种情况）：_；_.(2)如图2，AB是非直径的弦，CAE=B，求证：EF 是O的切线.,BAEF,CAE=B,证明：连接AO并延长交O于D，连接CD，则AD为O的直径.D+DAC=90，=，D=B，又 CAE=B，D=CAE，CAE+DAC=90，即ADEF，EF是O的切线.,D,课堂小结,切线的判定方法,定义法,数量关系法,判定定理,1个公共点，则相切,d=r，则相切,经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.,切线的性质,证切线时常用辅助线添加方法：有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径.,有1个公共点,d=r,性质定理,圆的切线垂直于经过切点的半径,有切线时常用辅助线添加方法：见切线，连切点，得垂直.,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,九年级数学下（HK）教学课件,24.4 直线与圆的位置关系,第3课时 切线长定理,第24章 圆,学习目标,1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点）2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（难点）,导入新课,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？,讲授新课,问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线.那么，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？,A,B,合作探究,你可以作几条？,作法：1.连接OP.2.以OP为直径作圆，设此圆交O于点A，B.3.连接PA，PB.则直线PA，PB即为所作.,切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长,知识要点,A,B,过圆外一点能够作圆的两条切线.,切线是直线，不能度量.,切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外一点和切点，可以度量,切线长与切线的区别,O，A，B，P四点共圆哦！,问题2 沿直线PO将图形折叠，你有什么发现？,PA=PB，APO=BPO.,试着自己证明.,证明：连接OA，OB，PA切O于点A，OAPA.,同理可得 OBPB.,OA=OB，OP=OP，,RtOAP RtOBP，,PA=PB，APO=BPO.,切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA、PB分别切O于A、B，,PA=PB，,OPA=OPB.,几何语言：,知识要点,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.,1.若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什 么新的结论?请给出证明.,OP垂直平分AB.,证明：PA，PB是O的切线，点A，B是切点，PA=PB，OPA=OPB，PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，OP垂直平分AB.,M,想一想：,2.若PO交O于点C，连接CA、CB，你又能得出什么 新的结论?请给出证明.,证明：PA，PB是O的切线，点 A，B是切点，PA=PB，OPA=OPB.又 PC=PC.PCA PCB，CA=CB.,CA=CB,C,B,PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，直线OP交O于点D、E，交AB于C.,(1)写出图中所有的垂直关系；,OAPA，OB PB，AB OP.,(3)写出图中所有的全等三角形；,AOP BOP，AOC BOC，ACP BCP.,(4)写出图中所有的等腰三角形.,ABP，AOB.,(2)写出图中与OAC相等的角；,OAC=OBC=APC=BPC.,练一练,例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 与 O 分别相切于点 E、F、G、H.,求证：AB+CD=DA+BC.,证明：AB、BC、CD、DA与O相切，E、F、G、H是切点，,AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.,AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，,即AB+CD=AD+BC.,典例精析,例2 如图，PA、PB 分别与 O 相切于点 A、B，O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若PA长为2，则PEF的周长是_,解析：因为PA、PB分别与O相切于点 A、B，所以PAPB.因为 O 的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA EC，CF BF，所以PEF 的周长是PEEFPFPEECCFPFPAPB224.,4,例3 如图，PA、PB 是 O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在O上，如果 ACB70，那么 OPA 的度数是_度,解析：如图所示，连接OA、OB.AOB2ACB140.PA、PB是O的切线，切点分别为A、B，O，A，B，P四点共圆，OP平分APB，APB180AOB180140402OPA.OPA20.故答案为 20.,20,7,70,练一练,例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,5cm,5cm,在RtOPA中，PA5，POA30，,Q,解：过 O 作 OQAB 于 Q，设铁环的圆心为 O，连接OP、OA.,AP、AQ为O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.,又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.,即铁环的半径为,1.如图，PA、PB是O 的两条切线，切点分别是A、B，如果AP=4，APB=40，则APO=，PB=.,当堂练习,20,4,2.如图，从O 外一点P引O的两条切线PA、PB，切 点分别为A、B，如果APB=60，PA=8，则弦 AB=.,8,第1题图 第2题图,3.如图，AB、AC、BD是O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD=.,2,4.如图，四边形 ABCD 的四条边分别与 O 相切，且 AB=16，CD=10，则四边形的周长为.,第3题图 第4题图,52,5.如图，ABC三边都与O 相切，求证：AB+CF=AC+BF.,证明：ABC三边都与O 相切，AD=AE，BD=BF，CF=CE，+得，AD+BD+CF=AE+BF+CE，AB+CF=AC+BF.,6.如图所示，已知在ABC中，B90，O是 AB上 一点，以O为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于E，与 AC相切于点D.求证：DEOC.,证明：方法：连接OD，AC切O点D，ODAC，ODC=B=90.在RtOCD和RtOCB中，OD=OB，OC=OC，RtODC RtOBC（HL），DOC=BOC.OD=OE，ODE=OED，DOB=ODE+OED，BOC=OED，DEOC,方法：连接BD，BCAB，BC切O于点B，又AC切O于点D，DC=BC，OC平分DCB.OCBD.BE为O的直径，DEBD.DEOC,课堂小结,切线长,切线长定理,作用,图形的轴对称性,原理,提供了证线段和角相等的新方法,辅助线,分别连接圆心和切点；连接两切点；连接圆心和圆外一点.,