高等数学B答案.docx
高等数学B答案高等数学B答案 一、填空题 1设f(x)的定义域为0,1, 则f(sinx)的定义域为 。2np,(2n+1)p,nÎZ 2已知lim(n+1)(n+2)(n+3)1=,则k= 3 . n®¥55nk1ì2ïxsin,x¹0,则f¢(0)= 0 . 3设f(x)=íxïx=0.îx,4将函数f(x)=px2+qx+r在闭区间a,b上应用拉格朗日中值定理时，其中x= .aa+b 25-a2a . x(1+cosx)dx=ò二、计算题 1求极限lim(n®¥1+2+3+×××+nn-). n+22解：原式=lim(n®¥n(n+1)n-n1-)=lim=- n®¥2(n+2)2(n+2)22xsinx-cos2x+1. 2x®0sinxsinx+xcosx+2sin2x2cosx-xsinx+4cos2x=lim=3. 解：原式=limx®0x®0sin2x2cosx2求极限limì1+2x-3,0<x<4;ïx-2ï3设f(x)=ía,，问a,b为何值时，f(x)在x=4处连续？ x=4;bïx-4x>4.ï(x-3),î解：limf(x)=limx®4-01+2x-3x-2bx-4x®4-0=lim(1+2x-9)(x+2)(x-2)(1+2x+3)1×bx-4x®4-=lim2(x+2)x®4-4=. 1+2x+33x®4+limf(x)=lim(x-3)x®4+=lim1+(x-4)x®4+=eb. 由limf(x)=limf(x)知b=lnx®4-x®4+4 3从而a=f(4)=limf(x)=x®44. 3三、计算题 ìïx=ln1+t2,1求曲线í在t=3处的切线方程及法线方程. ïîy=arctant.解：因dxtdy1dy=,=，所以dt1+t2dt1+t2dxt=31tt=313t=3所对应的直角坐标点为(ln2,p3) 故切线方程为y-p3=13(x-ln2) 法线方程为y-p3=-3(x-ln2) 2方程sin(xy)+ln(y-x)=x确定了y是x 的函数，求dy. dxx=0解：将x=0代入原方程得y=1 方程两边对x求导，得 cos(xy)(y+xy¢)+y¢-1=1 y-x将x=0,y=1代入上式得dy=1. dxx=0x33已知y= ，求y(n) 1-x解：因为y=-x-x-1+所以y¢=-2x-1+21, 1-x123!¢¢¢¢¢,y=-2+,y=,×××, 234(1-x)(1-x)(1-x) y(n)=n!(n³3). n+1(1-x)四、计算题 1求cos2xòcos2xsin2xdx. cos2x-sin2x11=(-)dx=-(cotx+tanx)+C. 解：原式=ò2222òcosxsinxsinxcosx2求eò2xdx. 解： 2xòedx令2x=t111t1ttttedt=tde=te-edt=ò2ò2ò22xex-ex+C 23求x(x-1)4dx. ò1211é1615ù4454. 解： òx(x-1)dx=ò(t+1)tdt=ò(t+t)dt=êt+tú=6530ëû0100111ì-1,-1£x<0;xdF(x)ïx=0;. 4设f(x)=í0, 试求F(x)=òf(x)dx,并求dxï1,-10<x£1.îì-(x+1),-1£x<0ïx=0解：F(x)=òf(x)dx=í-1, -1ïx-1,0<x£1îx1£x<0;ì-1,ï¢(0)=-1,F+¢(0)=1，所以F¢(0)不存在 F¢(x)=í不存在,x=0;因为F-ï1,0<x£1.î五、综合题 2x01已知f(x)为连续函数，且xf(t)dt+2tf(2t)dt=2x3(x-1)， ò0òx求f(x)在0,2上的最值 2x解：先求f(x)，等式两端对x求导，得òf(t)dt=8x03-6x2 上式两端再对x求导，得f(2x)=6x(2x-1) 所以f(x)=3x(x-1) 又令f¢(x)=6x-3=0,得x=1 213f(0)=0,f=-,f(2)=6 24所以f(x)在0,2上的最大值为6，最小值为-2设f(x)在-a,a上连续，求证 aa3. 4-aòf(x)dx=òf(x)+f(-x)dx.， 0并利用上结果计算1dx ò1+sinx-p4p4证：因为f(x)=g(x)+h(x), 11其中g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数,h(x)=f(x)-f(-x)为奇函数 22aa所以p4-aòf(x)dx=òf(x)+f(-x)dx 01dx=ò1+sinx-p4p4ò0111p(+)dx=2òdx=2tanx201+sinx1-sinx0cosxa0ap44=2. 前一部分也可以这样证明：-aò=-aò+ò，前一积分作代换x=-t 03设f(x)在0,1上连续，且f(x)非负，证明：存在一点xÎ(0,1)使 1.xf(x)=xf(x)dx òx证明： 取F(x)=xf(t)dt.显然F(x)在0,1上连续，在(0,1)可导，又 ò1F(0)=0,F(1)=0 可知F(x)在0,1上满足罗尔定理，于是，$xÎ(0,1)，使得 1F¢(x)=0，即xf(x)=òf(x)dx x
