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高等数学习指导高等数学习指导 武汉大学数学与统计学院 胡新启、湛少锋编著 第1章 函数与极限 函数、极限、连续等基本概念及运算，是学习高等数学的基础。也是从初等数学过渡到高等数学的一座桥梁，函数、极限、连续等基本概念及其运算掌握的好坏，直接影响着整个高等数课程的学习，因为极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具，贯穿于整个课程之中。因此必须把这部分的概念理解清楚，基本运算牢牢掌握。 1 学习要求与内容提要 1 学习要求 1. 理解函数的概念，了解分段函数、基本初等函数、初等函数的概念，了解反函数、复合函数的概念，会分析复合函数的复合结构，会建立简单实际问题的函数模型。 2. 了解极限的描述性定义；掌握极限的四则运算法则；会用两个重要极限公式求极限 3. 了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质，会利用等价无穷小求极极限 4. 理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类会用函数的连续性求极限 5. 了解初等函数的连续性及连续函数在闭区间上的性质 重点 极限的求法，两个重要极限，函数在一点连续的概念；函数的概念、复合函数和初等函数的概念，会求函数的定义域. 难点 分段函数的概念，建立简单实际问题的函数模型；间断点的分类，分段函数在分段点的连续性 2 内容提要 1 函数的概念与主要结论 设x和y是两个变量,D是一个给定的数集,如果对于每个数xÎD,变量y按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y是x的函数,记作y=f(x).数集D称为该函数的定义域,x称为自变量,y称为因变量. 当自变量x取数值x0时，因变量y按照法则f所取定的数值称为函数y=f(x)在点x0处的函数值，记作f(x0).当自变量x遍取定义域D的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W=yy=f(x),xÎD称为函数的值域. 函数y=f(x)的定义域D是自变量x的取值范围，而函数值y又是由对应规则f来确定的，所以函数实质上是由其定义域D和对应规则f所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如y=x与z=v，就是相同的函数. 1 2函数的三种表示方法 图像法；表格法；公式法 在用公式法表示函数时经常遇到几种情况：分段函数，用参数方程确定的函数，隐函数。 基本初等函数 六种基本初等函数为：常函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数 反函数、复合函数和初等函数 复合函数：如果y是u的函数y=f(u),uÎD(f),而u又是x的函数u=j(x),xÎD(j),且j(D)ÍD(f),则称y是x的复合函数,记为:y=f(j(x),xÎD(j)其中x称为自变量,y称为因变量,u称为中间变量。 反函数:对于函数y=f(x),如果每一个yÎf(D),都可以通过y=f(x)惟一确定一个xÎD(f)这样得到的以y为自变量,x为因变量的函数关系记作:x=f数记为:y=f-1-1(y),习惯上用x表示自变量,y表示因变量,即反函(x),且ff-1(x)=x，函数y=f(x)与其反函数的图象关于直线y=x对称。 基本初等函数:通常把幂函数、三角函数、反三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数、反双曲函数等函数称为基本初等函数。 初等函数:由基本初等函数和常数经过有限次四则运算与有限此次复合,且能用一个分析式表示的函数，称为初等函数。 函数的四种特性 有界性，单调性，奇偶性，周期性 函数的主要结论 单调性：两个单调增加函数之和是单调增加函数。两个正的单调增加函数之积是单调增加函数。单调增加函数y=f(x)的反函数y=f-1。 (x)亦为单调增加函数奇偶性：两个偶函数之代数和是偶函数。两个偶函数之积是偶函数。偶函数与奇函数之积是奇函数。 周期性：如果f(x)是一周期为w的周期函数，则f(ax+b)是一周期为2极限的概念与主要结论 数列极限的定义 设xn为一数列,A是一常数,若"e>0,$N>0,当n>N时,恒有xn-A<e,则称数列xn收敛,且A称为数列xn当n®¥时的极限,记为:limxn=A。 n®¥wa的周期函数。 数列xn不收敛时，则称数列xn发散。数列发散包含三种情形： "M>0，总$自然数N，使得n³N时恒有xn>M，即limxn=+¥； n®¥"M<0，总$自然数N，使得n³N时恒有xn<M，即limxn=-¥； n®¥limxn不确定。 n®¥函数极限的定义 x®¥时函数f(x)的极限 若"e>0,$X>0,当x>X时,恒有f(x)-A<e,则称函数f(x)当x®¥时收敛,且A称为函数f(x)当x®¥时的极限,记为:limf(x)=A。特别若"e>0,$X>0,当x®¥x>X时,恒有f(x)-A<e,则称函数f(x)当x®+¥时收敛,且A称为函数f(x)当x®+¥时的极限,记为:limf(x)=A。函数f(x)不收敛时，则称函数f(x)x®¥x®-¥发散。 函数f(x)当x®¥时发散包括以下情形： 2 "M>0，总$实数X>0，使得x³X时恒有f(x)>M，即limf(x)=+¥x®¥x®+¥"M<0，总$实数X>0，使得x³X时恒有f(x)<M，即limxn=-¥ x®-¥limf(x)不确定。 x®¥o(2）x®x0时函数f(x)的极限 设y=f(x)在U(x0,d)内有定义，A是一常数，若"e>0，$d>0，使得当0<x-x0<d时，恒有f(x)-A<e，则称函数f(x)当x®x0时收敛,且A称为函数f(x)当x®x0时的极限,记为:limf(x)=A。特别若"e>0,$d>0,当x0-d<x<x0时,恒有x®x0-+f(x)-A<e,则称函数f(x)当x®x0时收敛,且A称为函数f(x)当x®x0时的+极限,记为:limf(x)=A。而limf(x)=A称为函数f(x)当x®x0时x®x0-x®x0+x®x0-x®x0+的左极限。函数f(x)不收敛时，则称函数f(x)发散。 函数f(x)当x®x0时发散包括以下情形： "M>0，总$d>0，使得x-x0<d时恒有|f(x)-A|>M，即limf(x)¹A。 x®x0x®x0-x®x0+"M>0，总$d>0，使得x-x0<d时恒有|f(x)|>M，即limf(x)=¥。 x®x0x®x0-x®x0+"M>0，总$d>0，使得x-x0<d时恒有f(x)>M，即x®x0。 limf(x)=+¥x®x0x®x0"M<0，总$d>0，使得x-x0<d时恒有f(x)<M，即x®x0。 limf(x)=-¥x®x0x®x0当x®x0时,f(x)的极限不惟一。 无穷大、无穷小 在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小即：若limf(x)=0或limf(x)=0，则称f(x)是当x®¥或x®x0时的无穷小量。应该注意的是：一般说来，无x®¥x®x0穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数 在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大即：若limf(x)=A或limf(x)=¥，则称f(x)是当x®¥或x®x0时的无穷大量。应该注意的是：无穷大量x®¥x®x0是极限不存在的一种情形。无穷大表达的也是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么大，都不能是无穷大量。 无穷小量的比较 设limf(x)=0,limg(x)=0， 若limf(x)g(x)=k(k¹0,k¹±¥)，则称f(x)与g(x)是同阶无穷小； 3 若limf(x)g(x)。记为：=0则称f(x)是比g(x)高阶的无穷小f(x)=o(g(x)； 若lim若lim小。 f(x)g(x)=1则称f(x)与g(x)是等阶无穷小。记为：f(x)g(x)； k=0则记为：f(x)=o(x-a),这时称f(x)为x®a时,是比x-a的k 阶高的无穷f(x)(x-a)kx®a3、极限的主要结论 数列极限的性质 收敛数列的极限必惟一。 收敛数列的极限必有界。 若limxn=A，A¹0，则必存在正整数N，当n>N时，xn与A同号。 n®¥若limxn=A，limyn=B，且存在正整数N，当n>N时，恒有xn£yn，则A£B。 n®¥n®¥若limxn=A，limyn=B，则 n®¥n®¥lim(xn±yn)=limxn±limyn=A±B； n®¥n®¥n®¥limxnyn= limxnlimyn=AB； n®¥n®¥n®¥若B¹0，limxnynn®¥=limxnn®¥limynn®¥=AB。 数列收敛的几个判别法 柯西准则 数列xn收敛的充要条件是："e>0，总存在自然数N，对一切n,m>N，恒有不等式xn-xm<e。 两边夹法则 若数列xn对一切的n满足条件yn£xn£zn且limyn=limzn=A，则limxn=A。 n®¥n®¥n®¥单调有界准则 单调有界数列必有极限。 limxn=A的充要条件是数列xn的每一个子列xn均以A为极限。 n®¥kk®¥k有界实数列必有收敛的子列。 几个常用的数列的极限 lim(1+n®¥1n)n=e；limnn®¥a=1(a>0)；limnn®¥n=1； 函数极限的性质 函数极限同样有：惟一性、有界性、保号性、保序性以及极限的有理运算。这里略去。 mil函数极限存在的判别法： 函数极限存在的充要条件是其左右极限存在且相等。 归并原理：limf(x)=AÛ$xn¹x0,limxn=x0,且limf(xn)=A。 x®x0n®¥n®¥两边夹法则 若g(x)£f(x)£h(x)且limg(x)=A，limh(x)=A，则limf(x)=A。 极限与无穷小量的关系定理： x®x0limf(x)=AÛ$a,lima=0，且f(x)=A+a。 x®x04 无穷大与无穷小量的关系定理： limf(x)=0Ûlim1f(x)=¥。 单侧极限与极限的关系定理： l limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A x®¥x®+¥x®-¥l limf(x)=A的充分必要条件是limf(x)=limf(x)=A x®x0x®x0-x®x0+有关无穷小的定理： l l l l l 有限个无穷小量之和是无穷小量。 有界量与无穷小量之积是无穷小量。 常数与无穷小两之积是无穷小量。 有限个无穷小量之积是无穷小量。 无穷小的替换定理:设当x®x时，a1(x)0a2(x)，b1(x)b2(x)，limb2(x)a2(x)存在，则x®x0x®x0limb1(x)a1(x)=b2(x)a2(x)极限的四则运算法则 设limf(x)=A及limg(x)=B都存在，则 l l l l limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)=A±B； x®x0limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)=AB, x®x0x®x0limCf(x)=Climf(x)=CA (C为任意常数); limf(x)g(x)=limf(x)g(x)=AB (limg(x)=B¹0) x重要极限 limsinxxx®01öæ=1；limç1+÷=e。 x®¥èxøx2a tanxx (1+x)-1ax 常用的等价无穷小： sinxx cosx1-ax21:xlna arcsinxx arctanxx 3函数的连续性与主要结论 函数在一点连续的两个等价的定义 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量Dx=x-x0趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 Dx®0limDy=limDx®0f(x0+Dx)-f(x0)=0， 则称函数f(x)在点x0处连续。 若函数y=f(x)在点x0的某一点邻域内有定义,"e>0,$d>0,当x-x0<d时,恒有f(x)-f(x0)<e,则称函数f(x)在点x0处连续。即当limf(x)=f(x0)时，则称函数f(x)在x0点处连续。x®x0并称x0为f(x)的连续点。 5 左右连续的概念 若xlim®x在点x0处右连续 -0f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处左连续；若xlim®x+0f(x)=f(x0)，则称函数f(x)由此可知，函数f(x)在点x处连续，必须同时满足以下三个条件： 0 函数f(x)在点x的某邻域内有定义， 0 limf(x)存在， x®x0 这个极限等于函数值f(x) 0函数不连续的点称为间断点。间断点有以下情形： limf(x)存在，但此极限值不等于f(x0)或f(x)在x0处没定义。则称x0是f(x)的可去间断点； x®x0limf(x)、limf(x)都存在，但不相等，则称x0为f(x)的跳跃间断点； x®x0-x®x0+、统称为第一类间断点。 limx®x0(x®x0)(x®x0)+-f(x)=¥(+¥,-¥)，则称x0为f(x)的无穷间断点。 limf(x)不存在，且在x0的邻域内，f(x)能无数次取A、B两个数之间的一切值，则称x0为f(x)的振x®x0荡间断点。 、统称为第二类间断点。 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续，该区间也称为函数的连续区间如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续 函数连续的主要结论 函数在一点连续的充分必要条件：函数f(x)在点x处连续的充分必要条件是f(x)在点x 处既左连续又00右连续 如果f(x),g(x)在x0点连续,则f(x)±g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)(g(x0)¹0)在x0点连续。 如果f(x)在x0点连续，g(u)在u0=f(x0)处连续，则复合函数gf(x)在x=x0处连续。 若在a,b上f(x)严格单调且连续，则其反函数y=f闭区间上连续函数的性质： l l l l 闭区间a,b上连续的函数必有最大最小值。 闭区间a,b上连续的函数必有界。 若f(x)在闭区间a,b上连续，且有f(a)<f(b)，对于f(a)<c<f(b)的任意实数，必存在xÎa,b使得f(x)=c。 若f(x)在闭区间a,b上连续，且f(a)f(b)<0，则必有的函数必有xÎa,b使得f(x)=0。 -1 (x)在f(a),f(b)上连续。初等函数的连续性定理：基本初等函数在其定义域内是连续的一切初等函数在其定义区间内都是连续的 3 方法与疑难解析 1 方法解析 1、求函数定义域的方法：函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则： (I) 在式子中分母不能为零； 6 (II)在偶次根式内非负； (III)在对数中真数大于零； (IV)反三角函数 arcsinx,arccosx，要满足x£1； (V)两函数和的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集. (VII)求复杂函数的定义域，是将复杂函数分解为若干个基本初等函数，并分别讨论它们的定义域与值域，列出不等式组，求出它们之交，就得其定义域。值得注意的是，分段函数的定义域是各段函数定义域之并。 2、将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法： 复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算. 基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3、建立实际问题的函数模型的方法：运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算. 建立函数模型的具体步骤可为 ： (1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示. (2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系. (3) 具体写出解析式y=f(x)，并指明其定义域. 4、求极限的基本方法： 利用函数的连续性求极限； 利用四则运算法则求极限； 利用两个重要极限求极限； 利用无穷小替换定理求极限； 利用分子、分母消去共同的非零公因子求00形式的极限； ¥¥ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限； 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限 用极限的定义证明极限 利用无穷小与无穷大的互倒关系求极限 利用单调有界准则求递归定义数列的极限 利用夹逼法则求极限 以后还将学到： 利用洛必达法则求极限 利用定积分的定义求极限 利用级数收敛的必要条件求极限 2 疑难解析 本章内容统称为极限论，包括三个部分，函数、极限与连续。极限知识是微积分学的基础，也是研究导数、各种积分、级数等内容的基本工具，既是教学的重点、又是难点。 问题1：分段函数是初等函数吗？ 解析：分段函数一般不是初等函数，不同区间上其解析式不相同，即它不能用一个解析式来表示，所以说它不是初等函数但是，也有特殊的分段函数， 7 如f(x)=íìx,x³0,î-x,x<0,它与g(x)=x是相同的函数，故f(x)可以用一个解析式表示，所以f(x)可2以称为初等函数 问题2：怎样利用极限定义证明极限？ 解析：用极限定义证明极限，就方法而言，一般是采用先分析后综合的方法。下面以证明limf(x)=A为例，x®x0说明证明步骤如下： 将绝对值f(x)-A进行不等式的放大，在放大过程中保留分子中的x-x0因子，而把分子分母中其余的因子均用常数来替换，则不等式最后变为f(x)-A£lx-x0 "e>0，要使f(x)-A<e，只须l|x-x0|<e，由此分析出|x-x0|<el=d(e) 取d=mind0,d(e)，其中d0>0为使不等式f(x)-A£lx-x0成立的条件 当0<x-x0<d时，恒有f(x)-A<e 故limf(x)=A. x®x0问题3：两个无穷大之和还是无穷大吗？ 解析：不一定如：不是x®+¥ x是x®+¥时的无穷大量, 1-x也是x®+¥时的无穷大量, 但其和为1，时的无穷大量. 问题4：无穷大量与无界量有什么区别和联系？ 解析：区别：无穷大量是在某变化过程中的一个变量："M>0,$某时刻，从此时刻后，有f(x)>M，称f(x)在该过程中是无穷大量.即 limf(x)=¥Û"M>0,$ d>0 , 当0<x-x0<d时，有x®x0f(x)>M. 无界量是针对某数集而言："M>0,$ x0ÎX，使得f(x0)>M，称f(x)在数集X上无界.即 f(x)在U(x0)内无界Û"M>0,$ x1ÎU(x0)，使得f(x1)>M. 联系：无穷大量是一种特殊的无界变量，而无界量不一定是无穷大量，但它至少存在一个无穷大子列。 问题5：在利用等价无穷小代换求极限时，一般都强调对无穷小因子进行等价代换，而对含有加、减项的无穷小一般不能随便代换，为什么？ 解析：等价无穷小代换的原理是：在自变量的某变化过程中 若f(x)g(x)，则limf(x)h(x)=lim(f(x)g(x)h(x)×g(x)=limg(x)h(x)oo. 从而可对因子进行等价无穷小代换，但不能随意扩大到加、减项，如在某过程中，若f(x)f1(x)，g(x)g1(x)，一般不能有limf±gh=limf1±g1h，其根本原因在于：此时一般不能保证f±gf1±g1成立，因而不符合等价代换原理.例如：在x®0时，虽然sinxx，tanxx，而limx®0tanx-sinx=-1，但tanx-sinx与x-x 不等价，所以limtanx-sinxsinx3x®0=limx-xx3x®0=0是错误的运算. 问题6：函数在一点x0处有定义，存在极限，连续三个概念之间的关系如何？ 解析：函数f(x)在x0处有定义，不一定在该点存在极限，更不一定连续；f(x)在x0处存在极限，但在x0处不一定有定义，也不一定连续；若f(x)在x0处连续，则f(x)在x0处既有极限又有定义，而且极限值8 等于函数值。 问题7：怎样理解函数的间断点及其分类？ 解析：函数的间断点是以否定连续性来定义的。要讨论函数f(x)在点x0处的连续性，首先看f(x0)是否存在，若f(x)在x0无定义，则说明x0是f(x)的间断点；其次看limf(x)是否存在，若不存在，则也说明x0是f(x)x®x0的间断点；最后看若f(x0)及limf(x)都存在时是否相等，如果不相等，则仍说明x0是f(x)的间断点。 x®x0间断点的类型是按极限limf(x)的各种情况进行分类：左、右极限都存在的间断点称为第一类间断点，其x®x0中左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点，此时limf(x)存在，但f(x0)不存在或limf(x)¹f(x0)；x®x0x®x0-+左、右极限存在但不相等的间断点称为跳跃间断点，此时f(xo)¹f(x0)，因而limf(x)不存在。第一类间断x®x0点之外的其他间断点属于第二类间断点，即左、右极限至少有一个不存在的间断点，其中包括无穷间断点2 典型例题 1函数概念与性质 判断下列各对函数是否相同。 f(x)=(x)2,g(x)=f(x)=1-cos2x2； x,g(x)=sinx； f(x)=x,g(x)=x2； f(x)= x,g(x)=sin(arcsinx)； f(x)=lg(x+2x-1),g(x)=-lg(x-22x-1)； 2f(x)=3x+2x-1,g(t)=3t+2t-1； 解 确定函数的要素是其定义域和对应法则，因此，要判断两个函数是否相同，只要比较它们的定义域和对应法则。 f(x)的定义域是0,+¥)，g(x)的定义域是(-¥,+¥)，两者不相同，故f(x)与g(x)不相同。 f(x)与g(x)的定义域都是(-¥,+¥)，但f(x)=sinx,g(x)=sinx，两者的对应法则不尽相同，故f(x)与g(x)不同。 f(x)和g(x)是同一函数.因为，尽管二者的形式不一样，但定义域和对应法则都相同. f(x)和g(x)不是同一函数因为，f(x)的定义域是(-¥,+¥),而g(x)的定义域是-1,1. f(x)与g(x)的定义域都有是1,+¥)，且由 g(x)=lgx-1x-12=lgx+(x-1 2)可知f(x)与g(x)的对应法则也相同，故f(x)与g(x)表示同一个函数。 显然f(x)与g(t)的区别只是变量所用的符号不同，其定义域及对应法则都相同，因此f(x)与g(t)表示同一个函数。 求下列函数的定义域: 9 (1) y=16-x2+lnsinx，(2)y=13-x2+arcsin(x2-1). 解 (1) 由所给函数知,要使函数y有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 ì16-x2³0, 推得ísinx>0,ìí-4£x£42n<x<(2n+1)n=0,±1,±2×××这两个不等式的公共解为 -4£x<-p 与0<x<p所以函数的定义域为-4,-p)È(0,p). (2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即 ìï3-x¹0,ì-3<x<3,ï2 推得 3-x>0,ííî0£x£4,ïx-1<1,ïî2即 0£x<3,因此，所给函数的定义域为 0,3). 设y=f(x), x0,4,求f(x2)和f(x+6)+f(x-6)的定义域 解 因为y=f(x)的定义域为0,4，对于f(x2)应有0x4,即有-2x2，所以，f(x2)定义域为20£x+6£4,-6£x£-2,ììïï即í -2,2对于f(x+6)+f(x-6)应有í0£x-6£4,6£x£10ïïîî此不等式组无解，所以f(x+6)+f(x-6)的定义域为空集 求函数y=fê的定义域。 úëxû解 因为x是取整函数，故0<。 都有0<xxx<1，又x=x+g。即xx+éxùgxx¹k=1，故对于一切x>0，éxù<1。所以f的定义域为x>0，x¹k。 êxúxëûxx-1xx-1 设f(x)=解 因为f(x)=，求fêéùú，fff(x)，且用f(x)表示f(3x)。 ëf(x)û11f(x)=x-1xx-1é1ùx=1-x 所以fêú=x-1ëf(x)û-1xxæxö又ff(x)=fç÷=x-1èøxx-1=x，所以fff(x)=f(x)= xx-1-1x-110 f(3x)=3x3x-1=3x2x+x-1=3f(x)x-1= x2f(x)+12+1x-1æö，其中j(x)是当x¹1时有定义的已知函数，÷=af(x)+j(x)，èx-1øx3x 设f(x)满足关系式fç求f(x)。 解 令t=即f(x)=afçæxx-1Þx=tt-1，则f(t)=afçöætö+j÷ç÷ èt-1øèt-1øætöæxö÷+jç÷ x-1x-1èøèø11-a2x由上述联立的方程组得：f(x)= 设f(sin解 因为f(sin故f(x)=11-x2éæxöùaj(x)+jç÷ú。 êèx-1øûëx)=cos2x+tanx)=1-2sin22x，0<x<1，求f(x)。 11-sin22x+x-1=11-sin2x-2sin2x -2x。 设f(x)是内的严格递增函数，且恒有fff(x)=f(x)，试证明：f(x)=x。 证 欲证f(x)=x，只需证f(x)>x与f(x)<x均不成立，而这两个不等式，可由所给条件用反证法证之。若存在某个x使f(x)>x，则由f(x)的单调性有：ff(x)>f(x) 于是又有fff(x)>ff(x)>f(x)。 与假设矛盾。即得证f(x)>x不成立。 同理可证f(x)<x也不成立。总之：f(x)=x。 判断下列函数的奇偶性： f(x)=xsinx; f(x)=sinx-cosx; f(x)=ln(x+x+1). 2解 f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x)，所以f(x)=xsinx是偶函数 f(-x)=sin(-x)-cos(-x)=-sinx-cosx，所以f(x)=sinx-cosx既不是奇函数也不是偶函数 f(-x)=ln(-x+(-x)+1）=ln(-x+2x+1) 2éx+2=lnê(x+1-x)x+êëx+1ùú 2x+1ûú2=lnx+1x+12=-f(x)， 所以f(x)=ln(x+x+1)是奇函数 2 设函数f(x)满足关系式2f(x)+fçæ1ök÷=，k为常数，证明：f(x)为奇函数。 xèxø11 证 设法从已知关系式中解出f(x)，然后证明f(-x)=-f(x)即可。 æ1ök2f(x)+fç÷=，2xèxøkæ2æ1ööfç÷+f(x)=kx解得：f(x)=ç-x÷ 3èxèxøø于是f(-x)=kæ2kæ2ööç-+x÷=-ç-x÷=-f(x) 3èx3èxøø故f(x)是奇函数。 当xÎ0,p时，f(x)=0且f(x+p)=f(x)+sinx，证明：在内f(x)是以2p为周期的周期函数。并求f(x)的表达式。这里假定f(x)º/0，当xÎ0,p。 证 f(x+2p)=f(x+p)+p=f(x+p)+sin(x+p) =f(x)+sinx-sinx=f(x) 故：f(x)是周期函数。 假设a是f(x)的周期，且0<a<2p，则对于任意xÎ(-¥,+¥)，都有f(x+a)=f(x)。 特别地取x=0，得f(a)=f(0)=0；取x=p，得 f(p+a)=f(p)=0。 又f(x+a)=f(a)+sina，故sina=0，从而a=p。 于是，对于任意xÎ(-¥,+¥)都有f(x+p)=f(x)，而 f(x+p)=f(x)+sinx， 得sinx=0。矛盾。故f(x)是以2p为周期的周期函数。 任取xÎp,2p，则x-pÎ0,p，从而f(x-p)=0且 f(x)=f(x-p)+p=f(x-p)+sin(x-p)=-sinx 因此，函数f(x)在一个周期0,2p上的表达式为 ì0f(x)=íî-sinx0£x£pp<x£2p。 设f(x)是上的奇函数，且f(1)=a，对于任何x都恒有f(x+2)-f(x)=f(2)成立，试用a表示f(2)与f(5)；当a为何值时，f(x)是以2为周期的周期函数。 解 因为f(x)=-f(-x)即f(-x)=-f(x) 所以f(-x)+f(x)=0即f(0)=0 又f(1)=a，f(x+2)-f(x)=f(2) 当x=-1时，f(1)-f(-1)=f(2)故f(2)=2f(1)=2a f(3)=f(2+1)，f(3)-f(1)=f(2)故f(3)=3a，f(5)=5a。 由f(x+2)-f(x)=2a 若f(x)是以2为周期的周期函数，则f(x+2)=f(x) 即f(x+2)-f(x)=0，故当a=0时，f(x)是以2为周期的周期函数。 设函数f(x)和g(x)在区间(a,b)内是单调增加的，证明函数j(x)=maxf(x),g(x)及y(x)=minf(x),g(x)区间(a,b)内也是单调增加的。 证 设x1,x2Î(a,b)且x1<x2，则：f(x1)<f(x2)，g(x1)<g(x2) 从而maxf(x2),g(x2)>f(x1)，maxf(x2),g(x2)>g(x1) 于是j(x2)=maxf(x2),g(x2)>maxf(x1),g(x1)=j(x1)。 12 因此j(x)=maxf(x),g(x)在(a,b)内是单调增加的。 类似证明y(x)=minf(x),g(x)区间(a,b)内也是单调增加的。 验证函数 f(x)=5x2x+32在R内有界. 2x×3=26x, 当x¹0时,有 解法1 由2x2+3=(2x)2+(3)2³2f(x)=5x2x2+3=5x2x2+3£5x26x=526£3 f(0) =0£3, 对 "xÎR, 总有 f(x) £3, 即f(x)在R内有界. 解法2 令 y=得y25x2x2+3，关于x的二次方程2yx2-5x+3y=0有实数根，从而D=52-24y2³0，可£2524£4，即y£2。 解法3 令 x=æppötant, tÎç-,÷，对应xÎ(-¥ ,+¥)，于是 2è22ø3f(x)=5x2x25=æ2çètant232tant2+3ötant÷+32ø3=5265sint12=5335262tant+1sin2t£6costsect=526sin2t 可得f(x)=。 p2,证明:函数f(x)=tanx在(-p2)内为无界函数,但在(-p2,p2)内任一闭区间a,b上有界. 证 (1)对任意的正数M,取x0=arctan(M+1), 则-p2<x0<p2,tanx0=tan(arctan(M+1)=M+1>M p2,所以f(x)=tanx在(-(2)任取a,bÎ(-xÎa,b都成立. p2)内是无界函数. ),由于tanx在a,b上是严格递增的,从而tana£tanx£tanb对任意的p2p2令M=maxtana,tana,则对一切的xÎa,b,有tanx£M,所以f(x)=tanx在(-闭区间a,b上有界. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ (1) y=sin2p2,p2)内任一1x+12 ； y=ln(tanex+2sinx2) 2解 (1) 最外层是二次方，即y=u，次外层是正弦，即 u=sinv ，从外向里第三层是幂函数 ，即13 v=w-12，最里层是多项式，即 w=x+1, 所以，分解得 y=u ，u=sinv ，v=w22-12 ，w=x2+1. (2) 最外层是对数，即y=lnu,次外层是正切，即u=tanv, 从外向里第三层是指数函数，即v=ew ，最里层是简单函数，