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高等代数讲义456章第四章 矩 阵 知识点考点精要 一、矩阵及其运算 1、矩阵的概念 1）由m´n个数排成的m行n列的数表 æça11a12La1nö ça÷21a22La2nç÷ çMMM÷èam1am2La÷mnø称为一个m´n矩阵，记为 A=(aij)mn。 2）矩阵的相等 设A=(aij)mn，B=(bij)ls，如果m=l,n=s，且aij=bij, i=1,2,L,n,j=1,2,L,n都成立，则称A=B。 2、矩阵的运算 1）矩阵的加法 给定两个m´n矩阵 æça11a12La1nöæb11b1A=ça21a22La÷ç2L2nç÷çMMM÷， B=çb21b22Lèam1aLa÷ççMMm2mnøèbm1bm2LA和B加法定义为 æça11+b11a12+b12La1n+b1nöA+B=ça21+b21a22+b22La÷2n+b2nç÷çMMM÷èa÷m1+bm1am2+bm2Lamn+bmnø运算规律： (A+B)+C=A+(B+C)； A+B=B+A； A+0=A； 41 bn1öb÷n2÷M÷，b÷mnø A+(-A)=0。 2）数与矩阵的乘法 给定数域P中的一个数k，k与矩阵A的数乘定义为 æa11a12La1nöæka11ka12Lka1nöç÷ç÷aaLakakaLka21222n21222n÷=ç÷ kA=kççMMM÷çMMM÷ç÷÷ça÷ççka÷aLakaLkamnøm2mnøèm1m2èm1运算规律： k(lA)=(kl)A； k(A+B)=kA+kB； (k+l)A=kA+lA； 1×A=A。 3）矩阵的乘法 给定一个m´n矩阵和一个n´l矩阵 æça11a12La1nöæb11b12A=ça21a22La÷çL2nç÷M÷， B=çb21b22LçMMçèam1am2La÷ççMMmn÷øçèbn1bn2LA和B的乘法定义为 ænånççåa1ibi1a1ibi2i=n1i=ånLa1iböil÷i=çAB=ççåa2ibi1i=1ån1a2ibi2i=1ån1÷La÷2ibili=1÷ çMMM÷çnçèåamibi1i=1ånamibi2i=1ån÷La÷mibili=1÷ø运算规律： (AB)C=A(BC)； A(B+C)=AB+AC； (B+C)A=BA+CA； k(AB)=A(kB)=(kA)B。 一般情况下： 42 blö1b÷l÷2M÷，b÷nl÷ø AB¹BA； AB=0推不出A=0或B=0； AB=AC,A¹0推不出B=C 4）矩阵的转置 设 æaaLaöA的转置就是指 运算规律： (A')'=A'； (A+B)'=A'+B'； (AB)'=B'A'； (kA)'=kA'。 5）方阵的行列式 设n级方阵 A的行列式为 运算规律： ç11A=ça21ççMçèam1æça11A'=ça12ççMèa1næça11A=ça21ççMèan1a11A=a21Man1121na22La÷2n÷MM÷am2La÷mn÷øa21Lam1öaLa÷22m2÷MM÷a÷2nLamnøa12La1nöa÷22La2n÷MM÷ an2La÷nnøa12La1na22La2nMMan2Lann43 A'=A； kA=knA； AB=AB=BA,这里A,B均为n级方阵。 二、矩阵的逆 1、基本概念 1）逆矩阵 A是n级方阵，如果存在n级方阵，使得AB=BA=E,那么A就称为是 可逆的，B称为A的逆矩阵，记B=A-1。 2）伴随矩阵 设Aij是矩阵 æa11a12La1nöç÷aaLa21222n÷ A=ççMMM÷ç÷aaLannøèn1n2中元素aij的代数余子式，矩阵 æA11çA12* A=ççMçèA1n称为A的伴随矩阵。 2、n级矩阵A可逆的充要条件 A21LA22MA2nAn1ö÷LAn2÷ ÷M÷LAnnø=n，而A-1=A可逆ÛA¹0Û秩3、求逆矩阵的方法 1*A。 A1）如果n级方阵A,B满足AB=BA=E,则A=B,B2）公式法 A-1-1-1=A； =1*A； A3）利用初等变换； 44 4）利用分块矩阵求逆矩阵。 三、分块矩阵 1、基本概念 1）分块矩阵 设A是m´n矩阵，将A的行分割r段，每段分别包含m1,m2,L,mr 个行，又将A的列分割为s段，每段包含n1,n2,L,ns个列。于是A可用小块矩阵表示如下： æA11çA21çA=çMççAèr1其中Aij为mi´nj矩阵。 2）准对角矩阵 称数域P上的分块形式的n级方阵 A12LA1sö÷A22LA2s÷， MM÷÷Ar2LArs÷øæA1çA=ççççèA2ö÷÷ ÷O÷As÷ø为准对角矩阵，其中Ai(i=1,2,L,s)为ni级方阵，其余位置全是小块零矩阵。 2、分块矩阵的性质 1）对于两个同类型的n级准对角矩阵， æA1çA=ççççè有 A2öæB1÷ç÷，B=ç÷çO÷ççAs÷øèB2ö÷÷， ÷O÷Bs÷øæA1B1çAB=ççççèA2B2ö÷÷； ÷O÷AsBs÷ø 45 æA1+B1çA+B=çççèA2+B2ö÷÷ ÷O÷As+Bsø2）r(A)=r(A1)+r(A2)+L+r(As)； 3）A=A1+A2+L+As； 4）A可逆ÛAi(i=1,2,L,s)可逆，且 æA1-1çA-1=ççççè四、初等矩阵与初等方阵 1、矩阵的初等变换 A2-1ö÷÷。 ÷O÷-1÷Asø 指对矩阵的行施行的下列三种变换 1）换法变换 交换矩阵的两行； 2）倍法变换 用不等于0的某个数乘矩阵的某一行； 3）效法变换 用数k乘矩阵的某一行加到另一行。 2、初等矩阵 对单位矩阵施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，包括换法阵P(i,j) ，倍法阵 P(i(c)，消法阵P(j,i(k)。 3、矩阵的初等变换与初等矩阵的关系 对一个s´n的矩阵A实施一次初等行变换，相当于在A的左边乘上相应的s´s初等矩阵；对A实施一次初等列变换，相当于在A的右边乘上相应的n´n初等矩阵。 4、等价关系 如果矩阵A经过一系列初等变换变为矩阵B，那么就称A与B等价。等价关系具有反身性、对称性、传递性。 5、标准形 设r(A)=r，则矩阵A经过一系列初等变换可变为ççæErè00ö÷，后者称为A的标准形。 0÷ø 46 6、等价的几个重要条件 1）A与B等价Û存在初等阵R1,R2,L,Rs及T1,T2,L,Tl,使得 R1R2LRsATT12LTl=B. 2）A与B等价Û存在可逆阵P和Q，使得PAQ=B. 3）A与B等价Û秩(A)= 秩(B)。 7、用初等变换求逆矩阵的方法 初等变换法 (AME)初等行变换uuuuuuuuur(EMA)。 -1典型题真题精解 10例1设a=(1,2,3),b=1,1,1，求(ab)。 23'()''解：ab()10=(ab')(ab')L(ab')=a(b'a)(b'a)L(b'a)9个b， 由 æç1çæ1öæ1öç÷ç÷1，1ç2÷=3，ab'=ç2÷1，1，1=ç2b'a=1，2323çç3÷ç3÷çèøèøç3çè()()1ö÷3÷2÷1 ÷3÷31÷÷2ø12则 (ab)'10æç1çç=39ab'=39ç2çç3çè1ö÷3÷2÷1 。 3÷÷31÷÷2ø12例2已知c=çæ3-1ön÷，求c。 è-93øæ3-1öæ1ö解：因c=çç-93÷÷=çç-3÷÷(3-1) èøèø47 则 éæ1öù()cn=êç3-1÷úç÷ëè-3øûnæ1öéæ1öù=ç(3-1)÷çç-3÷êç-3÷÷úèøëèøûæ1ö=6n-1çç-3÷÷(3-1)èøæ3-1ö=6n-1çç-93÷÷èøn-1(3-1)例3设A,B及A+B都是n阶可逆阵，证明A+B也可逆，并求其矩阵。 证明：因A+B-1-1-1-1=A-1(B+A)B-1，由A-1，B+A，B-1都是可逆阵，故它们的乘积A-1+B-1也是可逆矩阵，且 -1-1(A+B)=éëABùû=B(A+B)A -1-1-1-1-1例4设A为已知的n级复矩阵，且A3=2E，E为n级单位阵，B=A2-2A+2E ， 证明：B可逆，且求B-1。 A2´A=E,证明：因A=2E，故23A-1=12A，又 2B=A2-2A+2E=A2-2A+A3 =A(A2+A-2E)=A(A-E)(A+2E) 因为 (A-E)(A2+A+E)=A3-E=2E-E=E 有 (A-E)所以 -1=A2+A+E (A+2E)(A2-2A+4E)=A3+8E=2E+8E=10E 则 48 (A+2E)=因B为可逆矩阵，且 -112A-2A+4E) (10-1B-1=éëA(A-E)(A+2E)ùû =(A+2E)-1(A-E)-1A-1 12122A-2A+4EA+A+EA ()()1021=(A6-A5+3A4+2A3+4A2) 201=(A2+3A+4E) 10=例5 设 æ1çç1A=ç1ççMç1è是n级方阵，求A00.0ö÷10.0÷11.0÷ ÷MM.M÷11.1÷ø()。 *解：因A=1，故A=A*n-1=1，于是A可逆，且(A*-1-1*-1)1*=*(A) A(A*)=(A*)(A*)=(A*) 又 A×A*=AEÞ所以 1×A×A*=E A(A*)=-11A=A A例6 设A是n(n³2)级非零实矩阵，且aij=Aij，这里Aij是A中元素aij的代数余子式，证明：A可逆，且求A。 证明：A为非零矩阵，设aij¹0，将A按第i行展开，得 -1A=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainEin=ai12+ai22+···+ain2>0 49 所以AA可逆，aij=Aij，A=AÞA又 *'-1=1'A AA*=A所以 n-1,A*=A'=A¹0 A所以 n-2=1,(n>2);又A>0ÞA=1 A-1=A' 例7设A,B是n级方阵，证明：E-AB可逆的充要条件是E-BA可逆。 证明：若E-BA不可逆，则E-BA=0，于是齐次线性方程组(E-BA)X=0有非零解，设h¹0是一个解，故(E-BA)h=0， 于是BAh=h 。 因(E-AB)Ah=Ah-AB(Ah)=Ah-A(BAh)=Ah-Ah=0；又Ah¹0,若Ah=0,则h=BAh=B(Ah)=0，与h¹0矛盾。 所以(E-BA)X=0有非零解，故E-BA=0与E-AB可逆矛盾，故E-BA可逆。 例8设m´n矩阵A秩为r，证明：从A中取出s个列向量作为列向量所构成矩阵的秩 ³r+s-m。 证明：设A=(b1,b2,L,bm)，取出s个列向量bj1,bj2,L,bjs，令B=(bj1,bj2,L,bjs)，r(B)=t，则设B的列向量的极大无关组为bj1,bj2,L,bjt，t£s£m，可将它扩充为A的列向量的极大线性无关组，即从m-s个列向量中选取r-t个线性无关的向量，则 r-t£m-sÞt³r+s-m 即 r(B)³r+s-m 注：将列变为行，取t行，则r(B)³r(A)+t-n。 例9 设A是一个n´m矩阵，r(A)=r，从A中取中s行t列，这些行列相交处元素按原来的位置排成s´t矩阵C，则 50 r(C)³r+s+t-m-n 证明：矩阵C可看成矩阵A中取s行得到矩阵A，然后从A1中r列而得的矩阵，则r(A1)³t+s-n， r(C)³r(A1+t-m) 所以 r(C)³r+s+t-m-n。 例10 设m´n实矩阵，A=(aij)mn，试证： 当m³n，t充分大时，rêçéætEnöù+Aú=n。 ÷ëè0øû当m£n，t充分大时，réë(tEm,0)+Aùû=m。 证明：证法类似 a12æt+a11çt+a22ça21çMMætEnö+A=çç÷an2è0øçan1çMMççaam2èm1令 LLLLLLa1nö÷a2n÷M÷÷ t+ann÷M÷÷amn÷øa12æt+a11ça21t+a22çA1=çMMçan2èan1a1nö÷La2n÷LM÷÷Lt+annøLætEnö÷+A的n阶非零子式，故è0ø当t充分大时，A1为严格对角占优矩阵，故A1¹0，A1是çætEnöç÷+A=n。 0èø例11设A=(aij)是一个n´n实矩阵，已知aii>0,i=1,2,L,n;aij<0,i,j=1,2,L,n；且åj=1aij=0,i=1,2,L,n，证明：r(A)=n-1。 证明：因 n 51 a11A=a21Man1a12La22LMLan2Lænçåa1jj=1a1nçnça2nçåa2j=çj=1MçMannçnççåanjèj=1a12a22Man2öLa1n÷÷÷La2n÷÷=0 LM÷÷÷Lann÷ø而A的子矩阵 æa11ça21A1=ççMççaèn-1,1因 故 a12a22Man-1,2a1,n-1ö÷La2,n-1÷ ÷LM÷Lan-1,n-1÷øLånj=1aij=0,i=1,2,L,n åj=1aij=-ain>0 ，(aii+åi¹jaij>0) Þaii>-åi¹jaij=åi¹j(-aij)=åi¹jaij,i=1,2,L,n-1. 从而A1为严格对角占优矩阵，从而A1¹0，A1是A的n-1级的非零子式，即r(A)=n-1。 例12 设A是n级非退化反对矩阵，b为n维列向量，求证：r(n-1n-1n-1n-1n-1Ab-b¢0)=n。 证明：令B=()，则 -b¢0B'=(A-b-A-b)¢=-B ¢¢¢-b0b0b0AbAb所以B也是反对称，故结论成立。 例13 设A为任意n级方阵，证明：r(Ann+1)=r(An)。 证明：A=0或A¹0，但A=0，结论成立。 下证A¹0且A¹0时，结论也成立，即证AX=0与Annn+1X=0同解。因为 An+1X=A(AnX)=0 52 则AX=0的解显然是Ann+1X=0的解；若X0是An+1X=0的解，而不是AnX=0的解，则AnX0¹0，于是X0,AX0,A2X0,L,An-1X0,AnX0均不为零且线性无关，即有n+1个n维列向n+1nn+1量线性无关，这不可能，则AX0=0，即AX=0的解也是AX=0的解，即AX=0与nAnX=0同解，则r(An+1)=r(An)。 例14 设A,B依次是m´k,k´n矩阵，而r(B)=k，证明：r(AB)=r(B)。 证明：因r(B)=k，于是k£n，则存在k级可逆阵P，n阶可逆阵Q, 使得B=P(Ek,0)Q，Ek为k级单位阵，(Ek,0)为k´n阵，故 AB=AP(Ek,0)Q 所以 r(AB)=r(AP(Ek,0)Q)=r(AP(Ek,0) =r(APEk,0)=r(AP,0)=r(AP)=r(A) 例 15 设A=aij()sn,B=(bij).证明 ：r(AB)³r(A)+r(B)-n nm证明 设r(A)=r1,r(B)=r2,r(AB)=r,则存在可逆阵P,Q,使 æEr1PAQ=çè0记 0ö÷ 0øæBr1´mö QB=ç÷ çB(n-r)´m÷1èø-1有 r=r(AB)=r(PAQQ-1B), 而 æErPAQQB=ç1è0-10öæBr1´möæBr1´mö÷=ç÷ç÷ ç÷0øèB(n-r1)´møè0ø于是 r=Br1´m=r(AB)=r 53 ()但 r(Q-1B)=r2 说明在B(n-r)´m中线性无关的行数为r2-r，而总行数为n-r1，故r2-r£n-r1，即1r³r1+r2-n。 54 第五章 二次型 知识点考点精要 一、二次型及其矩阵表示 1、二次型定义 设P是一个数域，系数在数域P上的x1,x2,.,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2,L,xn)=a11x12+2a12x1x2+L+2a1nx1xn+a22x22+L+2a2nx2xn+L+annxn2 =ååaxx,(aijiji=1j=1nnij=aji) 称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型。 2、二次型的矩阵表示 二次型f(x1,x2,L,xn)可写成矩阵形式 f(x1,x2,L,xn)=X¢AX 其中X=(x1,x2,L,xn)'，A=(aij)n´n,A=A¢。 A称为二次型f(x1,x2,L,xn)的矩阵，矩阵A的秩称为二次型f(x1,x2,L,xn)的秩。 3、矩阵的合同 设A,B是数域P上的n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆阵C，使 B=C¢AC， 那么称为B与A合同。矩阵的合同关系具有反身性，对称性，传递性。 二、二次型的标准形 æd1çç¢AX¾¾¾¾®YBY=g(Y)1、f(X)=X¢，若为对角阵BX=CY,C¹0çççè22Y¢BY=d1y12+d2y2+L+dnyn,称为二次型f(x)的标准形。 d2ö÷÷÷，则O÷dn÷ø2、定理 数域P上任意一个二次型f(x1,x2,L,xn)都可以经过非退化的线性替换化成标 准形 55 22d1y12+d2y2+L+dnyn 用矩阵的语言叙述，即 数域P上任意一个对称矩阵都合同与一对角阵。 3、化二次型为标准形的方法 1）配方法。 æd1öæAöæBöç÷dç÷ç÷2合同变换,只做列变换÷ ¢ACç2）合同变换法 L¾¾¾¾¾¾¾®L,B=Cç÷ç÷ç÷OçE÷çC÷ç÷èøèødnøè三、规范形 一个二次型使用不同的非退化线性替换，可能得到不同的标准形，即二次型的标准形不唯一，而它的规范形是唯一的。 1、复数域上二次型的规范形 复数域上的任意一个二次型f=X¢AX，经过一适当非退化的线性替换化成规范性 2z12+z2+L+zr2. 且它的规范形是唯一的，秩=r。 2、实数域上二次型的规范形 实数域上的任意一个二次型f=X¢AX，经过一适当非退化的线性替换化成规范性 222z12+z2+L+z2p-zp+1-L-zr 且它的规范形是唯一的，秩=r,p称为正惯性指数，(r-p)称为负惯性指数， 四、正定二次型及正定矩阵 1、基本概念 1）正定二次型 实二次型f(x1,x2,L,xn)称为正定的，如果对任意一组不全为零的实数c1,c2,L,cn都有 f(x1,x2,L,xn)>0 即正惯性指数秩n。 2）正定矩阵 实对称矩阵A称为正定的，如果二次型f=X¢AX正定。 56 3）半正定、负定、半负定、不定的二次型 设f(x1,x2,L,xn)是实二次型，对于任意一组不全为零的实数c1,c2,L,cn，如果都有 f(x1,x2,L,xn)³0，那么f(x1,x2,L,xn)称为半正定的，且正惯性指数秩；如果都有 f(x1,x2,L,xn)<0，那么f(x1,x2,L,xn)称为负定的，且负惯性指数秩n；如果都有 f(x1,x2,L,xn)£0，那么f(x1,x2,L,xn)称为半负定的，负惯性指数秩；如果f(x1,x2,L,xn) 既不是半正定的又不是半负定的，那么就成为不定的。 2、正定二次型、正定矩阵的判定 AX,A=A¢，下列条件等价 对于实二次型f(x1,x2,L,xn)=X¢1）f(x1,x2,L,xn)是正定的； 2）f(x1,x2,L,xn)的正惯性指数等于n； 3）A与单位阵合同； 4）A是正定的； 5）A的各级顺序主子式都大于0。 典型题真题精解 例1 设A为n级实对称矩阵，且A<0，证明：必存在实n维向量X0¹0,使X0AX0<0。 证明：由A<0知r(A)=n，且实二次型X¢AX经非退化线性特换X=CY化为标准型 2g(y1,y2,L,yn)=y1+y2+L+yp-yp+1-L-yn 2222p为正惯性指数，且0£p<n。 令V0=0,.,0p个,1,0,.,0'， 显然g(Y0)=-1<0,V0¹0，c可逆，则X0=CY0¹0，而且X0'AX0=g(Y0)=-1<0。 注：用二次型的标准形解决问题会比较方便。 ()AX(A=A¢)是一个实二次型，若有实n维向量X1,X2使例2 设f(x1,x2,L,xn)=X¢ 57 ¢AX0=0。 ¢AX1>0,X2¢AX2<0，证明：必存在实n维向量X0¹0，使得X0X1证明：由已知f(x1,x2,L,xn)是不定二次型，故有非退化线性替换X=CY，使得f(x1,x2,L,xn)的标准形为 222g(Y0)=y(y1,y2,L,yn)=y12+y2+L+y2p-yp+1-L-yr 1，0，L，0)，故g(Y0)=0，令X0=CY0，由Y0¹0知r=(A),0<p<r,取Y0=(1,0,L,0¢AX0=0。 X0¹0，且f(X0)= g(Y0)=0， 即存在X0¹0，使得X0例3 设f(x1,x2,L,xn)=X0AX0是一个实二次型，l1,l2,L,ln是A的特征多项式的根，¢X£X¢AX£lnX¢X。 且l1£l2£L£ln，证明："XÎRn，有l1X¢AX，必有正交线性替换X=TY，将 证明：对于实二次型f(x1,x2,L,xn)=X¢f(x1,x2,L,xn)化为 22y(y1,y2,L,yn)=l1y12+l2y2+L+lnyn 其中li，i=1,2,L,n得 为A的全部特征值，且l1£l2£L£ln，则对任意的XÎQ，X=TYn22X¢AX=l1y12+l2y2+L+lnyn 因 22l1(y1,y2,L,yn)£l1y12+l2y2£ln(y1,y2,L,yn) +L+lnynY£X¢AX£lnY¢Y，又由Y=T-1X ，知 YY¢=(T即得 l1Y¢故 -1X)T-1X=X¢X， l1XX¢£X¢AX£lnXX¢ 例4 设A为n级实矩阵，证明：A正定的充要条件是存在可逆实阵，使得A=PP。 证明：必要性 因A正定，故A与单位矩阵E合同，存在可逆实阵P，使A=P'EP，即A=P'P。 充分性 若存在可逆实阵P，使A=P'P，即A=P'EP则A与E合同，故A正定。 58 ,例5 设A是n´m实矩阵，且A是列满秩的，即r(A)=m，证明: A¢A正定。 证明：只要证实二次型X(A¢A)X正定. ,¢(A¢A)X0=(AX0)¢(AX0)。 因A,A是m级实对称阵，任取X0¹0ÎR，X0n由r(A)=m，知齐次线性方程组AX=0只有零解，于是对任意的X0¹0，AX0¹0. 令AX0=(k1,k2,Lkn)¢,其中ki不全为零的实数，于是 (AX0)¢(AX0)=åi=1ki2>0 ,故实二次型X(AA)X是正定实二次型，即AA正定。 ,n例6 设A是n´m实矩阵，且r(A)=m<n，证明：AA是n级半正定矩阵。 ,证明：因(AA)=AA ，故A,A为n阶实对称矩阵，任取X0¹0ÎR，则 n¢(A¢A)X0=(AX0)¢(AX0) X0又r(A)=m<n，故AX=0有非零解，对任意的X0ÎR 有 ,n(A¢X0)¢(A¢X0)³0 因此，实二次型X'(A'A)X半正定，故 A'A是半正定阵。 例7 设A是m级正定阵，B是n´m实阵.证明：BAB为正定矩阵的充要条件是r(B)=n。 ,证明：必要性 ,若B,AB正定，则X(BAB)XX为正定实二次型，于是对任意的X0¹0ÎR，都有 n¢(B¢A¢B)X0,即(BX0)¢A(BX0)>0 X0则BX0¹0，即BX=0只有零解，故r(B)=n。 充分性 因(B'AB)'=B'A'B=B'AB , 故B'AB是n阶实对称阵，又r(B)=n，故BX=0只有零解，于是对任意的X0¹0ÎR，设BX0=(c1,L,cn)¢，则 n¢(B¢AB)X0=(BX0)¢A(BX0)(c1,L,cn)A(c1,L,cn)>0 X0故B'AB为正定矩阵。 59 例8 设A为n级实对称阵，证明：t充分大时，tE+A是正定阵。 证明：设实对称阵的全部特征值为l1,l2,L,ln，于是tE+A的全部特征值为 ui=t+li,(i=1,2,L,n) 则t充分大时，ui=t+li>0,(i=1,2,L,n) ，因tE+A是实对称阵，则tE+A正定。 例9 设A，B均为n级正定矩阵，则AB的所有特征值全大于0。 证明：因A为正定阵，故A与n级单位阵合同，即存在可逆阵P，使得P'AP=E，于是 P'(AB)(P')-1=P'APP-1B(P')-1=P-1B(P-1)' 因B正定，故PB(P)也正定，而它与AB相似，因此有相同的特征值，故AB的特征值全大于零。 注: 虽然AB的特征值全大于零，但AB未必正定，因AB未必是对称阵。若AB=BA，则AB必是对称的，于是AB正定。结论：两个同级可换的正交矩阵的乘积是正定矩阵。 例10 设A是n´m实矩阵，B=lE+A'A，证明：l>0时，B是正定矩阵。 证明：因B'=(lR+A'A)'有 ''''X0BX0=X0(lE+A¢A)X0=lX0X+X0(A¢A)X0 -1-1=ElA+'AB=, 故B是n阶实对称矩阵，任取X0¹0ÎR，n又X0X>0，由A¢A半正定，知X0A¢AX0³0，当l>0时，X0BX0³0, 于是，X,BX是正定实二次型，故B正定。 60 '''第六章 线性空间 知识点考点精要 一、线性空间 1、线性空间的定义 设V是一个非空集合，P是一个数域，在V的元素之间定义了加法运算，即对于"a,bÎV，都有a+bÎV。在P与V的元素之间还定义了数量乘法运算，即对于"aÎV,kÎP，都有 "kaÎV。且对这两种运算满足下列八条规则： 加法交换律 "a,bÎV，有a+b=b+a； 加法结合律 "a,b,gÎV，有(a+b)+g=a+(b+g)； 存在“零元”，即存在0ÎV，使得"aÎV,0+a=a； 存在负元，即"aÎV，存在bÎV，使得a+b=0； “1律” 1×a=a； 数乘结合律 "k,lÎK,aÎV，都有(kl)a=k(la)=l(ka)； 分配律 "k,lÎK,aÎV，都有(k+l)a=ka+la； 分配律 "kÎK,a,bÎV，都有k(a+b)=ka+kb， 则称V为数域P上的线性空间。 2、基、维数与坐标 L，anÎV,如果 1）基 V是数域P上的线性空间，a1，a2，L，an线性无关； a1，a2，L，an线性表出, V中任一向量a都可以由a1，a2，L，an就称为V的一组基。 那么a1，a2，2）维数 线性空间V的基中所含向量的个数称为V的维数，换句话说如果在线性空间V中有n个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V就称为n维的。 注：如果V中存在任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。 61 L，an是V的一组基，b是V的任一向3）坐标 设V是数域P上n维线性空间，a1，a2，L，an线性表出： 量,则b可以由基a1，a2，b=k1a1+k2a2+L+knan, L，an下的坐标。 这组数就称为b在基a1，a2，3、基变换与坐标变换 1）过渡矩阵 ¢,e2¢,L,en¢是n维线性空间V的两组基，如果 设e1,e2,L,en与e1æa11a12La1nöç÷aaLa21222n÷ (e1¢,e2¢,L,en¢)=(e1,e2,L,en)ççMMM÷ç÷aaLannøèn1n2æa11a12La1nöç÷aaLa21222n÷ 矩阵 A=ççMMM÷ç÷aaLannøèn1n2¢,e2¢,L,en¢的过渡矩阵。 称为由基e1,e2,L,en到基e12）同一向量在不同基下的坐标之间的关系 ¢,e2¢,L,en¢是n维线性空间V的两组基，由基e1,e2,L,en到基 设e1,e2,L,en与e1¢,x2¢,L,xn¢),¢,L,en¢过渡矩阵为A。向量b在这两组基下的坐标分别为(x1,x2,L,xn)与(x1e1¢,e2则 æx1öç÷çx2÷=çM÷ç÷èxnø4、几个重要的线性空间 P=Pm´nn¢öæx1ç¢÷xAç2÷. çM÷ç÷¢øèxn(a,a,L,a)aÎP,i=1,2,L,n,dimP12nin=n； A=(a)ijm´nn-1aijÎP,i=1,2,L,n;j=1,2,L,n,dimPm´n=mn； PXn=an-1x+an-1xn-1+.+a1x+a0aiÎP,i=1,2,L,n-1,dimPXn=n。 62 PX=anx+an-1xnn-1+.+a1x+a0aiÎP,i=1,2,L,n,无限维。 二、线性子空间 1、线性子空间的概念 1）定义 V是数域P上的线性空间，W是V的非空子集合，如果W对于V的两种运算也构成数域P上的线性空间，那么W称为V的线性子空间。 2）子空间的充要条件 V的非空子集W是V的子空间ÛW对于V的两种运算封闭。 2、子空间的运算 W1,W2是线性空间V的子空间 1）子空间的交 W1IW2=aaÎW1,aÎW2，W1IW2仍为V子空间。 2）子空间的和 W1+W2=aa=a1+a2,其中a1ÎW1,a2ÎW2，W1+W2仍为V的子空间。 3）子空间的并 W1UW2=aaÎW1或aÎW2，一般不是V的子空间。 3、维数公式 维(W1)+维(W2)=维(W1+W2)+维(W1IW2)。 4、子空间的直和 1）直和的定义 设V1,V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量a的分解式a=a1+a2,a1ÎV1,aÎV2是唯一的，这个和就称为直和，记为V1ÅV2. 2）直和的充要条件 设V1,V2是线性空间V的子空间，下面这些条件是等价的： =s+s；=ks, 那么称s是V到V¢的同构映射，这时称为V与V¢同构，记为VV¢。这里a,b是V中任意向量，k是P中任意数。 2、同构的充要条件 VV¢Û维。 =维3、若维=n,则VP，即Pn是数域P上一切n维线性空间的代表。 n典型题真题精解 例1 设a1,a2,.,as(s³2)线性无关，又b1=a1+a2,b2=a2+a3,L,bs-1=as-1 +as,bs=as+a1,讨论b1,b2,.,bs的线性相关性。 解：设k1b1+k2b2+L+ksbs=0，于是 k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+L+ks(as+a1)=0 则 (k1+ks)a1+(k1+k2)a2+L+(ks-1+ks)as=0 又a,1a2,L,as线性无关，则 ìk1ïk1ïïík2ïMïïîks-1系数行列式 +ks+k2+k3M+ks=000 0LLM64 11D=L00011001LLL00010ì2，s为奇数 0=1+(-1)1+s=í0，s为偶数îLLLLL00L11.，bs线性无关；s为偶数时，b1，b2，.，bs线性相关。 故s为奇数时，b1，b2，例2 设数域P上线性空间V中向量组t为奇数时，b1,b2,.,bt满足 1）b1¹0;； 2）每个bi (i=2，3，t)都不能被b1,b2,.,bi-1线性表示； 证明：b1,b2,.,bt线性无关。 证法一：用反证法 若b1,b2,.,bt线性相关，则有不全为零的数k1,k2,L,kt使 k1b1+k2b2+L+ktbt=0 设kt,kt-1,.,k2,k1中第一个不等于零的是kl(1£l£t)，即kl¹0，而kl+1=L=kt=0，于是 k1b1+k2b2+L+klbl=0 若l=1，则k1b1=0，k1¹0 =>b1=0矛盾；所以l>1，则 bl=-k1/klb1-k2/klb2-L-kl-1/klbl-1 故bl可由b1,b2,.,bl-1线性表示，与2）矛盾，故b1,b2,.,bt线性无关。 证法二：设k1b1+k2b2+L+ktbt=0, 由2）知，bt不能由b1,b2,.,bt-1线性表示，故kt=0，则 k1b1+k2b2+L+kt-