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    高三数学 二项式定理.docx

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    高三数学 二项式定理.docx

    高三数学 二项式定理二项式定理 1 知识精讲: 0n1n-1rn-rrnn二项式定理:(a+b)=Cna+Cnab+L+Cnab+L+Cnb n*rn-rr其通项是Tr+1=Cnab ,知4求1,如:T6=T5+1=Cnan-5b5 5rnr亦可写成:Tr+1=Cna barnnn1n-1rn-rr(a-b)n=Cn0an-Cnab+L+(-1)Cnab+L+(-1)Cnb 0n1rn-rnn特别地:(1+x)=Cnx+Cnx+L+Cnx+L+Cnx n*其中,Cn二项式系数。而系数是字母前的常数。 12n例1Cn等于 +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn3r4n4n-1-1 D.A4 B。3×4 C。 33nn12n解:设Sn=Cn,于是: +3Cn+9Cn+L+3n-1Cn12n12n=Cn+3Cn3Sn=3Cn+32Cn+33Cn+L+3nCn+32Cn+33Cn+L+3nCn-1 3033故选D 例2求(1+2x)的展开式的第四项的系数; 求(x-)的展开式中x的系数及二项式系数 71x933337解:(1+2x)的展开式的第四项是T3+1=C7(2x)=280x, (1+2x)的展开式的第四项的系数是280 (x-)的展开式的通项是Tr+1=C9x719x9-2r=3,r=3, r9-r1(-)r=(-1)rC9rx9-2r, x33333x的系数(-1)C9=-84,x的二项式系数C9=84 二项展开式系数的性质:对称性,在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的0n1n-12n-2kn-k二项式系数相等,即Cn=Cn,Cn=Cn,Cn=Cn,LCn=Cn,L 增减性与最大值:在二项式展开式中,二项式系数先增后减,且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数,中间一项的二项式系数最大,即n偶数:Cn()rmax=Cn=Tn;2+1n2如果二项式的幂指数是奇数,中间两项的二项式系数相等并且最大,即(Crn-1n+1n)max=Cn2=Cn2=Tn-1+1=Tn+1。 22+1所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于2n即C0C1nnn+n+L+Cn=2; 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,C0+C21C31nn+L=Cn+n+L=2n- 例3已知(1-2x)7=a20+a1x+a2x+a7x7,求: a1+a2+a7; a1+a3+a5+a7; |a0|+|a1|+|a7|. 解:当x=1时,(1-2x)7=(1-2)7=-1,展开式右边为 a0+a1+a2+a7 a0+a1+a2+a7=-1, 当x=0时,a0=1,a1+a2+a7=-1-1=-2, 令x=1, a0+a1+a2+a7=-1 令x=-1,a70-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=3 - 得:2(aa71+371+a3+5+a7)=-1-3, a1+a3+a5+a7=-2. 由展开式知:a1,a3,a5,a7均为负,a0,a2,a4,a8均为正, 由中+ 得:2(a70+a2+a4+a6)=-1+3, aa-1+370+a2+a4+6=2, |a0|+|a1|+|a7|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7 =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=37 即æ1ö例4如果在çx+÷ç÷ 的展开式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的有42xøè理项。 næö1÷的展开式的常数项。 -2求çx+ç÷xèønn(n-1)解:展开式中前三项的系数分别为1, , 28nn(n-1)由题意得:2×=1+得n=8。 28设第r+1项为有理项,Tr+1有理项为T1=x,T5=431=c×r×x2r816-3r4,则r是4的倍数,所以r=0,4,8。 351。 x,T9=8256x23 求展开式中某一特定的项的问题时,常用通项公式,用待定系数法确定r。 æöçx+1-2÷ç÷xèø6-r2rræ1ö÷=çx-çx÷èør26,其展开式的通项为Tr+1=(-1)C6x所以,常数项为æ1öç÷6-rr6-rrçx÷=(-1)rCrx2-2=0èø62,令2得r=3 T4=-20 密切注意通项公式的使用。 二项式定理的应用:近似计算和估计、证不等式,如证明:2>2n(n³3,nÎN)取n2n=(1+1)的展开式中的四项即可。 nn1n-12n-2n-1+L+Cn7被9除得的余数是 例5、 若n为奇数,则7+Cn7+Cn7A0 B。2 C。7 D.8 n1n-12n-2n-1+L+Cn7=8n-1=(9-1)-1 解:7+Cn7+Cn7n=9n1n-1-Cn9+L+(-1)Cnn-19+(-1)-1 n-1nn1n-1-Cn9+L+(-1)Cnn-19-2 n-1因为n为奇数,所以原式=9所以,其余数 为9 2 = 7,选C 例6:当nÎN且n>1,求证2<(1+1n)<3 n证明: (1+1)n=1+C11+C21+L+Cn1>1+C11=2 nnnn2nnnnnnn(n-1)n(n-1)(n-2)1n(n-1)(n-2)L3×2×1 æ1ö+L+ç1+÷=2+2!n23!n!nnènøn1æ1öç1-n-1÷1111112è2ø <2+L+<2+2+L+n-1=2+12!3!n!2221-23-1 从而2<(1+1)n<3 <3.n2n-1这类是二项式定理的应用问题,它的取舍根据题目而定。 2重点难点: 二项式定理,和二项展开式的性质。 3思维方式:一般与特殊的转化,赋值法的应用。 4特别注意:二项式的展开式共有n+1项,Cnarn-rbr是第r+1项。 rn-rr通项是Tr+1=Cnab 中含有Tr+1,a,b,n,r五个元素,只要知道其中四个即可求第五个元素。 注意二项式系数与某一项系数的异同。 当n不是很大,|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1+x)的近似值。 n

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