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高三数学一些经典题目高三数学经典题目 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上 2313.(xy-yx)的展开式中xy的系数为 . 4解：xy-yx2C4=6()4=x2y2(x-y)4，只需求(x-y)4展开式中的含xy项的系数：w.w.w.s.5.u.c.o.m s4= . s5 14.设等差数列am的前n项和为sm.若a5=5a3,则解：Qan为等差数列，S99a5=9 S55a3o 15.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得7p,则球O的表面积等于 . 47p72设球半径为R，圆C的半径为r，由4pr=,得r2=. 44到圆C.若圆C的面积等于 因为OC=2R22217R)+r2=R2+得R2=2.故球O的表×=R。由R2=(484224面积等于8p. 16.已知AC、BD为圆o:x+y=4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1,2)，则四边形ABCD的面积的最大值为 . 解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,则d1+d2=OM=3. 四边形ABCD的面积S=222221|AB|×|CD|=2(4-d12)(4-d22)£8-(d12+d22)=5 2三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.(本小题满分10分) 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、ccos(A-C)+cosB=解：由cos(A-C)+cosB=代入cos(A-C)+cosB=32,b=ac求B 23，得 B=p-(A+C) 233得cos(A-C)-cos(A+C)= 22。第1/6页 然后利用两角和与差的余弦公式展开得sinAsinC=又由b=ac，利用正弦定理进行边角互化， 得sinB=sinAsinC，进而得sinB=故B=223； 43. 22p2p。当B=时， 33313由cosB=-cos(A+C)=-，进而得cos(A-C)=cos(A+C)+=2>1，矛盾，22或应舍去。 18. p 如图，直三棱柱ABCA1B1C1 中，分别为AA1、BC1的中点DE平面bcc1 证明：AB=AC 设二面角A-BD-C为60°，求B1C与平面BCD所成的角的大小。 解：连结BE，QABC-A1B1C1为直三棱柱， ÐB1BC=90°, QE为B1C的中点，BE=EC。又DE平面BCC1， BD=DC而DA平面ABC， 。 AB=AC求B1C与平面BCD所成的线面角，只需求点B1到面BDC的距离即可。 作AGBD于G，连GC，则GCBD，ÐAGC为二面角A-BD-C的平面角，=4.在RTDABD中，由ÐAGC=60°.不妨设AC=23，则AG=2,GC，易得AD×AB=BD×AGAD=6. 设点B1到面BDC的距离为h，B1C与平面BCD所成的角为a。利用11SDB1BC×DE=SDBCD×h，可求得h=23，又可33第2/6页 求得B1C=43 sina=h1=a=3°0 .B1C2即B1C与平面BCD所成的角为30°. 19 设数列an的前 n项和为Sn，已知a1=1,Sn+1=4an+2 设bn=an+1-2an，证明数列bn是等比数列 求数列an的通项公式。 a2=a4,解：由a1=1,及Sn+1=4an+2，有a1+1+2a2=3a1+2=5,b=-=1a22a13由Sn+1=4an+2， 则当n³2时，有Sn=4an-1+2 得an+1=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1) 又Qbn=an+1-2an，bn=2bn-1bn是首项b1=3，公比为的等比数列 由可得bn=an+1-2an=3×2 数列n-1，an+1an3-= 2n+12n4an13是首项为，公差为的等比数列 242na1331n-2a=(3n-1)×2 n， =+(n-1)=n-nn22444评析：第问思路明确，只需利用已知条件寻找bn与bn-1的关系即可 第问中由易得an+1-2an=3×2nn-1，这个递推式明显是一个构造新数列的模n+1型：an+1=pan+q(p,q为常数)，主要的处理手段是两边除以q 20 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人。先采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 求从甲、乙两组个抽取的人数； 求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率； 记x表示抽取的3名工人中男工人数，求x的分布列及数学期望。 解：由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理，若从甲乙两组中共第3/6页 抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人。 11C4×C68= 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率P= 2C1015x的可能取值为0，1，2，3 1111221C3C4C6C3C4C4C2628P(x=0)=2×1=×+×=，P(x=1)=， 2121C10C575C10C5C10C5751C62C21031P(x=3)=2×1=，P(x=2)=1-P(x=0)-P(x=1)-P(x=3)= C10C57575分布列为： x P(x) 0 6/75 1 28/75 2 31/75 3 10/75 Ex= 0*6/75+1*28/75+2*31/75+3*10/75=8/5 21. x2y23221(ab0)的离心率为 已知椭圆C，过右焦点F的直线L与C相3ab交于A、B两点，当L的斜率为1时，坐标原点O到L的距离为() 求a，b的值； 2。 2uuuruuuruuurOB成立？若() C上是否存在点P，使得当L绕F转到某一位置时，有OPOA存在，求出所有的P的坐标与L的方程；若不存在，说明理由。 解:(I）设F(c,0)，直线l:x-y-c=0，由坐标原点O到l的距离为2 2 则|0-0-c|2c3=,a=3,b=2. ，解得c=1.又e=2a32x2y2+=1.设A(x1,y1)、B(x2,y2) 由(I）知椭圆的方程为C:32由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设 l:x=my+1 代入椭圆的方程中整理得(2m+3)y+4my-4=0，显然D>0。 第4/6页 224m4 ,yy=-,122m2+32m2+3uuuruuuruuur.假设存在点P，使OP=OA+OB成立，则其充要条件为： 由韦达定理有：y1+y2=-(x1+x2)2(y1+y2)2点P的坐标为(x1+x2,y1+y2)，点P在椭圆上，即+=1。 32整理得2x1+3y1+2x2+3y2+4x1x2+6y1y2=6。 又A、B在椭圆上，即2x1+3y1=6,2x2+3y2=6. 故2x1x2+3y1y2+3=0 2将x1x2=(my1+1)(my2+1)=my1y2+m(y1+y2)+1及代入解得m=2222222221 24m232232y1+y2=或-P(,±). ,x1+x2=-,即+2=22222m2+32当m=2322时,P(,-),l:x=y+1; 22222322时,P(,),l:x=-y+1. 2222当m=-22. 设函数f(x)xaln(1x)有两个极值点x1，x2，且x1x2。 2 求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性； 证明：f(x)12ln2。 4a2x2+2x+a=(x>-1) 解: f¢(x)=2x+1+x1+x 令g(x)=2x+2x+a，其对称轴为x=-21。由题意知x1、x2是方程g(x)=0的两个2ìD=4-8a>01，得0<a< 2îg(-1)=a>0均大于-1的不相等的实根，其充要条件为í当xÎ(-1,x1)时，f¢(x)>0,f(x)在(-1,x1)内为增函数； 当xÎ(x1,x2)时，f¢(x)<0,f(x)在(x1,x2)内为减函数； 第5/6页 当xÎ(x2,+¥)时，f¢(x)>0,f(x)在(x2,+¥)内为增函数； 由g(0)=a>0,-1<x2<0，a=-(2x22+2x2) 2f(x2)=x22+aln(1+x2)=x22-(2x22+2x2)ln(1+x2) 设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(1+x)(x>-)， 则h¢(x)=2x-2(2x+1)ln(1+x)-2x=-2(2x+1)ln(1+x) 当xÎ(-1211,0)时，h¢(x)>0,h(x)在-,0)单调递增； 22当xÎ(0,+¥)时，h¢(x)<0，h(x)在(0,+¥)单调递减。 111-2ln2 当xÎ(-,0)时,h(x)>h(-)=2241-2In2故f(x2)=h(x2)>。 4第6/6页
