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高一数学必修1第一章知识点总结第一章 集合与函数概念知识点总结 1.1集合 1.1.1集合的含义与表示 一、集合有关概念 1. 集合的含义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合。 2. 集合中元素的三个特性： (1) 元素的确定性。 作为一个集合中的元素，必须是确定的。即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合。 如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性。 集合中的元素必须是互异的，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。 如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性。 集合与其中元素的排列顺序无关，如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合。这个特性通常用来判断两个集合的关系。 注：集合的概念可以从以下几个方面来理解 集合是一个“整体”； 构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征，这两个特征不是模棱两可的。判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合。 3.元素与集合的关系 aA与取决于a是不是集合A中的元素。根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A，在aA与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立。 集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只有是它的元素必须符合条件。 符号“”、“”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准。同时应辩证地理解元素与集合的区别与联系。 4.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 注意：常用数集及其记法： 非负整数集 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 1） 列举法：a,b,c 当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示，用列举法表示集合时，必须注意以下几点： a元素之间必须用“，”隔开； b集合的元素必须是明确的。 c不必考虑元素出现的先后顺序。 d集合中的元素不能重复。 e集合中的元素可以是任何事物。 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>2， 注：对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将元素一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法。用描述法表示集合，首先应弄清楚该集合的类型，是数集、点集还是其他的类型，描述法多用于元素个数无限的集合。 注意以下几点： a写清集合中的代表元素，如实数或实数对； b说明该集合中元素具有的性质，如方程、不等式、函数或几何图形等； c不能出现未被说明的字母； d所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的语句力求简明、确切。 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn图:当集合中元素个数较少时，可用venn图，当集合中元素个数无限时，可借助数轴，利用数轴分析法求解。 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：AÍB有两种可能A是B的一部分，即真子集；A与B是同一集合，即相等。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A 2“相等”关系：A=B (55，且55，则5=5) 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AÍA 真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同时 BÍA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 u 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，有2n-1三、集合的运算 运算交 集 并 集 补 集 类型 定 由所有属于A且属由所有属于集合A或设S是一个集合，A是义 于B的元素所组成属于集合B的元素所S的一个子集，由S中的集合,叫做A,B的组成的集合，叫做A,B所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子交集记作AIB 作A交B），即，即记作CSA，即 AIB=x|xA，且AUB =x|xA，或xxB B) CSA=x|xS,且x󰀀A 韦 恩 ABABS A 图 示 图1图2性 AIA=A AUA=A (CuA) I (CuB) AI= AU=A AIB=BIA AUB=BUA = Cu (AUB) AIBA AUB (CuA) U (CuB) 质 AIBB AUBB = Cu(AIB) AU (CuA)=U AI (CuA)= 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xÎR,N=x|x0，则M与N的关系是 . 4.设集合A=x1<x<2，B=xx<a，若AÍB，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC，AC=，求m的值 二、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 2.判断函数是否为函数 从三方面判断，即A、B必须是非空数集；A中任何一个元素B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应。 函数中的定义中的“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能“一对多”。 3.相同函数的判定 注意： 1>定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)整式： 分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A®B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A®B” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 1) 2)二函数的性质 3)1.函数的单调性(局部性质) 4)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x1，x2D，且x1<x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2确定f(x)与f(x)的关系； 3作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： 凑配法 待定系数法 换元法 消参法 10函数最大值 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y=x2-2x-15 x-12 x+3-3y=1-(x+1)2.设函数f(x)的定义域为0，1，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x+1)的定义域为-2，3，则函数f(2x-1)的定义域是 ì4.函数f(x)=ïx+2(x£-1)íx2(-1<x<2) ，若f(x)=3，则x= ïî2x(x³2)5.求下列函数的值域： y=x2+2x-3 (xÎR) y=x2+2x-3 xÎ1,2 (3)y=x-1-2x (4)y=-x2+4x+5 6.已知函数f(x-1)=x2-4x，求函数f(x)，f(2x+1)的解析式 7.已知函数f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x+4，则f(x)= 。 8.设f(x)是R上的奇函数，且当xÎ0,+¥)时,f(x)=x(1+3x),则当xÎ(-¥,0)时f(x)= f(x)在R上的解析式为 9.求下列函数的单调区间： y=x2+2x+3 y=-x2+2x+3 y=x2-6x-1 10.判断函数y=-x3+1的单调性并证明你的结论 21+x11.设函数f(x)=判断它的奇偶性并且求证：f(1)=-f(x) 21-xx