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领先课程第4讲 相交线与平行线教案第4讲 相交线与平行线教案 适用学科 适用区域 初中数学 通用 1.相交线 2.对顶角、邻补角 3.垂线段最短 4.点到直线的距离 5.同位角、内错角、同旁内角 6.平行公理及推论 7.平行线之间的距离 8.两直线平行的判定与性质 适用年级 课时时长 初中二年级 120 知识点 1.了解补角、余角、对顶角，知道等角的余角相等、等角的补角相等、对顶角相等；2.了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，理解点到直线的距离的意义； 教学目标 3.知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线；知道过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离; 4.会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的掌握平行线的性质与判定 1.利用垂直公理、平行公理及推论、平行线的性质及判定进行简单的推理 教学重点 2.平行线的性质和判定 3.平行线之间的距离处处相等的应用 1.识别同位角、内错角、同旁内角 教学难点 2.平行线的性质与判定 3.利用垂线段最短的性质作图 1 教学过程 一、课堂导入 同学们都看过奥运会吧，你能看出下面的图片中蕴含着哪些我们学过的知识么？ 容易看出第一行的图片让人想到垂直，而第二行的图片让人想到平行。即使我们不懂这些体育运动评分的标准，我们也能从运动员身体的形态、位置获得美感。在生活中，若我们能多用数学眼光去观察，会发现数学无处不在，它处处给人带来美的享受。 2 二、复习预习 1.邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 1的两边与对顶角相等 1与2 4 邻补角 3与4 3 有公共顶点 边互为反向延长线。 2.“三线八角”的识别： 平面内，两条直线被第三条直线所截，将平面分成了六个部分，形成八个角，其中有：4对同位角，2对内错角和2对同有公共顶点 2的两边互为反即1=2 向延长线 3与4有一条边公共，另一3+4=180° 大小关系 对顶角 1 2 旁内角。 正确认识这八个角要抓住：同位角位置相同要抓住位于截线同旁，被截两线的同方向F型；内错角位于截线两侧，被截两线之间要抓住Z型；同旁内角要抓住位于截线同旁，被截两线之间U型. 3.垂线及其性质： 定义：两条直线相交，夹角为90°时，这两条直线的位置关系称为垂直，这两条线互为对方的“垂线”，它们的交点称为“垂足”；根据定义判断两直线是否垂直时，只需要判断其夹角是不是90°。 垂线的性质： ü 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ü 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 距离 ü 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，称为点到直线的距离； ü 平行线之间的距离：作平行线的垂线，垂线段的长度，称为平行线之间的距离。 3 4平行线及平行线的判定、性质： 平行公理及其推论： ü 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； ü 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 平行线的判定及性质： 平行线的判定 1、 同位角相等，两直线平行 2、 内错角相等，两直线平行 3、 同旁内角互补，两直线平行 4、 平行于同一条直线的两直线平行 5、 垂直于同一条直线的两直线平行 5平移及其性质： 平移的条件：平移的方向；移动的距离 平移的性质： ü 平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小； ü 平移变换中，连结各组对应点的线段平行且相等。 平行线的性质 1、两直线平行，同位角相等 2、两直线平行，内错角相等 3、两直线平行，同旁内角互补 4、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 三、知识讲解 考点/易错点1 1.对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角。 易错点：对顶角都是成对出现的，单独的角不能构成对顶角；两条直线相交构成两对对顶角；对顶角只有公共顶点、没有公共边，它们的两边互为反向延长线。 2.如果与互为邻补角，则一定有+=180°；反之如果+=180°，则与不一定是邻补角。 易错点：邻补角有一条公共边，另一边互为反向延长线；邻补角补角；两相交直线可以形成四对邻补角。 考点/易错点2 1.同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线特有的性质，切不可忽略前提条件：“两直线平行”。当两直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角不互补。 2.只要两条直线被第三条直线所截，都存在同位角、内错角，但不一定相等，同旁内角不一定互补。 3.证明两直线平行时，必须弄清所用条件中的同位角、内错角、同旁内角是哪两条直线被哪一条直线所截而成的，因为推出的结论是除截线外的另两条直线平行. 4 考点/易错点3 “垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”的联系与区别： 1.线与垂线段 ü 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 ü 联系：具有垂直于已知直线的共同特征，且都是图形。(垂直的性质) 2.点间距离与点到直线的距离 ü 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 ü 联系：都是线段的长度，是数量；点到直线的距离是已知点与垂足间距离。 3.线段与距离：距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。 四、例题精析 有下列命题：两条直线被第三条直线所截，同位角相等；两点之间，线段最短；相等的角是对顶角；两个锐角的和是锐角；同角或等角的补角相等正确命题的个数是 2个 AB 3个 C 4个 D 5个 A忽略了两条直线必须是平行线；不应忽略相等的两个角的两条边必须互为反向延长线，才是对顶角；举一反例即可证明是错的：80°+60°=170°，170°显然不是锐角，故是错的是公理故正确；根据补角定义如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角，同角的补角相等比如：A+B=180°，A+C=180°，则C=B等角的补角相等比如：A+B=180°，D+C=180°，A=D，则C=B是正确的 此题考查的知识点多，用平行线的性质，对顶角性质，补角的定义等来一一验证 如图所示，指出下列各组角是由哪两条直线被哪一条直线所截得的，并说出它们是什么角？1和2；2和6；6和A；3和5；3和4；4和7 5 已知直线AB、CD相交于O，OEAB，垂足为O，OF平分AOC，AOF：AOD=5：26，求EOC 点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，线段AB的长度为 1A 0cm B4 cm C 10cm或4cm D至 少4cm D从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为73=4cm，其它情况下大于4cm。 此题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短 下列四个说法：两点之间，直线最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短；连接两点的线段，叫做两点的距离；从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离其中正确的是 AB C D 如图，ADBD，BCCD，AB=5cm，BC=3cm，则BD的长度的取值范围是 大于3cm A C 大于3cm或小于5cm 6 B 小于5cm D 大于3cm且小于5cm 如图，ABCD，P为AB、CD之间的一点，已知132°，225°，求BPC的度数. 解法1：过P作射线PNAB. ABCD，PNCD，4225°. PNAB，3132°. BPC3432°25°57°. 解法2：过P作射线PMAB.ABCD，PMCD. 6180°2180°25°155°. ABPM， 5180°1180°32°148°， BPC360°56360°148°155° 57°. 解法3：过C作CEBP交AB的延长线于点E.1E，BPC180°7. ABCD，E27180°， 7180°12180°32°25°123°， BPC180°7180°123°57°. 解法4：可过B作PC的平行线. 此图不是我们所学过的“三线八角”基本图，需适当添加辅助线，构造成我们所熟知的基本图形解题。 如图，已知B25°，BCD45°，CDE30°，E10°，试说明ABEF的理由. 7 如图，已知ABCD，探讨下面四个图形中，APC，PAB与PCD的关系 学习平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的），从图中可知，小敏画平行线的依据有 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等； 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行 PPPP(1) (2) (3) (4)D AB C C由作图过程可知，1=2，为内错角相等；1=4，为同位角相等；可知小敏画平行线的依据有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行 PPPP2431(1) (2) (3) (4)理解折叠的过程，图中的虚线与已知的直线垂直，故过点P所折折痕与虚线垂直 8 9 将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果1=56°，那么2等于 56° A 将ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A，若C=120°，A=26°，则ADB的度数为 B 68° C 62° D 66° 定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是 A 2 C到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，“距离坐标”是的点是M1、M2、M3、M4，一共4个 理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键 B 3 C 4 D 5 10 直线a、b、c是三条平行直线已知a与b的距离为5cm，b与c的距离为2cm，则a与c的距离为 2cm A C 7cm 如图，ABC，EFG，四边形ACEG的面积相等，并有AEGD，BC：EC=3：1由此可知DE：CE：BE= B 3cm D 3cm或7cm 如图，一块边长为8米的正方形土地，在上面修了三条道路，宽都是1米，空白的部分种上各种花草 请利用平移的知识求出种花草的面积 若空白的部分种植花草共花费了4620元，则每平方米种植花草的费用是多少元？ 解：×=6×7=42，答：种花草的面积为42米 4620÷42=110，答：每平方米种植花草的费用是110元 解决此题关键是要利用平移的知识，把要求的所有道路平移到矩形的边上进行计算 2211 如图所示，已知，BCOA，B=A=100°，试回答下列问题： 试说明：OBAC； 如图，若点E、F在BC上，且FOC=AOC，OE平分BOF求EOC的度数； 在的条件下，若左右平行移动AC，如图，那么OCB：OFB的比值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值； 在的条件下，当OEB=OCA时，试求OCA的度数 如图，将线段A1A2向右平移2个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1，在图中，将折线A1A2A3向右平移2个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1 在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移2个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示； 请你分别写出上述三个图形中阴影部分的面积：S1=，S2=，S3=； 如图，一块长方形草地，长为20米，宽为10米，草地上有一条弯曲的小路，请你写出小路部分所占的面积是米； 如图，若在中的草地又有一条横向的弯曲小路，请你写出小路部分所占的面积是米 2212 如图，为解决A、B、C、D四个小区的缺水问题，市*准备投资修建一个水厂， 不考虑其他因素，请你画图确定水厂H的位置，使之与四个小区的距离之和最小 另外，计划把河流EF中的水引入水厂H中，使之到H的距离最短，请你画图确定铺设引水管道的位置，并说明理由 连接AC和BD，线段AC和BD的交点H点就是水厂的位置 理由是：垂线段最短 线段AC和BD的交点即是水厂的位置过点H作直线EF的垂线段即可 下列各种说法 如图，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程： 如图，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D使CDAB，沿CD挖水沟，水沟最短； 如图，甲、乙两辆汽车分别沿道路AC，BC同时出发开往C城，若两车速度相同，那么甲车先到C城其中，运用“垂线段最短”这个性质的是 A B 53° C D 13 如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法：如图2，画PCa，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数写出这种做法的理由. 课程小结 1、基本几何模型：例如，ABCD，ABE=DCF，求证：BECF 如图1：拐角处巧添平行线 如图2：寻找“中介角”, 把已知角联系起来. 14 2、设计作图： 利用垂线段最短作图； 利用平行线之间距离处处相等作图： ü 基本图形： AEaCDbADaFBCbEc15