需求的价格弹性与销售收入关系的证明.docx

需求的价格弹性与销售收入关系的证明假设某商品的价格需求弹性Ed=1，开始时商品的价格为10元，需求量为100个单位，厂商的销售收入=10×100=1000元。若商品的价格上升1%，即价格为10.10元时，由于Ed=1，所以相应的需求量下降率为1%，即需求量下降为99个单位，厂商的销售收入=10.10×99=999.90元。显然，厂商提价后销售收入发生了变化，厂商销售收入的变化率为/1000×100%=-0.01%=-(1%)。 即无论是提高商品价格还是降低商品价格，厂商的销售收入都下降了，下降率为价格变化率的平方，而并非不变。下面我们对一般情况加以证明：一般情况的推导假设有某厂商：其产品的初始销售价格为P1，市场的需求量Q1，厂商将此商品的销售价格变动X%后，商品的销售价格变为P2，市场的需求量变为Q2，此种商品的价格需求弹性为Ed。在上述假设条件下，厂商的初始销售收入为TR1=P1Q1，商品的价格变动后，厂商的销售收入为TR2=P2Q2=P1(1+X%)Q2，则商品的价格变动后， 厂商销售收入变化量为 TR=TR2-TR1=P1(1+X%)Q2-P1Q1 而由弧弹性公式有,Ed=-(Q2-Q1)/Q1/(P2-P1)/P11 因为商品的价格变动X%，所以Ed=-(Q2-Q1)/Q1/X%，推得 Q2=Q1(1-X%Ed) 将式代入式，得商品的价格变动后，厂商的销售收入变化量为 TR=P1(1+X%)Q1(1-X%Ed)-P1Q1 =X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1 讨论: 1.由式知，当Ed=1时，TR=-(X%) P1Q1=-(X%) TR1，即当商品的需求的价格弹性为1时，商品的价格变动X%时，厂商的销售收入会下降，其下降量为X%的平方倍初始销售收入，而并非不变。 2.由式知，当Ed=0时,TR=X% P1Q1,厂商的销售收入的变化与商品的价格的变化成同方向同比例变化。 3.由式知，当Ed1时(Ed0),要判断TR是否大于0，则要判断X%(1-Ed-X%Ed)是否大于0。当Ed<1时若X%>0，即商品的价格上升时：如果(1-Ed-X%Ed)>0,即X%<(1-Ed)/Ed时，则X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1>0,即TR>0,这说明提高商品的价格会使厂商的销售收入增加；如果(1-Ed-X%Ed)<0，即X%>(1-Ed)/Ed时，则X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1<0,即TR<0,这说明提高商品的价格会使厂商的销售收入减少。若X%<0，即商品的价格下降时：(1-Ed-X%Ed)>0均成立，故X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1<0，这说明降低商品的价格会使厂商的销售收入减少。 当Ed>1时若X%<0，即商品的价格下降时：如果(1-Ed-X%Ed)>0，即X%<(1-Ed)/Ed时，则X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1<0,即TR<0,这说明降低商品的价格会使厂商的销售收入减少；如果(1-Ed-X%Ed)<0，即X%>(1- Ed)/Ed时，则X%(1-Ed-X%Ed) P1Q1>0,即TR>0,这说明降低商品的价格会使厂商的销售收入增加。若X%>0，即商品的价格上升时：(1-Ed-X%Ed)<0均成立，故X%(1-Ed-X%Ed)P1Q1<0，这说明提高商品的价格会使厂商的销售收入减少。 综合上述讨论可知：当Ed<1时，降低商品的价格会使厂商的销售收入减少；提高商品的价格时，还要保证商品价格的变化X%<(1-Ed)/Ed，提高商品的价格才会使厂商的销售收入增加；若X%>(1-Ed)/Ed，即使Ed<1时，提高商品的价格也会使厂商的销售收入减少。 当Ed>1时，提高商品的价格会使厂商的销售收入减少；降低商品的价格时，还要保证商品价格的变化X%>(1-Ed)/Ed，降低商品的价格才会使厂商的销售收入增加；若X%<(1-Ed)/Ed，即使Ed>1时，降低商品的价格也会使厂商的销售收入减少。 当Ed=1时，提高商品的价格和降低商品的价格都会对厂商销售收入造成影响，而并非不变。 三、结论从上述分析可知，经济学中有关商品需求的价格弹性和厂商销售收入之间关系的理论是不正确的。实际上，即使相同的价格变动率与销售量变动率，也会对销售收入造成不同的影响。并且，厂商的销售收入的变化除了与商品的需求的价格弹性有关外，还受到商品价格变动幅度的影响，商品的需求的价格弹性与厂商的销售收入之间成一种复杂的关系。 注释： 1 在通常情况下，由于商品的需求量和价格是成反方向变动的，(Q2-Q1)/Q1/(P2-P1)/P1为负值，所以，为了使需求的价格弹性系数Ed取正值，以便于比较，便在(Q2-Q1)/Q1/(P2-P1)/P1前面加了一个负号. 参考文献：高鸿业.西方经济学(第二版)M.