较难几何证明题.docx

较难几何证明题在锐角ABC中，BDAC于点D，E是AB边上一点，BD=2EC，ÐAEC=45°. 试证：EC=AD+AC的充要条件为. DE/BC AEDB证明： 充分性证明：在RtABC中，tanA=在AEC中，根据正弦定理CBD， ADACCE=， sinÐAECsinA因为ÐAEC=45°，所以sinA=CE2AC(1) (sinA)2BD2由于(tanA)=21-(sinA)AD22(2) BD=2EC(3) 联立得：8AC2-4CE2=AD2(4) EC=AD+AC(5) 联立得2AC=5AD 不妨设AD=2k，则AC=5k，AE=7k，BD=14k，AB=BD2+AD2=102k 2AE2+EC2-AC2=在AEC中，cosÐAEC=，得AE=32k或AE=42k，22×AE×EC当AE=32k时，cosA<0，此时不满足题设条件ABC为锐角三角形，舍去； 当AE=42k时， AE2AD=，所以有DE/BC成立，充分性证毕. AB5ACAEDB必要性证明：在RtABC中，tanA=在AEC中，根据正弦定理CBD， ADACCE=， sinÐAECsinA因为ÐAEC=45°，所以sinA=CE2AC(1) (sinA)2BD2由于(tanA)=1-(sinA)2AD22(2) BD=2EC(3) 联立得：8AC2-4CE2=AD2由于DE/BC，所以有(4) AEAD=ABAC(5)； 2AE2+EC2-AC2=在AEC中，cosÐAEC=22×AE×EC(6) 联立得7AE=42EC或9AE=42EC 所以可以设AE=42k，EC=7k，带入可得AC=5k，AD=2k 显然有EC=AC+AD成立，必要性证毕. 综上，原命题得证. 222