课时21 导数的概念及运算.docx

课时21 导数的概念及运算高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 课时21 导数的概念及运算 班级： 姓名： 一、高考考纲要求 1.理解导数的概念和导数的几何意义； 2.会求简单的函数的导数和曲线在一点处的切线方程 二、高考考点回顾 1.导数的定义：函数y=f(x)在x0处的瞬时变化率lim在x=x0处的导数，记作f/(x0)或y/即f/(x0)=limDx®0f(x0+Dx)-f(x0)Dy称为函数y=f(x)=limDx®0DxDx®0Dxx=x0， . 如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个xÎ(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(x)，从而构成了一个新的函数f¢(x).称这个函数f/(x)为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y/， 即f/(x)y/limDx®0导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数y=f(x)在x0处的导数y¢x=x0，就是导函数f¢(x)在x0处的函数值，即y¢x=x0f¢(x0). 2. 由导数的定义求函数y=f(x)的导数的一般步骤是: (1)求函数的改变量Df=f(x+Dx)-f(x); Dff(x+Dx)-f(x); =DxDxDf取极限，得导数y¢lim. Dx®0Dx求平均变化率3.导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数是曲线y=f(x)上点(x0,f(x0)处的切线的斜率. 因此，如果f¢(x0)存在，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为 . 3基本初等函数的导数公式 原函数 f(x)c(c为常数) f(x)xn(nQ*) f(x)sin x f(x)cos x f(x)ax 导函数 1 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： f(x)ex f(x)logax f(x)ln x 5. 4.导数运算法则： f(x)±g(x)¢=f(x)g(x)¢=； ；c×f(x)¢=； f(x)¢=g(x)(g(x)¹0). 三、课前检测 1.下列运算正确的是 22A(ax-bx+c)¢=a(x)¢+b(-x)¢ B(sinx-2x)¢=(sinx)¢-(2)¢(x)¢ C(cosx×sinx)¢=(sinx)¢×cosx+(cosx)¢×cosx 22cosx(cosx)¢-(x2)¢D (2)¢= xx22f(x)=ax+3x+2,若f(-1)=4,则a的值等于 A32'19161310 B C D 33333曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1，则P0点的坐标为 A(1,0) B(2,8) C(1,0)和(-1,-4) D(2,8)和(-1,-4) 4.设直线y=1x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值是 . 25曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_ 2 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 课内探究案 班级： 姓名： 考点一 导数的定义 用定义法求下列函数的导数。 y=x2；y=4. x2设函数f(x)在x=2处可导，且f¢(2)=1，求limh®0f(2+h)-f(2-h). 2h考点二：导数的运算 求下列函数的导数： x2-x+1x (1)y=(2x-1)(3x+1) (2)y=2 (3)y= x+x+11-1-x2 3 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： (4)y=3xex-2x+e (5)y=求下列函数的导数：y=5-4x3；y=3x2+xcosx； y=tanx；y=ex×lnx；y=lgx- 考点三 导数的几何意义 已知抛物线y=ax+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数2lnx x2+11. 2xa,b,c的值. 4 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 设曲线y=x+1x-1在点(3，2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a= A2 B12 C-12 D-2 1函数y=f(x)在点(xf(x0)-f(x0-2Dx)0,y0)处的切线方程y=2x+1，则Dlimx®0Dx等于 Ay=2x+2 By=2x-2 Cy=x-1 D y=x+1 3设曲线y=ax2在点处的切线与直线2x-y-6=0平行，则a= A1 B12C-12 D-1 4曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 924e 2e2e2e225 ） 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 课后巩固案 班级： 姓名： 完成时间：30分钟 1. 曲线y=x3-2x+4在点(1，3)处的切线的倾斜角为 A30° B45° C60° D120° 2.函数y=f(x)的图象在点x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f¢(5)等于 A1 B2 C0 D1 233.在函数y=x-8x的图象上,其切线的倾斜角小于p4的点中，坐标为整数的点的个数是 A0 B1 C2 D3 4已知函数f(x)在x=1处的导数为- Af(x)=1,则f(x)的解析式可能为 2Bf(x)=xe x12x-lnx 2Df(x)=Cf(x)=sinx 1+x x5.已知函数y=asinx+b的图象过点A(0,0)、B( 3p,-1)，试求函数过原点的切线方程. 26 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 1.抛物线y=x上的点到直线x-y-2=0的最短距离为_. 2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=212x+a(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切，且l与函数f(x)的2图象的切点的横坐标为1，则a的值为 。 223.已知f(x)=x+ax+b,g(x)=x+cx+d，又f(2x+1)=4g(x),且f¢(x)=g¢(x),f(5)=30,求g(4). 7 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 参考答案 课前检测 1.A 根据基本初等函数的求导公式和运算法则可知A正确. 2 D '2'f(x)=3ax+6x,f(-1)=3a-6=4,a=10 33C '2设切点为P,k=f'(a)=3a2+1=4,a=±1， 0(a,b)，f(x)=3x+1把a=-1，代入到f(x)=x3+x-2得b=-4；把a=1， 代入到f(x)=x3+x-2得b=0，所以P0(1,0)和(-1,-4). 4.b=ln2-1 111 ，令=得x=2， xx211故切点坐标为，所以切线方程为：y-ln2=(x-2)，整理得y=x-1+ln2 22所以b=ln2-1 '设曲线上切点的坐标为(x,y)，由y=52xy10 y3x21，y|x13×1212. 该切线方程为y32(x1)，即2xy10. Dyf(x+Dx)-f(x)(x+Dx)2-x2=, 因为DxDxDxx2+2x×Dx+(Dx)-x2=2x+Dx, Dx所以 y¢=limDy=2Dy=lim(2x+Dx)=2x. Dx®0DxDx®0444Dx(2x+Dx)， -=-2222(x+Dx)xx(x+Dx) 8 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： Dy2x+Dx， =-4×22Dxx(x+Dx)limDy=limDx®0DxDx®0é82x+Dxù=-. -4×ê322úx(x+Dx)ûxëDx®0由已知条件和导数的定义，可得： lim当Dx=h时，limf(2+Dx)-f(2)=f¢(2)=1， Dxf(2+h)-f(2-h)f(2)-f(2)=lim=1, h®0-h®0-hhf(2+h)-f(2-h)f(2+h)-f(2)+f(2)-f(2-h)lim=lim h®0h®02h2h1f(2+h)-f(2)1f(2)-f(2-h)1=lim+lim=1+1=1. 2h®0h2h®0h2(1) 解法一：y=(2x2-1)(3x+1)=6x3+2x2-3x-1， y¢=(6x3+2x2-3x-1)¢=(6x3)¢+(2x2)¢-(3x)¢=18x2+4x-3. 解法二：y¢=(2x2-1)¢(3x+1)+(2x2-1)(3x+1)¢=4x(3x+1)+3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3 =18x2+4x-3. x2-x+1x2+x+1-2x2x=1-, (2) y=222x+x+1x+x+1x+x+12(x2+x+1)-2x(2x+1)2x2-2 y¢=-=2(x2+x+1)2(x+x+1)2(3) y=xx(1+1-x)x(1+1-x)=1+1-x， 1-(1-x)1-1-x(1-1-x)(1+1-x)1. 21-xxxxxxxxxxxy¢=-(4) y¢=(3e)¢-(2)¢+e¢=(3)¢e+3(e)¢-(2)¢=(3e)ln3e-2ln2. 12(x+1)-lnx×2x(lnx)¢(x+1)-lnx×(x+1)¢xx2(1-2lnx)+1=(5) y¢=. (x2+1)2(x2+1)2x(x2+1)222：y¢=-12x； y¢=(3x+xcosx)¢=6x+cosx-xsinx； 22sinxcos2x+sin2x1sinx)¢=y=tanx=，y¢=(； 22cosxcosxcosxcosx9 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： y¢=(ex×lnx)¢=ex´lnx+ex´1x=ex(lnx+1x)； y¢=(lgx-111x2)¢=(lgx)¢-(x2)¢=xln10+-2x3 曲线y=ax2+bx+c通过点P(1,1) a+b+c=1 y¢=2ax+b, y¢|x=2=4a+b. 4a+b=1. 又曲线过Q(2,-1)点，4a+2b+c=-1. 联立解得a=3,b=-11,c=9. D y'=1´(x1)1´(x+1)2(x1)2=(x1)2在点(3，2)处的切线斜率k=2=142， 切线与已知直线垂直， -a=2，即a=-2. 1D 由题意可知f¢(x0)=2，故f(x0)-f(x0-2Dx)Dlimx®0Dx=lim2f(x0)-f(x0-2Dx)Dx®02Dx=2f¢(x0)=4. 2C f(1)=0，故切点坐标为(1,0)， f¢(x)=(xlnx)¢=lnx+x×1x=lnx+1，故f¢(1)=1， 切线方程为y-0=x-1，即y=x-1. 3A y'=2ax，于是切线的斜率k=y'x=1=2a，有2a=2Þa=1. 4D y¢=(ex)¢=ex,曲线在点(2，e2)处的切线斜率为e2， 因此切线方程为y-e2=e2(x-2),则切线与坐标轴交点为A(1,0),B(0,-e2), 10 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 所以SDAOB1e22=´1´e=. 221. B y¢=3x2-2，则k=y¢|x=1=1，故切线的倾斜角为45o. 2.B 由题意得f¢(5)=-1，因为(5,f(5)为切点，故f(5)=-5+8=3， 所以f¢(5)+f(5)=-1+3=2. 3.A 2y¢=3x2-8，由题意得0£y¢<1，即0£3x-8<1，解得8£x2<3，故没有整数点. 34D 代入逐个检验，A项，f¢(x)=x-1，f¢(1)=0； xB项，f¢(x)=(xex)¢=ex+xex，f¢(1)=2； C项，f¢(x)=(sinx)¢=cosx，f¢(1)=cos1； D项，f¢(x)=(+x)¢=-1x111¢f(1)=-+，. 2x22x5.因为函数的图象经过点A和B，所以A和B的坐标满足函数的方程，从而求出参数a,b，得到函数解析式. y=asinx+b的图象过点A(0,0)、B(3p,-1), 2ì0=asinx+bìa=1ïí，解得í 3pb=0-1=asin+bîïî2y=sinx 又y¢=cosx，所以y¢|x=0=1. 函数过原点的切线方程为y=x. 1.72 822 y=x,y¢=2x,而抛物线y=x与直线x-y-2=0平行的切线只有一条,且k=1,也就是 11 高三数学文科一轮复习学案 编写： 审核： 时间： 11-2|1177242x=1,这个切点坐标为(,),该点到直线的距离为d=242428|2.-2. 1 2f¢(x)=(lnx)¢=1，故f¢(1)=1，切点坐标为(1,0) x2而g¢(x)=(x+a)¢=x，由题意得直线l与函数g(x)的图象的切点横坐标为1，故两个函数的切点相同，所以12g(1)=12´12+a=0，求得a=-12. 3. 题设中有四个参数a,b,c,d,为确定它们的值需要四个方程. 由f(2x+1)=4g(x),得 4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d 于是有ìía+2=2c, îa+b+1=4d,由f¢(x)=g¢(x),得2x+a=2x+c, a=c. 由f(5)=30,得25+5a+b=30. 由可得a=c=2. 由得b=-5, 再由得d=-12. g(x)=x2+2x-12. 故g(4)=16+8-1472=2. 12