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解析几何第四吕林根课后习题答案第四章第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ì(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=25 íx+y-z+2=0î且母线平行于x轴；母线平行于直线x=y,z=c，试求这些柱面的方程。 解：从方程 ì(x-1)2+(y+3)2+(z-2)2=25 íîx+y-z+2=0中消去x，得到：(z-y-3)+(y+3)+(z-2)=25 即：y2+z2-yz-6y-5z-此即为要求的柱面方程。 2223=0 2ìx=y取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0且平行于直线í的直线方程为： z=cîìx=x0+tïíy=y0+tïz=z0î而M0在准线上，所以 Þìx0=x-tïíy0=y-t ïz=zî0ì(x-t-1)2+(y-t+3)2+(z-2)2=25 íîx+y-z-2t+2=0222上式中消去t后得到：x+y+3z-2xy-8x+8y-8z-26=0 此即为要求的柱面方程。 ìx=y2+z22、设柱面的准线为í，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。 x=2zî1,0,-2 解：由题意知：母线平行于矢量任取准线上一点M0(x0,y0,z0)，过M0的母线方程为： ìx=x0+tïíy=y0ïz=z-2t0îÞìx0=x-tï íy0=yïz=z+2tî0而M0在准线上，所以： ìx-t=y2+(z+2t)2 íîx-t=2(z+2t)222消去t，得到：4x+25y+z+4xz-20x-10z=0 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线x=y=z,x+1=y=z-1,与x-1=y+1=z-2的圆柱面方程。 解：过原点且垂直于已知三直线的平面为x+y+z=0：它与已知直线的交点为(0,0,0),(-1,0,1),(1,-1,4)，这三点所定的在平面x+y+z=0上的圆的圆心为333M0(-21113,-,)，圆的方程为： 1515152211213298ìï(x+)+(y+)+(z-)=15151575 íïîx+y+z=0此即为欲求的圆柱面的准线。 1,1,1的直线方程为： 又过准线上一点M1(x1,y1,z1)，且方向为ìx=x1+tïíy=y1+tïz=z+t1î将此式代入准线方程，并消去t得到： Þìx1=x-tïíy1=y-t ïz=z-tî15(x2+y2+z2-xy-yz-zx)+2x+11y-13z=0 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为g(u)=x(u),y(u),z(u)，母线的方向平行于矢量S=X,Y,Z，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： x=Y(u)+vS 与 ìx=x(u)+Xvïíy=y(u)+Yv ïz=z(u)+Zvî式中的u,v为参数。 证明：对柱面上任一点M(x,y,z)，过M的母线与准线交于点M¢(x(u),y(u),z(u)，则，M¢M=vS 即OM-OM¢=vS 亦即Y-Y(u)=vS，Y=Y(u)+vS 此即为柱面的矢量式参数方程。 又若将上述方程用分量表达，即： x,y,z=x(u),y(u),z(u)+vX,Y,Z ìx=x(u)+Xvïíy=y(u)+Yv ïz=z(u)+Zvî此即为柱面的坐标式参数方程。 § 4.2锥面 21、求顶点在原点，准线为x-2z+1=0,y-z+1=0的锥面方程。 解：设为锥面上任一点M(x,y,z)，过M与O的直线为： XYZ= xyz设其与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0=xt,Y0=yt,Z0=zt，将它们代入准线方程，并消去参数t，得： x2-2z(z-y)+(z-y)2=0 222即：x+y-z=0 此为所要求的锥面方程。 2222、已知锥面的顶点为(3,-1,-2)，准线为x+y-z=1,x-y+z=0，试求它的方程。 解：设M(x,y,z)为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为： X-3Y+1Z+2= x-3y+1z+2令它与准线交于(X0,Y0,Z0)，即存在t，使 ìX0=3+(x-3)tïíY0=-1+(y+!)t ïZ=-2+(z+2)tî0将它们代入准线方程，并消去t得： 3x2-5y2+7z2-6xy-2yz+10xz-4x+4y-4z+4=0 此为要求的锥面方程。 4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。 解： Q圆锥的轴l与i,j,k等角，故l的方向数为1:1:1 与l垂直的平面之一令为x+y+z=1 平面x+y+z=1在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，该圆的圆心为(,111,)，故该圆的方程为： 33312121222ìï(x-)+(y-)+(z-)=3333 íïîx+y+z=1它即为要求圆锥面的准线。 对锥面上任一点M(x,y,z)，过M与顶点O的母线为： XYZ= xyz令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0=xt,Y0=yt,Z0=zt，将它们代入准线方程，并消去t得： xy+yz+zx=0 此即为要求的圆锥面的方程。 5、求顶点为(1,2,4)，轴与平面2x+2y+z=0垂直，且经过点(3,2,1)的圆锥面的方程。 解：轴线的方程为：x-1y-2z-4 =221过点(3,2,1)且垂直于轴的平面为： 2(x-3)+2(y-2)+(z-1)=0 即： 2x+2y+z-11=0 该平面与轴的交点为(112037,)，它与(3,2,1)的距离为： 999112037116d=(-3)2+(-2)2+(-1)2= 9993要求圆锥面的准线为： 112202372116ìï(x-)+(y-)+(z-)=9999 íïî2x+2y+z-11=0对锥面上任一点M(x,y,z)，过该点与顶点的母线为： X-1Y-2Z-4= x-1y-2z-4令它与准线的交点为(X0,Y0,Z0)，即存在t，使X0=1+(x-1)t,Y0=2+(y-2)t, Z0=4+(z-4)t 将它们代入准线方程，并消去t得： 51x2+51y+12z2+104xy+52yz+52zx-518x-516y-252z+1299=0 6、已知锥面的准线为g(u)=x(u),y(u),z(u)，顶点A决定的径矢为g0=x0,y0,z0，试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： g=vg(u)+(1-v)g0 与 ìx=vx(u)+(1-v)x0ïíy=vy(u)+(1-v)y0 ïz=vz(u)+(1-v)z0î式中，u,v为参数。 证明：对锥面上任一点M(x,y,z)，令OM=g，它与顶点A的连线交准线于，即M¢=(x(u),y(u),z(u)OM¢=g(u)。 AM/AM¢，且AM¢¹0 AM=vAM¢ 即g-g0=v(g(u)-g0) 亦即g=vg(u)+(1-v)g0 此为锥面的矢量式参数方程。 若将矢量式参数方程用分量表示，即： x,y,z=vx(u),y(u),z(u)+(1-v)x0,y0,z0 ìx=vx(u)+(1-v)x0ïíy=vy(u)+(1-v)y0 ïz=vz(u)+(1-v)z0î此为锥面的坐标式参数方程，u,v为参数。 § 4.3旋转曲面 1、求下列旋转曲面的方程： x-1y+1z-1xyz-1绕=旋转 =1-121-12xyz-1xyz-1；=绕=旋转 =211-1-12x-1yz=绕z轴旋转； 1-33；2ìïz=x空间曲线í绕z轴旋转。 22ïîx+y=1解：设M1(x1,y1,z1)是母线x-1y+1z-1上任一点，过M1的纬圆为： =1-12ì(x-x1)-(y-y1)+2(z-z1)=0í222222îx+y+(z-1)=x1+y1+(z1-1)又M1在母线上。 (1)(2)x1-1y1+1z1-1 =1-12从消去x1,y1,z1，得到： 5x2+5y2+2z2+2xy+4yz-4xz+4x-4y-4z-8=0 此为所求的旋转面方程。 对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为： ì(x-x1)-(y-y1)+2(z-z1)=0í222222îx+y+(z-1)=x1+y1+(z1-1)因M1在母线上， (1)(2)x1y1z1-1 (3) =21-1从消去x1,y1,z1，得到： 5x2+5y2+23z2-12xy-24yz+24xz-24x+24y-46z+23=0 此为所求的旋转面的方程。 对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过该点的纬圆为： ìz=z1í222222x+y+z=x+y+zî111又M1在母线上，所以：(1)(2)x1-1y1z1= 1-33从消去x1,y1,z1，得到： 9(x2+y2)-10z2-6z-9=0 此为所求的旋转面方程。 对母线上任一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为： ìz=z1í222222îx+y+z=x1+y1+z1又M1在母线上，所以 2ìïz1=x1í22ïîx1+y1=1(1)(2)(1)(2)从消去x1,y1,z1，得到： x2+y2=1 z=z1=x12£10£z£1 22即旋转面的方程为：x+y=1 (0£z£1 )2、将直线xa=y-bz=绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就a,b可能的值讨论这是什01么曲面？ 解：先求旋转面的方程式： 任取母线上一点M1(x1,y1,z1)，过M1的纬圆为： ìz=z1í222222x+y+z=x+y+zî111又(1)(2)x1a=y1-bz1= 01从消去x1,y1,z1，得到： x2+y2-a2z2-b2=0 此即为所求旋转面的方程。 当a=0,b¹0时，旋转面为圆柱面； 当a¹0,b=0时，旋转面为圆锥面； 当a,b¹0时，旋转面变为z轴； 当a=0,b¹0时，旋转面为单叶旋转双曲面。 3、已知曲线G的参数方程为x=x(u),y=y(u),z=z(u)，将曲线G绕z轴旋转，求旋转曲面的参数方程。 解：如图，设M(x(u),y(u),z(u)为G上任一点，则对经过M的纬圆上任一点p(x,y,z)，令p在xoy面上的射影为p¢ 令Ð(i,op¢)=q，则g=op=op¢+p¢p， 而op¢=z M(x(u),y(u),z(u)x(u)+y(u) 22p op¢=x2(u)+y2(u)cosq×i+x2(u)+y2(u)sinq×j 而p¢p=z(u)k O q x p¢y g=x2(u)+y2(u)cosq×i+x2(u)+y2(u)sinq×j+z(u)k 此即为旋转面的矢量式参数方程，u,v为参数。 其坐标式参数方程为： ìx=x2(u)+y2(u)cosqïï22íy=x(u)+y(u)sinqïz=z(u)ïî(0£q<2p) §4.4椭球面 x2y2z2+=1的交线的图形。 1、做出平面x-2=0与椭球面2+494x2y2z2+=1的交线为： 解：平面x-2=0与椭球面2+494ìy2z2ìy+=1z3ïï273ï+= 椭 44 ，即 íí9ï4ïx=2îïîx=2x 图形为 x=z 22O z y 2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面x=4的距离的一半，试求此动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，要求的轨迹为S，则 M(x,y,z)ÎSÛ(x-1)2+y2+z2=1x-42Û3x2+4y2+4z2=12 x2y2z2+=1 即：433此即为S的方程。 x2y2z23、由椭球面2+2+2=1的中心，沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，abc设定方向的方向余弦分别为l,m,n，试证： 1l2m2n2=2+2+2 2rabc证明：沿定方向l,m,n到曲面上一点，该点的坐标为rl,rm,rn 该点在曲面上 r2l2r2m2r2n22+2+2=1 abc1l2m2n2即2=2+2+2 rabcx2y2z24、由椭球面2+2+2=1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面p1,p2,p3，abc设op1=r1,op2=r2,op3=r3，试证：111111+=+ r12r22r32a2b2c21li2mi2ni2证明：利用上题结果，有2=2+2+2riabc其中li,mi,ni是opi的方向余弦。 (i=1,2,3) 若将opi(i=1,2,3)所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则l1,l2,l3是坐标矢量关于222m12+m22+m32=1，n12+n22+n32=1 新坐标系的方向余弦，从而l1+l2+l3=1，同理，所以， 111111222222222+=(l+l+l)+(m+m+m)+(n+n+n123123123)222222r1r2r3abc=111+a2b2c2111111+=+ r12r22r32a2b2c2即：5、一直线分别交坐标面yoz,zox,xoy于三点A,B,C，当直线变动时，直线上的三定点A,B,C也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p，它与三点的距离分别为a,b,c，当直线按照这样的规定变动，试求p点的轨迹。 解：设A(0,y1,z1),B(x2,0,z2),C(x3,y3,0)，则知： x3=x2z1zy,y3=21 z1-z2z2-z1x2z1zy,21,0) z1-z2z2-z1C(又设p(x,y,z)，pA=a,pB=b,pC=c ìïx2+(y-y)2+(z-z)2=a211ïï2222í(x-x2)+y+(z-z2)=bïxzzyï(x-21)2+(y-21)2+z2=c2z1-z2z2-z1ïî又p在AB的连线上，(1)(2) (3)xy-y1z-z1= x1-y1z2-z1从消去y1,z1,x2,z2，得到 x2y2z2+2+2=1 2abc此为点的轨迹方程。 x2y2z26、已知椭球面2+2+2=1(c<a<b)，试求过x轴并与曲面的交线是圆的平面。 abc解：设要求的平面为：y+lz=0 它与椭球面的交线为： ìx2y2z2ï+=1 ía2b2c2 ïy+lz=0î若为圆，因以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为a，从而交线上的点2222都在球面：x+y+z=a上 即有：1-(l2b2+122)za+l2z2+z2=a2 2ca2-2+1)z2=0 c亦即：(l-2l2a2b2l-2l2a2b2a2-2+1=0 ca2a2即：l(1-2)=2-1 bc2a2-c2b2l=×2 c2b-a22ba2-c2 l=±22cb-aba2-c2满足要求的平面方程为：y±z=0 cb2-a2§ 4.5双曲面 1、画出以下双曲面的图形： x2y2z2x2y2z2-+=1； -+=-1 16941649解：图形如下： y O z y x O x z x2y2z2+=1(A>B>C>0) 2、给定方程A-lB-lC-l试问当l取异于A,B,C的各种数值时，它表示怎样的曲面？ x2y2z2+=1(A>B>C>0) 解：对方程 A-lB-lC-l1º、当l>A时，不表示任何实图形； 2º、当A>l>B时，表示双叶双曲面； 3º、当B>l>C时，表示单叶双曲面； 4º、当l<C时，表示椭球面。 x2y2z2+-=1，3、已知单叶双曲面试求平面的方程，使这平面平行于yoz面494且与曲面的交线是一对相交直线。 解：设所求的平面为x=k，则该平面与单叶双曲面的交线为： ìx2y2z2ï+-=1 í4 94ïx=kîìy2z2k2ï-=1-亦即 í944 ïx=kîk2=0，即k=±2 为使交线为二相交直线，则须：1-4所以，要求的平面方程为：x=±2 同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：y=±3 4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面x=1的距离的两倍，试求这动点的轨迹。 解：设动点M(x,y,z)，所求轨迹为S，则 M(x,y,z)ÎSÛ(x-4)2+y2+z2=2x-1Û(x-4)2+y2+z2=4(x-1)2 x2y2z2+=1 亦即：-41212此为S的轨迹方程。 x2y2z2+-=1与平面x-2z+3=0的交线对xoy平面的射影柱面。 5、试求单叶双曲面1645解：题中所设的交线为： ìx2y2z2ï+-=1 í1645ïx-2z+3=0î从此方程中消去z，得到： x2+20y2-24x-116=0 此即为要求的射影柱面方程。 6、设直线l与m为互不垂直的两条异面直线，C是l与m的公垂线的中点，A,B两点分别在直线l，m上滑动，且ÐACB=90，试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。 证明：以l，m的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令x轴与l，m的夹角均为a，公垂线的长为2c，若设tga=l，则l，m的方程分别为：z ìy+lx=0l:í z=cîìy-lx=0m:í îz=-c· l ·A(x1,y1,c) O y x · · m令A(x1,y1,c)，B(x2,y2,-c)，则有： y1+lx1=0,y2-lx2=0 222222222又ACCB，所以：x1+y1+c+x2+y2+c=(x1-x2)+(y1-y2)+(2c) 2亦即 x1x2+y1y2-c=0 又设M(x,y,z)为AB上任一点，则 x-x1x=y-y1=z-c 2-x1y2-y1-2c从中消去x1,y1,x2,y2，得： l2(1-l2)x2-(1-l2)y2+l2z2=l2c2 x2即：c2-y2z2l2c2+c2=1 (4) 1-l21-l2Ql不垂直m，l¹1 表示单叶双曲面，即AB的轨迹是一单叶双曲面。 7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为： ìïx=asecucosvìíy=bsecusinv 与 ïx=atgucosvïíy=btgusinv îz=ctguïîz=csecuìx=asecucosv解：对方程：ïíy=bsecusinv ïîz=ctgu,v，有：x2y2z2消去参数ua2+b2-c2=1 此即为单叶双曲面； ìx=atgucos又对方程：ïvíy=btgusinv ïîz=csecu消去参数u,v，有：x2y2z2a2+b2-c2=-1 此即为双叶双曲面方程。 (3) § 4.6抛物面 1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为xoz面与yoz面，且过点(1,2,6)和(,-1,1)，求这个椭圆抛物面的方程。 解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为： 13x2y2+2=2z 2ab令确定a与b 1Q(1,2,6)和(,-1,1)均在该曲面上。 3有： 4ì1+=1222ïïab íï1+1=2ïî9a2b2从而13616=,2= 25b5a36x26y2+=2z 所以要求的椭圆抛物面的方程为：5522即：18x+3y=5z 2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程： 到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹； 与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为2a，夹角为2a。 解：取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为(0,0,a)，而定平面即为z=0，设比值常数为c，并令所求的轨迹为S，则 点M(x,y,z)ÎSÛx2+y2+(z-a)2=c z22222即x+y+(1-c)z-2az+a=0 此为的方程。 取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取x轴，使其与二异面直线的夹角相等，则二异面直线的方程为： ìy+tga×x=0 与 íz=aî设所求的轨迹为S，则 ìy-tga×x=0 íz=-aîM(x,y,z)ÎSÛytgaz+az+axxy+0011tga1+tg2a222=即y-tgaz-az-axxy+0011-tga1+tg2a222：tg2a×(z+a)2+(z+a)2+(xtga-y)2=tg2a×(z-a)2+(z-a)2+(xa+y)2 经同解化简得：z=sinacosaxy a此即所要求的轨迹方程。 3、画出下列方程所代表的图形： ìx=y2+z2x2y2+z=1；z=xy；í 49îz=24、画出下列各组曲面所围成的立体的图形： y=0,z=0,3x+y=6,3x+2y=12,x+y+z=6 22x+y=z,三坐标平面，x+y=1; x=y-z2,1y=x,y=1 22222x+y=1,y+z=1 解：略。 5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成： ìïx=aucosvïíy=businv 与 ï1ïz=u22î式中的u,v为参数。 解：对方程 ìx=a(u+v)ïíy=b(u-v) ïz=2uvîìïx=aucosvïíy=businv ï1ïz=u22îx2y2消去参数u,v得：2+2=2z ab这正是椭圆抛物面的方程。 对方程 ìx=a(u+v)ïíy=b(u-v) ïîz=2uvx2y2消去参数u,v得：a2-b2=2z 这正是双曲抛物面的方程。 § 4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线1、 求下列直纹面的直母线族方程： x2+y2-z2=0 z=axy 解：从原方程得：x2-z2=-y2即：(x+z)(x-z)=-y×y 亦即：x+zy=-yx-z=tÛìíx+z=tyî(x-z)t=-y 为了避免取极限，将上方程写成： ìís(x+z)=tyî(x-z)t=-sy 若将原方程变形为：y2-z2=-x2，则可得到： íìu(y+z)=vxîv(y-z)=-ux 若令u=12(t-s)，v=12(t+s)，则便是 原曲面的直母线族是，其中s,t不全为零。 原方程变形为：zx=ay 亦即：zx=ay=t ìíz=xtîay=t 1）1） îax=s即这原曲面的两组直母线族方程。 2、 求下列直线族所成的曲面 ìx+2ly+4z=4lx-l2yz-l=； í 1-10îlx-2y-4lz=4ìx-l2=-y解：原方程等价于í îz=l2从此式中消去l，得：z=x+y 此即为直母线所形成的曲面。 x2y2+-z2=1 从原方程中消去l得：164此即为的直母线族所形成的曲面。 x2y2-=z上，求平行于平面3x+2y-4z=0的直母线。 3、在双曲抛物面164x2y2-=z的两族直母线为： 解：双曲抛物面164ìxy+ïï42íïu(x-ïî4ìxy-ïï42 及 íyïv(x+)=zï2î4=u=vy)=z2第一族直母线的方向矢量为：2,-1,u 第二族直母线的方向矢量为：2,1,v 据题意，要求的直母线应满足： 2´3-2-4u=0Þu=12´3+2-4v=0Þv=2要求的直母线方程为： ìx+ïï4íïx-ïî4y=12 及 y=z2ìx-ïï4íïx+ïî4y=22 yz=22x2y2z24、试证单叶双曲面2+2-2=1的任意一条直母线在xoy面上的射影，一定是其腰圆abc的切线。 ìx2y2=1ï+证明：单叶双曲面的腰圆为ía2b2 ïz=0î两直母线为： yìxz+=v(1-)ïïacb íxz1yï-=(1+)ïbîacv1y1ì2xï=v+(-v)它在xoy面内的射影为 ： ía vbvïîz=0将的第一式代入的第一式得： 1y14y22v+(-v)+2=4 vbvb即：11222112(v+)y+(-v)y+(-v)2=0 22vbvvbD=414121222(-v)-(v+)(-v)=0 222vvbvb上述方程的判别式为： 与相比，证毕。 x-6yz-1xy-8z+45、求与两直线与=相交，而且与平面2x+3y-5=0平=32132-21行的直线的轨迹。 解：设动直线与二已知直线分别交于(x0,y0,z0),(x1,y1,z1)，则 x0-6y0z0-1x1y1-8z1+4=， 32132-21又动直线与平面2x+3y-5=0平行，所以，2(x0-x1)+3(y0-y1)=0 对动直线上任一点M(x,y,z)，有：x-x0y-y0z-z0= x1-x0y1-y0z1-z0x2y2-=4z 从消去x0,y0,z0,x1,y1,z1，得到：94 6、求与下列三条直线 ìx=1， íîy=zìx=-1x-2y+1z+2 与 =í-345îy=-z都共面的直线所构成的曲面。 ìx=1ìx=-1解：动直线不可能同时平行于直线í及直线í y=zy=-zîî不妨设其与第一条直线交于p(1,l,l) 注p(1,l,l)与第二条直线的平面为：l(x+1)-(y+z)=0 过p与直线x-2y+1z+2的平面为l(x+1)-3(y-z)-3(x-1)+(y+z)=0 =-345动直线的方程为：íìl(x+1)-(y+z)=0îl(x+1)-3(y-z)-3(x-1)+(y+z)=0222从上式中消去参数l，得：x+y-z=1 此为所要求的轨迹方程。 7、试证明经过单叶双曲面的一 直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。 x2y2z2证明：单叶双曲面2+2-2=1的一族直母线为： abcyìxzu(+)=v(1+)ïïacb íxzyïv(-)=u(1-)ïbîac过该族中一条直母线的平面为：su(xzyxzy+)-v(1+)+tv(-)-u(1-)=0 acbacbxzyxzy即：su(+)-sv(1+)+tv(-)-tu(1-)=0 acbacbìxzm(+)=n(1-ïïac另一族直母线为：íïn(x-z)=m(1+ïîacy)b y)bxzyxzy+)-n(1-)+ln(-)-m(1+)=0 acbacbxzyxzy即km(+)-kn(1-)+nl(-)-ml(1+)=0 acbacb过该族中一条直母线的平面为：km(对照、得，只要令m=s,k=u,n=t,l=v，得便是了 亦即过u族每一直母线的任一平面都经过v族中的一条直母线， 同理，对v族的直母线也有类似性质。 x2y2对双曲抛物面：2-2=2z ab其族直母线为： ìxy+ïïabíïu(x-ïîa取其中的一条，显然平面母线中的任何一条，这是因为： v族直母线 =2uy)=zbxy，但该平面不通过v族直+=2u通过直母线abìxy-=wïïab íxyï(+)v=zïîab112v, baab11112v2而 ×+×+0×=¹0 abbaababxy平面+=2u不能通过v族中的任何直母线。 ab的方向矢量为,x2y2z28、试求单叶双曲面2+2-2=1上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。 abc解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条u母线和一条v母线， 所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为： yìxzw(+)=u(1+)ïïacb íxzyïu(-)=w(1-)ïbîacìxzt(+)=v(1-ïïacíïv(x-z)=t(1+ïîacx-a(u2y)b y)bu22将两方程化为标准式，得： a(u+w2)2uw-w2)2=y2buwz-=c(u-w22uw+w2)a(t2+v2)a(v2-t2)x-z-y2vt2vt= 222-2bvta(v-t)c(v+t2)由此求出二直线的交点坐标为： x=a(uv+wt)b(vw-ut)c(uv-wt) ,y=,z=vw+utvw+utvw+ut又二直线垂直， a2(u2-w2)(v2-t2)-4b2uvwt+c2(u2+w2)(v2+t2)=0 a2(uv+wt)2+b2(vw-ut)2+c2(uv-wt)2x+y+z=(vw+ut)2222a2(u2v2+w2t2)+b2(v2w2+u2t2)+c2(u2v2+w2t2)+2(a2-b2-c2)uvwt=(vw+ut)2(u2v2+w2t2)(a2+c2)+b2(v2w2+u2t2)+2(a2-b2-c2)uvwt=(vw+ut)2(a2-c2)(w2v2+u2t2)+b2(v2w2+u2t2)+2(a2-b2-c2)uvwt+4b2uvwt=(vw+ut)2(a2+b2-c2)(w2v2+u2t2+2uvwt)=(vw+ut)2=a2+b2-c2 222222即x+y+z=a+b-c x2y2z2又交点在单叶双曲面上，所以：2+2-2=1 abcìx2y2z2-=1ï+故交点的轨迹为ía2b2c2 ïx2+y2+z2=a2+b2-cîx2y29、试证明双曲抛物面2-2=2z(a¹b)上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲ab线上。 证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条u族直母线，也仅有一条v族直母线，所以同族的直母线不能相交。 设两相交的直母线为： ìbx+ay-2abu=0 其方向矢量为a,-b,2u íîubx-uay-abz=0ìbx-ay-2abu=0与 í 其方向矢量为a,b,2v ubx+uay-abz=0î由二直线直交，所以：a2-b2+4uv=0二直母线的交点坐标为： Þuv=12 (b-a2) 4ìx=a(u+v)ïíy=b(u-v) ïz=2uvîìx2y222-=b-aïïa2b2但由式有：í 22ïz=b-aï2î为一双曲线方程，交点在一双曲线上。 10、已知空间两异面直线间的距离为2a，夹角为2a，过这两条直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。 解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z轴，公垂线的中点为原点O，让x轴与二异面直线夹角相等，则二直线方程为： ìy+tga×x=0 与 íz=aî过这两直线的平面为： ìy-tga×x=0 íz=-aîp1:l(z-a)+u(y+tga×x)=0 p2:l(z+a)+m(y-tga×x)=0 二平面的交线为：íìl(z-a)+u(y+tga×x)=0îl(z+a)+m(y-tga×x)=0Qp1p2 ll+um(1-tg2a)=0 当二异面直线不直交时，tga¹1，从中消去l,u,l,m，得： x2y2z2-2+2=1 单叶双曲面 222a(ctga-1)a(1-tga)a此为要求的轨迹方程。 当二异面直线直交时，则tga=1，此时，变为： ìl(z-a)+u(y+x)=0 (1)¢ íîl(z+a)+m(y-x)=0ll=0