西南大学《数学物理方法》复习思考题及答案.docx

西南大学数学物理方法复习思考题及答案数学物理方法复习思考题 一、单项选择题 1、函数f(z)以b为中心的罗朗展开的系数公式为 f(k)(b)1f(z)A.Ck=òg(z-b)k+1dz B.Ck=k! 2piÑC.Ck=1f(z)k!f(z) dzD.C=kògz-bòg(z-b)k+1dz 2piÑ2piÑ2、本征值问题X¢¢(x)+lX(x)=0,X(0)=0,X(l)=0的本征函数是 npxnpx(2n-1)px(2n-1)pxsinsincos B C D ll2l2l3、点z=¥是函数cot z的 cosAA. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 5、设函数f(z)在单连通区域D内解析，C为D内的分段光滑曲线，端点为A和B，则积分òCf(z)dz A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关 6、 条件z<1所确定的是一个 A单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 7、条件0<z-1<2所确定的是一个 A单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 8、积分Ñò|z|=1zcosz2dz=A1 B-9、函数f(z)=¥11 C D0 221在z+1>2内展成z+1的级数为 1-z¥¥¥12n(z+1)nnA-å B C D zååån+1n+1n+12n=0zn=0n=0(z+1)n=0æ1ö10、点z=0是函数f(z)=çsin÷的 zøè-1A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 二、填空 1、 复数1-i3的三角形式为2，其指数形式为. 2、 复数sin+icospp55的三角形式为，其指数形式为. 3、 复数1+i3的实部u=2，幅角q=，虚部v=. ，模r=4、 复数-2+i2的实部u= ，虚部v= ，模r= ，幅角 q= . 5、 6、 7、 8、 9、 z4+1=0的解为z4+a4=0 (a>0) 的解为. . . . . z4-1-i=0的解为ez=1+i的解为ii=dz=10、 积分òz=1cosz11、 积分12、 积分. . . dzòz=1z2+2z+2=òz=1z3coszdz=. 13、 积分14、 积分òòbazcosz2dz=zcosz2dz=z=1. 15、 积分òzsinzdz=01. 16、 幂级数å2n=1¥1n的收敛半径为zn. (z-1)n17、 幂级数å的收敛半径为nn=1¥. 18、 z=0 为f(z)=19、 z=0 为f(z)=20、 1-cosz的3zsinz的3z. . 1+2i2-i+= . 3-4i5i21、 (2-i)-i(1-i2)= . 22、 i(1+3i)(3+i)= . 23、 积分dzòz=1z2-z-6=. 24、 幂级数1nå2z的收敛半径为nn=1¥. 25、 z-1=0的解为4. 26、 积分dzòz=1z2+z-6=. 27、 积分òp20zsinz2dz=¥. 28、 幂级数1nz的收敛半径为ånn=13¥. 29、 幂级数1nz的收敛半径为 . ån=1n1在|z+1|<2上展成(z+1)的泰勒级数为 . 1-z30、 函数f(z)=三、已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，求此解析函数。 1、u(x,y)=3xy2-x3 2、v(x,y)=eycosx 3、u(x,y)=2(x-1)y 4、v(x,y)=exsiny 5、u(x,y)=x2-y2+xy 6、v(x,y)=x3-3xy2 四、设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)解析函数，试确定l、m、n的值。 五、证明下列函数在复平面上解析，并求其导数。 1、f(z)=excosy+iexsiny 2、f(z)=exsiny-iexcosy 六、证明函数f(z)=zRez在复平面上不解析。 七、求下列积分 2z2-z+1dz，1、计算ò。 Cz-1sinp4zdz，C分别为：2、计算ò、z+i=Cz2+13、计算1、2，z-i=12， 1òz=1zsinzdz 。 idz4、算I=ò，、沿路径C1：z=1的左半圆周，、沿路径C2：z=1的右半-iz圆周。 5、计算òCezdz，C分别为：、z-2=3，、z+2=3 。 z-2ez6、计算ò5dz， C为： z=1 Czezdz,(1)c2:|z+1|=1,(2)c1:|z-1|=1,(3)c:|z|=2 7、计算ò222cz-1eizdz,8、计算ò2cz+1c:|z-2i|=3 29、计算2iòcz2+1dz,c:|z-1|=6 eiz10、计算òdz,cz(z-1)2八、将f(z)=c:|z|=2 z按z-1的幂级数展开，并指明收敛范围。 z+21九、将f(z)=在指定范围内展开成罗朗级数。 (z-1)(z-2)1、0<z-1<1； 2、0<z-2<1 十、把f(z)=1展为下列级数 (z-2)(z-3)1、 将f(z)展为z的泰勒级数，并给出收敛半径。 2、 将f(z)在2<z<3展为罗朗级数。 3、 将f(z)在3<z<¥展为罗朗级数。 十一、把f(z)=1展为下列级数 (z-1)(z-2)1、将f(z)展为z的泰勒级数，并给出收敛半径。 2、将f(z)在1<z<2展为罗朗级数。 3、将f(z)在2<z<¥展为罗朗级数。 十二、试用分离变数法求解定解问题 utt-a2uxx=0,uux=0t=0=0,u=x,utx=lt=0=0,=0.(0£x£l,t³0) 十三、求解定解问题 ut-a2uxx=0数学物理方法复习思考题答案 一、单项选择题 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 二、填空 1、 cosp3-isinp3,e-ip3i3p3p2、 cos+isin,e10 10103p3、 u=p13， r=1,q=+2kp,v=322v=2， r=2,q=(k=0,±1,±2,L) 4、 u=-2,i3p+2kp4(k=0,±1,±2,L) p+2kp45、 z=e,(k=0,1,2,3) 46、 zk=aeip+2kp,(k=0,1,2,3) 4p87、 zk=2ei4+2kp,(k=0,1,2,3) 8、 z=ln2+i(p4+2kp),(k=0,±1,±2,L) 9、z=e-(p2+2kp),(k=0,±1,±2,L) 10、 0 11、 0 12、 0 13、 1(sinb2-sina2) 214、 0 15、 sin1-cos1 16、 2 17、 1 18、 一阶极点 19、 二阶极点 20、 -2 521、 -2i 22、 -4 23、 0 24、 1 25、 z=e26、 0 27、 i2kp4,(k=0,1,2,3) 1 228、 3 29、 1 30、 å2n=0¥1n (z+1)n+1三、已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，求此解析函数。 1、f(z)=3xy2-x3+i(y3-3x2y+c)； 2、f(z)=eysinx+ieycosx+c； 3、f(z)=2(x-1)y+i(y2+2x-x2+c)； 4、f(z)=(excosy+c)+iexsiny； 5、f(z)=x-y+xy+i(221212y-x+2xy+c)； 22 6、f(z)=y3-3x2y+c+i(x3-3xy2)。 四、设f(z)=my3+nx2y+i(x3+lxy2)解析函数，试确定l、m、n的值。 l=n=-3,m=1 五、证明下列函数在复平面上解析，并求其导数。 1、f(z)=excosy+iexsiny 证明： u(x,y)=excosy，v(x,y)=exsiny ¶u=excosy,¶x¶v=exsiny,¶x¶u=-exsiny， ¶y¶v=excosy ¶y¶u¶v¶u¶v=,=-¶x¶y¶y¶x¶u¶u¶v¶vQ,在z平面上连续 ¶x¶y¶x¶yu(x,y),v(x,y)在z平面上可微f(z)在z平面上解析f¢(z)=¶u¶v+i=excosy+iexsiny=f(z) ¶x¶x2、f(z)=exsiny-iexcosy 证明： u(x,y)=exsiny， v(x,y)=-excosy ¶u=exsiny,¶x¶v=-excosy,¶x¶u=excosy， ¶y¶v=exsiny ¶y¶u¶v¶u¶v=,=-¶x¶y¶y¶x¶u¶u¶v¶vQ,在z平面上连续 ¶x¶y¶x¶yu(x,y),v(x,y)在z平面上可微f(z)在z平面上解析f¢(z)=¶u¶v+i=exsiny-iexcosy=-iex(isiny+cosy)=-iez ¶x¶x六、证明函数f(z)=zRez在复平面上不解析。 证明： f(z)=zRez=x(x+iy)=x2+ixy u(x,y)=x2， ¶u=2x,¶xv(x,y)=xy ¶v=x ¶y¶u¶v=0， =y,¶y¶x 由于当x¹0,y¹0，四个偏导数不满足哥西黎曼条件，所以函数在在复平面上处处不解析。 七、求下列积分 1、4pi 2、22p，p 223、 0 4、-pi ，pi 5、2pie ，0 26、1pi 127、-pie-1；pie； pie-pie-1=pi(e-e-1) 8、p 9、0 10、2pi 1e八、将f(z)=z按 z-1 的幂级数展开，并指明收敛范围。 z+21¥2f(z)=+ån+1(-1)n(z-1)n,3n=03z-1<3 九、将f(z)=1在指定范围内展开成罗朗级数。 (z-1)(z-2)¥-11、在 0<z-1<1内， f(z)=-å(z-1)n z-1n=0¥12、在0<z-2<1内， f(z)=-å(-1)n(z-2)n z-2n=0十、把f(z)=¥1展为下列级数 (z-2)(z-3)1öæ11、f(z)=åçn+1-n+1÷zn,|z|<23øn=0è2n¥¥z2n2、f(z)=-ån+1-ån+1,2<|z|<3n=03n=0z 3、f(z)=ån=0¥¥3n2n-å,3<|z|<¥zn+1n=0zn+1十一、把f(z)=¥1展为下列级数 (z-1)(z-2)1öæ1、f(z)=åç1-n+1÷zn,|z|<12øn=0襥zn12、f(z)=-ån+1-ån+1,1<|z|<2 n=02n=0z3、f(z)=ån=0¥¥2n1-å,2<|z|<¥ zn+1n=0zn+1十二、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=å(-1)n-1n=1¥npatnpx2l cossinnpll十三、求解定解问题 u(x,t)=1pò+¥sinm-¥mcos(mx)e-m2a2tdm 十四、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=å(-1)n-1n=1¥2lenp-n2p2a2tl2sinnpx l十五、求解定解问题 ¥u02unpatnpxu(x,t)=x+å(-1)n0cossinlnpll n=1十六、求解定解问题22Q+¥sinhmu(x,t)= òcos(mx)e-matdm p-¥hm十七、求解定解问题 u(x,t)=u02ux+å(-1)n0elnpn=1¥-n2p2a2tl2sinnpx l十八、求解定解问题 patlpatöpxæ u(x,t)=çcos+sin÷sinlpalølè十九、求解定解问题 u(x,t)=e-patlsinpxl二十、试用分离变数法求解定解问题 (2k-1)pat(2k-1)pxl¥4lu(x,t)=-åcoscos2k=1(2k-1)2p2ll 二十一、试用分离变数法求解定解问题 u(x,t)=l4l-åe222k=1(2k-1)p¥-(2k-1)2a2tl2cos(2k-1)px l