西南●[0464]《高等几何》网上作业及课程考试复习资料.docx

西南0464高等几何网上作业及课程考试复习资料0464高等几何 第一次 论述题 1 写出下列点的齐次坐标 ，;2x+4y+1=0的无穷远点. 2 求下列直线的齐次线坐标 x轴 无穷远直线 x+4y+1=0. 3 求下列各线坐标所表示直线的方程： 0,-1,0 (2) 0,1,1 4 求联接点与二直线2,1,3，1，1，0之交点的直线方程. 5 经过A(-3，2)和B(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比(ABP). 6 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线的线坐标. 7 求直线1,1,2与二点3，4，1,5,3,1之联线的交点坐标. 参考答案：1解:(1)(2,0,1) ,(0,2,1),(1,5,1); (2) (2,-1,0). 2解:(1)0,1,0 (2)0,0,1 (3)1,4,1 3解:(1)x2=0 (2)x2+x3=0 4解: 二直线2,1,3，1，1，0的交点坐标为(3,3,-3),故两点, x1x223x3-1=0,即x1+x2=0. -3(3,3,-3)联线的方程为135解: 设362AP=，则点P的坐标为P，因为点P在直线xPB11362+36=0 ,有l=1,(ABP)=-l=-1. 113y60上，所以有6 解: 经过A(-3，2，2)，B(3，1，-1)两点的直线方程是 x1x221x32=0,即4x1-3x2+9x3=0.故线坐标为4,-3,9. -1 -33x135x24x37 解: 二点,(5,3,1)联线的方程是 -1=0,即x1-8x2-29x3=0，该直线的线坐标为1,-8,-29. -31直线1,-8,-29.与直线1,1,2的交点为(13,31,9). 第二次 论述题 1已知共线四点A、B、C、D的交比(AB，CD)=2，则(CA，BD)=_ 2试证四直线2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=0共点，并顺这次序求其交比。 3、设共线四点P1(3,1,-2)，P2(1,3,1)，P4(0,-8,-5)，求(P1P2,P3P4) 3(2,-2,-3)，P4 设两点列同底,求一射影对应0,1,¥分别变为1,¥,0. 5 求射影变换l¢l-4l+4=0的自对应元素 3x+26一直线上点的射影变换是x=，则其不变点是 x+47 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点. 参考答案： 1 解: -1 2 解: 四直线2xy+1=0,3x+y2=0, 7xy=0,5x1=02,-1,1,3,1,-2,7,-1,0,5,0,-1.由于 的线坐标为2-13112-1101-2=0. -1-2=0, 37-105所以四直线共点. 由于P3=2P4=P1+P2, 故 l1=1+P2, Pl11, l2=1,所求交比1=. 2l22l1,所求交比1=3. 3l23 解:因为P3=P4=P1-3P2,所以l1=-1,l2=-1-P2, P4 解:设第四对对应点x,x¢,由于射影对应保留交比,所以(01,¥x)=(1¥,0x¢),得到x-111=,因此x¢=. x1-x¢1-x25 解: 射影变换l¢l-4l+4=0的自对应元素参数l满足方程l-4l+4=0,解得l=2. 6 解: 射影变换x=3x+23x+2的不变元素满足x=,解得x=2,或x=1. x+4x+47 证明:设C为线段AB的中点,D¥为线段AB上的无穷远点,则 (AB,CD¥0)=(ABC)=第三次 AC=-1,命题得证. BC论述题 1举例我们已经学习过的变换群 2下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？ 非平行线段的相等； 不垂直的直线； 四边形； 梯形； 菱形； 平行移动； 关于点的对称； 关于直线的对称； 绕点的旋转； 面积的相等。 3从原点向圆2+(y2)2=1作切线t1,t2。试求x轴，y轴，t1,t2顺这次序的交比。 4若有两个坐标系，同以A1A2A3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？ 5在二维射影坐标系下，求直线A1E，A2E，A3E的方程和坐标。 6设点A，B的联线与圆x2+y25x7y6=0相交于两点C和D，求交点C，D及交比。 参考答案： 1解: 射影变换群，仿射变换群, 欧氏变换群. 2解: 是仿射的 是欧氏的. 3 解:设直线y=kx与圆相切,则1=2k-2k2+12,两边平方得到3k-8k+3=0,k1,2=4-74±74+7因此t1的方程为y-x=0,t2的方程为y-x=0,故333(xy,t1t2)=4-74+7. 4 解:设两坐标系单位点分别为E,E¢,由rxi=pip,sxi=i (i=1,2,3) eiei¢由上两式得到s¢eixi=xi即 ¢rei¢=a1x1ìlx1eisï¢lx=axl=a= 其中, ,a1a2a3¹0。 í222i¢reuïlx¢=ax33î35 解:由于A1(1,0,0),A2(1,0,0),A3(1,0,0),E(1,1,1),故直线A1E的方程x2-x3=0 直线A2E的方程x1-x3=0直线A3E的方程x1-x2=0.线坐标分别为0,1,-1,1,0,-1,1,-1,0. 222x+x-5xx-7xx+6x=0,设直线AB上任一点的齐次坐标12132336 解:圆的齐次方程为是(3+3l,1-l,2),若此点在已知圆上,则 (3+3l)2+(1-l)2-5(3+3l)2-7(1-l)2+6´22=0, 2化简得10l-10=0，所以l1=1,l2=-1 于是得到交点C,D的坐标,C(3,0,1),D(0,1,1),且(AB,CD)=-1 第四次 1写出下列的对偶命题 三点共线 射影平面上至少有四个点，其中任何三点不共线 2 已知A,B,P,Q,R是共线不同点，如果(PA,QB)=-1,(QR,AB)=-1,求(PR,AB) 3证明巴卜斯定理：设A1,B1,C1三点在一直线上,A2,B2,C2三点在另一直线上,B1C2与B2C1的交点为L,C1A2与C2A1的交点为M,A1B2与A2B1的交点为N,证明:L,M,N三点共线. 4求二次曲线xy+x+y=0的渐近线方程. 5 . 求通过两直线a1,3,1,b1,5,-1交点且属于二级曲线4u12+u22-2u32=0的直线 6 求点关于二阶曲线2x12+3x22+x32-6x1x2-2x1x3-4x2x3=0的极线 参考答案： 1 解：(1) 三线共点 (2) 射影平面上至少有四条直线,其中任何三线不共点. 2 解: 由(PA,QB)=-1得到(PQ,AB)=2,又因为(PR,AB)=PA×ABPA×QBQA×RB=(PQ,AB)(QR,AB)=2´(-1)=-2. PB×RAPB×QAQB×RA3 证明: 设J=C¢A´A¢B,K=BC¢´A¢C,O=AB´A¢B¢,那么 A¢NJB=A¢B¢C¢O¢=KLC¢B 从而A¢NJB-KLC¢B . ÙÙACÙ这两个射影点列的公共点B自对应,所以是透视点列. 因此A¢K,NL,JC¢应交于一点,即三点L,M,N三点共线. 4 解: 二次曲线xy+x+y=0的中心坐标为(-1,1),故二次曲线的渐进线的方程可设 22 a11X+2a12XY+a22Y=0 由于a12=1，a11=a22=0 2故XY=0 其中 í5 ìX=x+1 ，所以渐进线方程为x+1=0 ,y-1=0 îY=y-1解:设通过两直线 a1,b3-,1交点的线坐标为1,3,1+l1,5,-1=1+l,3+5l,1-l ,若此直线属于二级曲线4u12+u22-2u32=0 ,则有 4(1+l)2+(3+5l)2-2(1-l)2=0，解得l=-标为1,2,2和-1,-14,10。 111，l=-。所求直线的坐39æ2-3-1öç÷222-33-26 解: 二阶曲线2x1+3x2+x3-6x1x2-2x1x3-4x2x3=0的矩阵是ç÷， ç-1-21÷èø所以点关于二阶曲线的方程为 æ2-3-1öæx1öç÷ç÷ç-33-2÷çx2÷=0，即x2=0。 ç-1-21÷çx÷èøè3ø第五次 论述题 1 求二阶曲线x1-2x2+3x3-x1x3=0过点P(2,2225,1)的切线方程 2 二级曲线u12+u22-17u32=0在直线L1，4，1 上的切点方程 2(1)求二次曲线 x2+3xy-4y2+2x10y=0的中心与渐近线。 222(2)求二阶曲线G：x1+2x1x2+2x2+4x1x3+2x2x3+x3=0的过点A(1,1,1)的直径及其共轭直径. 3已知二阶曲线：2x12+4x1x2+6x1x3+x32=0 求点P(1,2,1)关于曲线的极线 求直线3x1-x2+6x3=0关于曲线的极点 bx2y2-=12224证明双曲线：ab的两条以，'为斜率的直径成为共轭的条件是'=a 2¢=x1+x2ìrx1ï¢=x2的不变元素 5 求射影变换írx2ïrx¢=x33î¢=-x1ìrx1ï¢=x2írx2ïrx¢=x3î36求射影变换参考答案： 的固定元素。 1 解: (1)易验证点P在二阶曲线上,故过点P的切线方程是 æ10-1öæx1öç÷2ç÷5ç÷(2,1)0-20çx2÷=0,即3x1-210x2+4x3=0. 2ç1÷ç-03÷çx3÷èø2èø(2) 类似地可验证直线L在二级曲线上,故直线L1,4,1上的切点方程是 0öæu1öæ10ç÷ç÷(1,4,1)ç010÷çu2÷=0,即u1+4u2-17u3=0. ç00-17÷çu÷èøè3øæç1ç32 解(1) 二次曲线 x2+3xy-4y2+2x10y=0的矩阵是çç2ç1çè74626A33=.故中心坐标是(-,) 477ö1÷÷23134-5÷,A31=-, A32=,÷22-50÷÷ø3222设渐进线方程a11X2+2a12XY+a22Y2=0,即X+3XY-4Y=0，其中X=x+46,7Y=y-265872=0或x-y+=0 ,故渐进线方程是x+4y-777æ112öç÷222121(2) 二阶曲线G：x1的矩阵是+2x1x2+2x2+4x1x3+2x2x3+x3=0ç÷，ç211÷èø易求出中心坐标(-3,1,1)，由于直径过中心,故过点A(1,1,1)的直径方程是x2-x3=0,该直径上的无穷远点的坐标是(1,0,0)，所以共轭直径的方程是 æ112öæx1öç÷ç÷(1,0,0)ç121÷çx2÷=0即x1+x2+2x3=0 ç211÷çx÷èøè3øæ223öç÷3 解：(1) 二阶曲线2x12+4x1x2+6x1x3+x32=0的矩阵是ç200÷ ç301÷èøæ223öæx1öç÷ç÷点P(1,2,1)关于曲线的极线方程是(1,2,1) ç200÷çx2÷=0,即9x1+2x2+4x3=0 ç301÷çx÷èøè3øæ3öæ223öæaöç÷ç÷ç÷(2)设直线3x1-x2+6x3=0关于曲线的极点为(a,b,c),则有rç-1÷=ç200÷çb÷，解得 ç6÷ç301÷çc÷èøèøèøa=2,b=-30,c=37.所求极点是(2,-30,37) ìb2x2-a2y2=a2b24 解：解方程组í得b2x2-a2y2=0说明无穷远直线与双曲线的交点t=0î满足此方程,即(bx-ay)(bx+ay)=0,双曲线上的两个无穷远点分布在bx-ay=0和bx+ay=0上，故bx-ay=0和bx+ay=0为渐进线，两直线的斜率是k=bb，k¢=- aab2，'为一对共轭直径的斜率,所以(ll¢,kk¢)=-1,整理得到ll¢+kk¢=0,因为kk¢=-2，所ab2以ll¢=2. al-15解：射影变换的特征方程是-100=0,即l=1. l-100l-10ì(l-1)x1-x2=0ï把l=1代人方程组í(l-1)x2=0,解得不变点是一条直线x2=0. ï(l-1)x=03îì(l-1)u1=0ï把l=1代人方程组í-u1+(l-1)u2=0，解得不变直线是u1=0即过(1,0,0)所有直线都是ï(l-1)u=03î不变直线. l+16 解：射影变换的特征方程是000=0，即l=1或l=-1 l-100l-10ì(l+1)x1=0ï把l=1代人方程组í(l-1)x2=0,解得不变点是一条直线x1=0 ï(l-1)x=03î把l=-1代入上述方程组，解得不变点(1,0,0). ì(l+1)u1=0ï把l=1代人方程组í(l-1)u2=0,解得不变直线是过(1,0,0)的所有直线. ï(l-1)u=03î把l=-1代入上述方程组，解得不变直线x1=0