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袁晖坪线性代数教材习题答案提示第一章 行列式与Cramer法则 第一章知识清单 1.行列式定义： a11a21a12a21a1na2nann12=å(-1)i,jDt(i1i2in)+t(j1j2jn)ai1j1ai2j2ainjnan1an2说明1）t(iiin=)åt(k)=åt(ii=kk=1nnk), t(ik)：在ik左边比ik打的数的个数. 说明2）：行列式中每行均由不同行不同列的元素之积构成 2.计算方法 ìD基本方法： 1）化为三角式；2）降阶法：åaikAjk=ík=1î0ni=ji¹j常用方法： 利用定义或性质，拆解法，升阶法，递推法。 特殊行列式：上三角式，对角式，范德蒙行列式。 3.行列式性质 行列等同；两行互换值相反；数乘行列式；行列式加法；第三种初等行变换不改变行列式的值。 4.克莱姆法则 1 / 14 ìa11x1+a12x2+La1nxn=b1ïax+ax+Lax=bï2112222n22 íïLLLLLLLïîan1x1+an2x2+Lannxn=bnæDD即：Anx=b. 解：x=ç1,2,èDD,Dnö，D=An. ÷DøT推论：Anx=o有非零解ÛAn=0. 基本作业建议 A组：1，4，6，7，8, 10(1)； B组：一 ，；二， 一4：列标：54243，表明第四列有两元素：否; (2): 一5：(-1)t(24531)+t(45213). (-1)t(2341)a12a2(3)a34a4(1),(-1)a2b22b+1c22c+1t(2143)a12a2(1)a34a4(3). r3-2r2r4-3r2d22d+1a226b226c226d226=0 一6(5)：Di=2,3,4ri-r12a+14a+44b+44c+44d+46a+96b+96c+96d+9=2a+12b+12c+12d+1一7(1)，(2)：同6，见课件例1.151.18。四种方法： åciri-r1i=1方法一：D=D1=上三角式； 提公因式ri-r1ni=2,3,n方法二：D=箭形行列式 i=2,3,n100方法三：D=0加边-a1a1-ba1a1a1-a2a2-a3a3-ananananan-b =ri+r1,i=2,3n11111-a1-b000-a20-b00-a300-b0-an000-ba2-ba3a2a3-ba2a30a1a2a3a1a2-ca3拆解a2a3-c方法四：D=a1a1 2 / 14 anananan-cca2a30a2-ca3a2a3-c-00a2a3anananan-c(略). a2a3一7同类型，见课件与课本例题1.9：。 ：åcic1i=1方法一：D=D1=下三角式cj+cj-1n，方法二：Dn=b1Dn-1+下三角式(递推式)，c1方法三：Dn=下三角式 j=2,3,ncj-：方法一：Dn=b1Dn-1+下三角式(递推式)，方法二：Dnc1=下三角式 j=2,3,nbcbj-1j-1aj：方法一：Dn=A+对角式，A=对角式.方法二：Dn：课本例题1.12 一7：拆解。 一7：见课本例题1.15. 一10：系数行列式=0.要求：耐心，细致！ c1rn-1c1-acn=次下三角式 j=2,3,nåciri-r1r2«r3i=1一1：D=D1=D2=上三角式 i=2,3,44åci，r+r,r-ri=12131一1：D=D1=三角式 1cx1r4+r14一1，类一5： r1-2r4r2+r4r3-r4c1定义D=D1=D2=其中:(-1)t(132)+(-1)t(132)(x-2)(x-1)(-2x)+t(132)=+2x3+(x-2)(x-1)(-2x)=(-1)a11a23a32. 一1同课本例题1.15： 一1类同 一A(10) ì1i=jÞm=0,一2 特例法：取aijºdij,即aij=íî0i¹j一2类一1，由定义：t(3241)(-1)t(3142)1´1´2´(-2)+(-1)1´2´2´1 一2：排除法。请记忆结论 一2，同一10 3 / 14 一3，参见课件例1.18。类一7，：方法一：D=箭形行列式； 各列提公因式ri-r1,i=2,3,n方法二：加边；方法三：拆解. 一3：Dn =An=Bn-1=Cn-1=对角式。 j=n,n-1,2,1i=2,3,ncj-cj-1c1ri-r1cn-1第二章 矩阵 第二章知识清单 1.矩阵的线性运算与矩阵的乘法 注意：矩阵乘法无交换律与消去律. 2.矩阵的逆与线性方程组的矩阵解法 1）有关公式： 1*-1-1-1(kA)-1=1A-1AA=AEÞA=A；(AB)=BA; kA*-1AA=A-1mnm+n,(AmÎZ+m)nn=Amn(m,nÎZ)，由此得： kA=PLP,f(A)=k=-måaAk,f(A)=Pf(L)P-1. k,ln),kÎZ L=diag(l1,l2,ln)ÞLk=diag(l1k,l2k,Þf(A)=Pf(L)P-1=diag(f(l1),f(l2),f(ln). 2）有关方法： 求逆矩阵：直接用定义；伴随阵法；初等变换法。 4 / 14 解矩阵方程： -1逆矩阵法:AnX=BÞX=AB. r®(E,A-1B),X=A-1B.B=EÞX=A-1. 初等变换法：1）AnX=BÞ(An,B)¾¾r2）AX=BÞ(A,B)¾¾®行最简形选择自由未知量，给出方程的解,. 3.转置阵的性质 基本作业建议 A组：4， 6，9，10，14，15，17，18，19，24，28，29，；B组：一 ，；二 Dæa0öæabö二7：B=ç,AB=BAÞB=÷ç÷,a,c可任取. ècdøècaøD二10 ：方法一，归纳；方法二，二项式定理. æ130öç÷ç010÷例：10ç÷è002økknææ100öæ030ööçç÷÷ç÷=çç010÷+ç000÷÷ççç002÷ç000÷÷÷øèøøèènDn=(A+B)=B2=O二16 ：a-b=(a-b)a(k-1+ak-2b+ak-3b2+abk-2+bk-1) Þ-E=Ak-E=(A-E)(Ak-1+Ak-2+A+E) 二17：问：A？=EÞA(A+2E)E=4E. 二18：AA=AEÞA*()*-1=1A A二19：A11-11æ1-1ö*öA-3A=AA-1-3AA*÷ (5A)-3A*=Aæç÷çAAè5Aè5øø31æ1-2A=A3æ-2ö8ö=E-3AE=5E=5E=-. ÷ç5÷Aç5525èøèø二20：AB=2A+BÞ(A-E)B=2A=2(A-E)+2EÞ(A-E)(B-2E)=2E(略）. 5 / 14 二23(1): 原式=3A. (2): 原式=-2A113c12c3+c1c2«c3c1«c23c1+c22c1«c2c1. (3):原式3c1-c2-c322c51=A1,A2-3A3,2A3-A1=A3c2+c32. -1二26:AX=A+2XÞX(A-2E)=A,X=(A-2E)-1r®E,(A-2E)A. A,(A-2E,A)¾¾(-1)®B=6A-E二28:ABA=6A+BAÞA-EBA=6A¾¾¾¾¾r®(E,(A-2E)(A-2E,A)¾¾-1(-1)A,A-1-E可逆(-1)-1, A. 3)二30:由一7:A=(k-3)(k-1)，检验知：k=3ÞM14¹0，合题意. -23kö-23kæ1æ1öç÷r3-r2ç÷r2+r1A¾¾¾®02k-23k-3¾¾¾®02k-23k-3二31:类30：r3-kr1ç÷ç÷. ç02k-23-3k2÷ç003-3k2-3k+3÷èøèøæ1-23öç÷3-3k2-3k+3=-3k2+k-2=-3(k+2)(k-1)Þk=1ÞAç000÷Þr(A)=1;ç000÷èø()ræ1-2-6öç÷k=-2ÞAç0-6-9÷Þr(A)=2;ç000÷èør-23kæ1öç÷k¹1且k¹-2ÞAç02k-23k-3÷Þr(A)=3. 2ç003-3k-3k+3÷èør二1：二1：abB-1=BT-1； n()2=ababT=a(bTa)bT=a×3×bT=3(abT) Þ(abT)=3n-1(abT). T二1：分块对角阵。 二1：B(A-E)=2E. 6 / 14 -3二1：A可逆,003a12-20=0Þ-101=0. -1010-11二1：B可逆，于是：r(BA)=r(A). 二1：AA*=AEÞA*()()*2-1=1A A1A A二1：AA=AEÞA二1：方法一，归纳； *-1=方法二：，A=E+E(1,3)ÞA=E-2E×E(1,3)+E(1,3)2()2=2(E+E(1,3)=2A 即A=2A，ÞA=22nn-1A，An-2An-1=An-2A2-2A=An-2×O=O。 ()二1：类二： A=(aa2T)2=2(abT)=2AÞAn=2n-1A ，a-2n-10ÞaE-An=0a2n-12n-10=a3-a×2n. 0a-2n-1T二1：设a=(a,b,c)æa2abacöæ1-11öç÷ç÷ÞaaT=çbab2bc÷=ç-11-1÷，aTa=a2+b2+c2=3 çcacbc2÷ç1-11÷øèøè二2：排除法 二2：方法与答案同上 二2：利用对称阵的定义与性质 二2：排除法 二2：A=(BC). -1二2: (A+B)-1=A-1+B-1? *二2: r(A)=3Þ$Aij¹0又r(A)=3ÞAA=AE=0 Þr(A)+rA()³4,综上得：r(A)=1, *二2: A*(A)*=A*E=An-1*ù=An-1A. EÞA×éAA()êúëû二2: 初等变换不改变矩阵的秩ÞA=0ÛB=0. 二2: ±E=A±E=(A±E)×(矩阵多项式)ÞE±A不可逆. 33 7 / 14 二2: C=çDæOAö1*-1*-1ÞC=CÞC=CC. ÷CèBOøC=(-1)行,列交换各n次2nAOOB=AB,C-1æO=ç-1èAæçO-1Böç÷=ç1*OøAçèA1*öB÷B÷.÷ O÷øæçOÞC*=AB×çç1*AçèA二2: 二3(1): 二3(2): 1*öB÷BO÷=æç*÷çBAO÷èøAB*ö÷. O÷øP=E(1,2(1),P-1=E(1,2(-1)ÞC=E(1,2(1)AE(1,2(-1)=PAP-1. ()(abT)=6(abT)Þ2-1(A2-E2)B=A+E(检验知：A+E可逆)Þ(A-E)B=E,B=A-ED. 二3:(略) 二3(4)，第一小题:A=(aT1,a,T2,aTn)T=(b1,b2,bn) ÞA2=AAT=aibj=aiaT=OÞaiaiT=0Þaiº0ÞA=O. j二3(4)，第二小题: (A2n-1)=-A2n-1ÞA2n-1=(A2n-1)=-A2n-1=(-1)二3(4)，第三小题: A-1TT2n-1()()A2n-1ÞA2n-1=0. )=(A)TT-1=A-1. æX-1二3(5)：A=çèBOöæX-1Oö=(待定系数法). ç÷-1-1-1÷CøCøè-CBX-1-1-1二3(6)：(E-A)B=E,C(E-A)=AÞB=(E-A),C=A(E-A) B-C=(E-A)-1(E-A)=E. -1二3(7)：2AB*=111A2A*B-1=A×2A*B-1=2AB-1AAAn-1(2A)=ABn. 另解：2AB*-1=2nA*B-1=2A1. B 8 / 14 二3(8)：A-1-EXA=2AÞX=2A-1-E. 二3(9)：A(A-E)(A+2E)=EÞA=?(E-A)-1-1()()=-(A-E)=? -1二3(10)：第一小题:(A-E)(E-B)=-E. 二3(10)：，第二小题 A(E-B)=-BÞA=B(B-E). 二3(11)：AA-1+B-1B=A+BÞA-1+B-1-1()()-1=(A-1(A+B)B-1)=B(A+B)A. -1-111æöæ1ö二3(12)：E=AB=E-aaTçE+aaT÷=E+ç-1÷aaT-aaTaaèøèaø()()21æ1öÞç-1-aaT÷aaT=0Þa=-1.。 aèaø二3(13)：CT=2E-A-1B31c1-c2+c322()-1A-1=A(2E-A-1B)()-1=(2A-B). -1二3(14)：原式=777a1,-a1+a2,a2+2a3=a1,a2,2a3=×2A. 2227c2-c12c3-c2二3(15)：更正：P=çæET*-aAèOö÷. AøAæ证：PQ=çTça(AE-AA*)èö÷ Ab-aTA*a÷øö÷. T-1A(b-aAa)÷øaæAç=çTça×Oèö÷æA*æö÷=çTAAçb-aa÷÷çèOAèøøaaP可逆，于是:Q可逆ÛPQ可逆ÛA(b-aTA-1a)¹0Ûb¹aTA-1a. 二3(16)：B¹0Þr(A)=r(AB)=2ÞA=0Þa=2. 9 / 14 第三章 向量与线性方程组 基本作业建议 A组： 5，7，8，12，14，17，21，22；B组：一 ，9；二，其中题以去掉“不”。 110ö110öæ11110öæ11æ11ç÷r3+r2ç÷ r2-r1,r3-3r1三2(2)：B=ç12331÷¾¾¾¾®01221¾¾¾®01221ç÷ç÷ç÷ç32a4b÷ç0-1a-31b÷ç00a-13b+1÷èøèøèø0öæ1111æ10-1-1-1öç÷r1-r2ç÷a=1ÞBç01221÷¾¾¾®ç01221÷ ç0003b+1÷ç0003b+1÷èøèørb+1b-2ìæb-2öx=-1+k+=+k1ïç3÷ìx1=-1+x3+x433æ1öïç÷ïx=1-2x-2x2(b+1)1-2bç÷ïç1-2b÷34ï1÷=+kï2ïx2=1-2k-çç÷Þ,x=+k,k可任取.3ííx3=x333ç÷ç÷1ïïx3=kç÷b+1ç0÷ïïx4=è0øç÷b+1ïb+1ï3îx4=ç÷ïè3ø3î 10 / 14 ìx1=-1+x3+x4110öïx2=1-2x3-2x4æ11rïç÷ïa¹1时，Bç01221÷íb+13x4 ç00a-13b+1÷ïx3=a-1-a-1èøïx4=x4ïîìæb+13köæ2-a+böæa-4öx=-1+1ça-1-a-1÷+kïçça-1÷èøa-1÷ïç÷ç÷ïæb+13köç-3+a-2b÷ç8-2a÷-2kïx2=1-2ç ÷Þí,x=ça-1÷+kça-1÷,k可任取.èa-1a-1øç÷ç÷ïb+1-3b+13kç÷ç÷ïx3=-çça-1÷a-1÷a-1a-1ïç÷ç1÷ï0èøèøx=kî4三5(1) 方法一： æ1ç1B=(a1,a2,a3,b)=çç1çè2302öæ1302ö÷ç÷12-4÷r2-r1,r3-r1ç0-22-6÷¾¾¾¾®r4-2r1÷ç0-31-5÷ 01-3÷ç÷13-7øè0-53-11øæ1ç0r4-r2-r3ç¾¾¾¾®r2-r3,r3+3r2ç0çè0302öæ1÷çr3,r2-r311-1÷104ç¾¾¾¾®r1-r2ç004-8÷÷ç000øè000-1ö÷101÷01-2÷ ÷000ør(B)=r(A,b)=3Þb=-a1+a2-2a3,表达式是唯一的。 方法二：设A=(a1,a2,a3),x=(k1,k2,k3),则k1a1+k2a2+k3a3=bÛAx=b， æ1ç1çB=(A,b)=ç1çè2302öæ1÷ç12-4÷ç001-3÷ç0÷ç13-7øè000-1öæk1öæ-1ö÷101÷ç÷ç÷x=k2÷=ç1÷，即有：，得唯一解： ç01-2÷çk÷ç-1÷÷è3øèø000øTb=-a1+a2-2a3,表达式唯一存在。 三5(2)： æ1-122öæ1-122öç÷r2+r1,r3-2r1ç÷B=(a1,a2,a3,b)=ç-12-33÷¾¾¾¾®01-15r3+r2ç÷ ç2-35-1÷ç0000÷èøèø 11 / 14 æ1017öç÷r1+r2¾¾¾®ç01-15÷,b=7a1+a2, r(B)=r(A,b)=2<3,表达式不唯一. ç0000÷èøæ1öæ0öæ1öæ7ö证明如下：设k1a1+k2a2+k3a3=b,则k1ç÷+k2ç÷+k3ç÷=ç÷. è0øè1øè-1øè5øæk1öæ7-köç÷ç÷k=5+k解得：ç2÷ç÷,b=(7-k)a1+(5+k)a2+ka3,k可任取. ÷çk÷çkøè3øè三6： 三6： 三6： 三7: r(A)=R(A,b)=3, r(A)<R(A,b), r(A)=R(A,b)<3, R(A)=n(向量的个数）? B=(a1+a2,a2-a3,a3-a4,a4-2a1)A=(a1,a2,a3,a4). C三8(1): Þr(B)=r(A)=4,B:a1+a2,a2-a3,a3-a4,a4-2a1线性无关. 三8(2): c1+c2+c3+c4B=(a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1)¾¾¾¾¾®(o,a2-a3,a3-a4,a4-a1), r(B)<4ÞB:a1-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a1线性相关. 三9：类同 三8(1)。 三10理解：A:a1,a2,as-1,as线性相关；B:a2,as,as+1线性无关。 ,as-1,as线性相关；C:a2,as线性无关，由此得证。 三10：由已知，A:a1,a2,三10：rA=-<1s=rB()，故不能. ()s,an线性无关Þr(A)=n. ,Ban)=n， 三11：A:a1,a2,C:Ba1,Ba2,Ban线性无关Ûr(C)=r(Ba1,Ba2,()Ûr(BA)=n¬¾¾®r(B)=nÛB¹0. rA=n方法二：C 12 / 14 :Ba1,Ba2,Ban线性无关ÛCx=0只有零解，即BAx=0只有零解， 由已知Ax=0只有零解，y=Ax,则By=0只有零解，即r(B)=n,即B¹0. 三12：依据：初等行变换不改变列向量组的线性相关性. DA:a1,a2,an®A=(a1,a2,an)行最简形，观察立得结论. ræ1çr0ç例如：A=(a1,a2,a3,a4,a5)ç0çè00101203ö÷2÷,观察得结论: ÷001-1÷0000ør(A)=3,最大无关组：a1，a2，a4.a3=a1+2a2,a5=3a1+2a2-a3. 三13：化为行阶梯型。 三14：设向量组A与B所含向量个数相同，则：ABÛR(A)=R(B)=R(A,B). 操作如下：(A,B)行阶梯型，再观察之。 三15：At:a1,a2,r,at是A：a1,a2,as中的一个线性无关组，则A中任何一个向量均可由 ,at，b线性无关，这与At线性表出,at是A中的一个极大无关组. 另证：rAt=r(A)ÞAt与A等价，即：At是A的一个极大无关组. 三16-19: 基本题型 .略。 三20: r(A)=3,Ax=0的解空间的维数=4-3=1, ()3(a1+a2)-2(a2+2a3)=3(a1-a3)+(a2-a3)=xÞAx=0,x即Ax=0的基础解系 所求x=kx+D(a2+2a3)-(a1+a2). 三21，22：典型习题，务必重视！ 三1：对应分量成比例。 三1：r(A)<4,即A=0. 三1：r(A)=r(A,b). 三1：r(A)=r(A,b1)<r(A,b2). 三1：r(A)=r(A,B)=r(B). 13 / 14 三1：r(AB)=r(A)=2 三1：r(A)+r(B)£3,B¹0Þr(A)£2ÞA=0 三1：Ax=O有非零解ÞA=0,Ax=b由无穷多个解Þr(A)=r(A,b)<3. 三1： 类同三20. 三1：r(A)=3. 三1：设A:a1,a2,B¹0,anÞ(A，b1,b2)(A,o,b2)Þr(A，b1,b2)=r(A,o,b2)=s+1. C三1：r(A)=3ÞMijº0ÞrA*=0. 三1：类同三7. A¹0，r(B)£2ÞB=0Þ()*三1：r(A)=2ÞrA*=1Ax=0解空间的维数为3-1=2. 由此推出： ()A*x=0Û(A11,A21,A31)x=0，解之即可。 三1：a2-a1¹o,r(A)³2Þr(A)=2,基础解系只含有一个自由向量， 故通解为：x=k(a2-a1)+a1. AT(A+B)BT=BT+AT=(A+B)ÞAT(A+B)BT=(A+B)TT四26：ATA+BBT=(A+B)ÞAA+BB=A+B,-AA+B=A+B,1+A2T(2)A+B=0,A+B=0.证毕. 14 / 14