蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(1).docx

蒋殿春高级微观经济学课后习题详解Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 蒋殿春高级微观经济学 第5章 消费者理论专题 跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。 以下内容为跨考网独家整理，如您还需更多考研资料，可选择经济学一对一在线咨询进行咨询。 1某人的效用函数是u(x1,x2)=x1x2，他的收入m=100。最初的商品价格是p=(1,1)，假设现在价格变化为p¢=(14,1)。计算EV、CV和DCS，比较计算结果并作简明的解释。 解：先求解效用最大化问题： maxx1x2 x1,x2s.t p1x1+p2x2=100 构造拉格朗日函数： L=x1x2-l(100-p1x1-p2x2) 求一阶条件，可得： x2-lp1=0 x1-lp2=0 50，从而得到马歇尔需求函数： p1p2x1=5050，x2= p1p2代入约束条件可得，l=因此，p0=(1,1)，x1=x2=50，u0=u(50,50)=2500。 p¢=(14,1)时，x1=200，x2=50，u¢=u(200,50)=10000。 DCS=ò11501x1(p1)dp1=òdp1=50lnp114»69.3 1414p1再考虑支出最小化问题： maxp1x1+p2x2 x1,x2s.t x1x2=u 构造拉格朗日函数，一阶条件为： p1-lx2=0 p2-lx1=0 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 代入约束条件解出l=Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 p1p2。 up2u，x2=h2(p1,p2)=p1p1u。 p2从而得到希克斯需求函数x1=h1(p1,p2)=由于商品2的价格p2始终为1，代入上面的式子，整理可得： EV=ò11u¢dp1=2p1u¢=100 1414p11u0CV=òdp1=2p1u014p1114=50 通过比较得出，CV£DCS£EV成立。 2小李的效用函数是u(x1,x2,x3)=x1minx2,x3，他原来在深圳一家公司总部工作，月薪3000元，深圳的商品价格是p=(1,2,4)；现在公司内部调动，小李被派往内地城市的公司办事处那里的商品价格为p=(1,1,1)。 如果小李的工资不变，他在内地达到的生活水平相当于他在深圳多少收入的生活水平？ 如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资，使他们的效用水平保持不变，小李在调动时工资会调整到什么水平？ 解：根据小李的效用函数，无论是效用最大化问题和支出最小化问题，他的最优消费组合必然满足x2=x3，在这样的情况下，效用函数可以写为u=x1x2。 以3000元收入在内地达到的效用水平可由下面的效用最大化问题求出： maxx1x2 s.t 1´x1+1´x2+1´x3=3000(x2=x3) 由一阶必要条件，可求得马歇尔需求为： x1=1500，x2=x3=750 v=x1x2=1125000 在深圳的物价水平下达到同样的效用水平，所需的收入可求解支出最小化问题： min(x1+2x2+4x3) s.t x1x2=1125000(x2=x3) 由一阶必要条件，可求得希克斯需求为： x1=15003，x2=x3=2503 求得相应的支出是30003元。 即工资不变，他在内地达到的生活水平相当于他在深圳30003元收入的生活水平。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 如果公司在人事变动时按照各地物价水平调整职员工资，使他们的效用水平保持 不变，计算方法与相同，得到小李在调动时工资会调整到10003元。 bcy3。 3某消费者具有效用因数u(x1,y2,y3)=x1ay2证明这个效用函数是弱可分的； 推导y-类商品的子效用函数； 在y-类商品的支出为my的前提下，求这类商品的需求函数。 bcbcy3，则u(x1,y2,y3)=x1ay2y3=x1aY=U(x1,Y)，因此这个效用函解：令Y(y2,y3)=y2数是弱可分的。 b-1cyby3¶u¶y2bx1ay2y-类商品之间的边际替代率为MRS23=，与x商品的消费=abc-3=¶u¶y3cx1y2y31cy2bcy3。 量无关，结合中的过程，可得y-类商品的效用函数就是Y(y2,y3)=y2bcy3是一个Cobb-Douglas函数，按通常的效用最大化问题可求得其需Y(y2,y3)=y2求函数： bcmaxy2y3 s.t p2y2+p3y3=my bcy3+l(my-p2y2-p3y3)，一阶条件整理可得构造拉格朗日函数L=y2by3p2，代入约=cy2p3束条件可得： y2=bmy(b+c)p2，y3=cmy(b+c)p34如果集团中每个个体的间接效用函数都具有以下形式 vs(p,ms)=cs(p)+d(p)ms s=1,Kn 证明各个个体的偏好是拟位似的； 推到集团需求函数Z(p,M)=X(p,m1,¼,mn)； 验证Z(p,M)满足Slutsky方程。 证明：利用Roy等式，可直接由间接效用函数求出个体的Marshall需求， xis(p,m)=-¶vs¶vs(p,ms)¶pis(p,m)s¶ms=-cis(p)d(p)-di(p)d(p)ms 这显然是其收入ms的线性函数，所以个体的偏好是拟位似的。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 sBorn to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 集团需求函数即为各个体的需求加总，所以有： Z(p,M)=åxis(p,mss)=-åscis(p)d(p)-di(p)d(p)åms=-sci(p)d(p)-di(p)d(p)M 其中，M=åms，ci(p)=åcis(p)。 s利用对偶性等式véëp,e(p,u)ùûºu，可得到个体的支出函数为Gorman形式： es(p,u)=-d(p)+d(1p)ussiscs(p)s再利用支出函数性质可以得到，h(p,u从而Hi(p,u)=åhis(p,us)=s)=¶es(p,us)¶picsdi-dcisdis=-2u d2dCdi-dCidi-2U，其中U=åus。 2ddsd2¶Zi(p,M)¶pi¶Hi(p,U)¶pi=Cidi-dCijd2-ddij-didjM，¶Zi(p,M)¶M=-di dU =d2(Cdij+Cjdi-Cijd-Cidj)d4-d2dij-2ddidjd4¶Hi(p,V(p,M)¶pi=-¶Zi(p,M)¶MZj(p,M) =d2(Cdij+Cjdi-Cijd-Cidj)-2ddj(Cdi-Cid)d4d2dij-2ddidjd4=(C+dM)-didæCjdjö+M÷ çddèø=Cidj-Cijdd2-ddij-didjd2M=¶Zi(p,M)¶pi这便是Slutsky方程。 5证明，如果效用函数是和式可分的，则不存在劣质品。 证明：按定义，和式可分的效用函数形为U(x)=Féëu1(x1)+u2(x2)+L+uk(xk)ùû 令需求函数为x(p,m)，满足以下一阶必要条件： 对任意的i,j=1,2,Kn，有： F¢(g)ui¢épi¶U¶xiëxi(p,m)ùû=ui¢éëxi(p,m)ùû =pj¶U¶xjF¢(g)u¢jéëxj(p,m)ùûu¢jéëxj(p,m)ùû985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 进一步变形为ui¢éëxi(p,m)ùû=piu¢jéxj(p,m)ùû。 pjë若m增加，p不变，则至少有一种商品的需求量上升。不妨设xj增加，又因为u(g)是严格凹的，则u¢jéëxi(p,m)ùû下降，xi(p,m)上升，所以不存在劣ëxj(p,m)ùû必然下降，所以ui¢é质品。 6在拟线性效用函数U(x0,x1)=x0+u(x1)的反需求函数中，我们事实上隐含地假设了m³p1x1(p1)，因为由这个假设我们才能在预算约束中得到一个非负的x0并将其代入目标函数。如果凭消费者的收入根本就买不起x1(p1)，情况又该如何？ 解：用Kuhn-Tucker方法来考虑，消费者面临的问题是： maxx0+u(x1) x0,x1s.t x0+p1x1=m xi³0 i=0,1 拉格朗日函数为L=x0+u(x1)-l(x0+p1x1-m)+u0x0+u1x1 一阶必要条件为： ¶L=1-l+u0=0 ¶x0¶L=u¢(x1)-lp1+u1=0 ui³0,uixi=0，i=0,1 ¶x1若x0>0，x1=0，则u0=0,u1³0，此时一阶条件变为l=1，p1=u¢(0)+u1³u¢(0) 这就是说，相对于商品1带来的边际效用，其价格偏高，消费者将全部收入用于商品0的消费； u¢(x1)若x0=0,x1>0，则u0³0,u1=0，一阶条件变为l³1，p1=£u¢(x1) l此时与前一种情况恰恰相反，即使将全部收入用于消费商品1，边际效用仍不低于其价格。 综合起来看，在消费者收入不足以购买商品1的最优消费量的条件下，他只会选择消费唯一一种商品，而究竟选择哪一种商品，需视消费者对商品1的偏好情况u(x1)及该商品的价格高低而定。 7某人原来是一个手工业者，他唯一的生产投入是劳动，他每天投入的劳动量是7小时，其余时间是闲暇。如果有企业雇用他，每小时的工资要超过某一最低限他才会到企业去工作。现在假设有一个企业向他提供这一最低限工资，并允许他自己决定每天的工时。这个人接受了聘任，变为一个工人。画图说明这个人现在每天的工作时间比7小时长还是短，或者仍然是7小时。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 解：这个人的选择主要看该人对闲暇和收入的偏好。在闲暇-货币收入坐标系内，个体的无差异曲线通常是凸向原点的，而该曲线的斜率及其变化趋势由个体的具体偏好所决定。如图5-1所示。 图5-1 图5-1中，个体作为手工业者时处于E0点，此时对应的闲暇时间是17小时。受雇于他人，不同的工资率相当于不同的闲暇价格，相应地决定了图中不同斜率的预算线。工资率越高，其斜率越大。图中的w0是该个体愿意接受的最低工资率，因为此时预算线恰好与他原来所处的无差异曲线相切，而低于该工资率w的预算线无法使其达到原有的生活水平。个体在接受最低工资率w0后，处于新的均衡点E1，与原来的E0处于同一条无差异曲线。 图5-1和图5-1显示了两种截然不同的均衡结果，前者受雇于他人后工作时间变长了，而后者则有了更多的闲暇。当工资率w0对应的预算线与图中无差异曲线的切点恰为E0时，个体将保持原来7小时的工作时间不变。 8如果个体的效用函数是 u(x1,x2,x3)=(x1-b1)abg(x2-b2)(x3-b3) 其中a,b,g>0,a+b+g=1。证明：该个体的支出函数呈Gorman形式。 证明：支出最小化问题为： minp1x1+p2x2+p3x3 s.t. (x1-b1)abg(x2-b2)(x3-b3)a=u bg拉格朗日函数是L=p1x1+p2x2+p3x3-lé(x1-b1)ë(x2-b2)(x3-b3)-uù û一阶条件为： ¶Llaua-1bg=p1-la(x1-b1)(x2-b2)(x3-b3)=p1-=0 ¶x1x1-b1¶Llbu=p2-=0 ¶x2x2-b2¶Llgu=p3-=0 ¶x3x3-b3985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 解得：x1=b1+Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 ¶Labg=-(x1-b1)(x2-b2)(x3-b3)+u=0 ¶llaup1，x2=b2+lbup2æpöæpöæpö，x3=b3+，l=ç1÷ç2÷ç3÷ p3èaøèbøègølguabg支出函数为e=åpixi=åbipi+lu=A(p)+B(p)u，其中A(p)=åbipi，B(p)=l。 9如果某消费者有Cobb-Douglas效用函数 a1-au=m0m1，0<a<1 市场利率为r，初始收入为(m0,m1)。试推导消费者在时期0和1的需求函数。 解：根据第5章的跨时消费最优条件，有： a-11-aam0m1=1+r a-am1(1-a)m0从而得到m1=1-aa(1+r)m0，代入预算约束等式： m0+m1m=m0+1=V 1+r1+r解得：m0=aéëm0+m1(1+r)ùû，m1=(1-a)éë(1+r)m0+m1ùû。 10试利用4.7节初始禀赋下的Slutsky方程，写出跨时消费的Slutsky方程，并利用它分析市场利率r变化对消费者跨时消费的影响。 解：在两期跨时消费模型中，商品价格简化为一个未来消费与当期消费的相对价格1(1+r)。为了直接套用禀赋下的Slutsky方程，记未来消费的价格为d=1(1+r)，d也称为贴现因子。记最优跨时消费为(m0,m1)，由方程，得： ¶m1¶hi=¶d¶d-v=const¶mi(m1-m1) i=0,1w为收入 ¶w利率r变化对消费行为的影响可等价地通过d的变化来进行分析，只是二者的影响方向 相反。比如，若利率r提高，则d下降，未来的消费价格降低，一方面，Slutsky方程右边第一项是替代效应，表示在维持原有效用水平上消费者针对相对价格变化进行的消费调整，通常是降低当期消费，增加储蓄，期望增加未来消费；另一方面，等式右边第二项为收入效应，在利率提高的情况下，购买未来一定的消费所需货币收入减少，消费者实际购买力提高，但同时消费者原有禀赋中m1所获利息降低，这又会降低其货币收入。综合这两种效应，消费者针对货币收入的净变化对各期消费进行调整。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解 Born to win 经济学考研交流群 <<<点击加入 以上内容为跨考网整理的经济学考研课后习题答案解析的一部分，限于篇幅原因，如果同学还想获得更多经济学课后习题资料，可以关注微信公众平台索要经济学考研资料,你想要的资料都在这儿jjxkyzs。 想了解经济学考研高分的秘密吗？请点击>>>:经济学考研解题技巧 跨考经济学考研辅导提醒您: 成功的原因千千万,失败的原因就那么几个，加入我们的经济学考研交流群，考研经验交流，规避风险，锁定名校一次进! 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这 经济学历年考研真题及详解