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苏教年级数学全册知识点汇总第一章 教学内容：勾股定理 重点： 勾股定理的内容及应用，判断怎样得到直角三角形 难点：勾股定理的应用，圆柱的展开，勾股定理的逆定理 易错点：侧面展开图后直角三角形的理解与应用 第二章 教学内容：实数 重点：平方根，立方根的概念，实数的定义，计算器的应用 难点：理解无理数是无限不循环小数，实数运算的某些技巧掌握，分母有理化 易错点： 无限不循环小数是无理数，无限循环或者有限小数是有理数，理解平方根有两个 第三章 教学内容：图形的平移与旋转 重点：平移的特征，简单的平移作图，旋转特征的了解 难点：旋转作图，图案的设计 易错点：简单的平移作图与旋转作图 第四章 教学内容：平行四边形性质的探索 重点：特殊平行四边形的性质多边形内角和的推导 难点：特殊平行四边形的性质与判断，多边形外角和的推导过程 易错点：平行四边形的判定，特殊平行四边形的判定 第五章 教学内容：位置的确定 重点：平面直角坐标系的理论，坐标的变化 难点： 物体位置变化的确定，坐标变化后物体的变化 易错点：平面直角坐标系中坐标的表示，坐标变化的情况 第六章 教学内容：一次函数 重点：一次函数的解析式及其图像，一次函数的感念及其性质，待定系数法 难点：变量与函数对应关系的了理解，一次函数图像的应用。 易错点：一次函数的表达式及其用待定系数法确定一次函数的表达式 第七章 教学内容：二元一次方程组 重点：用代入法和加减消元法解二元一次方程组 难点：二元一次方程组的应用题，二元一次方程组及一次函数 易错点：二元一次方程组的解法及其应用题 苏教版八年级数学(上)知识点总结 第一章三角形全等 1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 理解：全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关； 一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等； 三角形全等不因位置发生变化而改变。 2、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等、对应角相等。 理解：长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角； 对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。 全等三角形的周长相等、面积相等。 全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定： 边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、证明两个三角形全等的基本思路： 已知两边：找第三边；找夹角；找是否有直角. 已知一边一角：找一角；找夹边. 已知两角：找夹边；找其它边. 第二章 轴对称 1、 轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。 2、 轴对称的性质： 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线； 3、线段的垂直平分线： 性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 4、角的角平分线： 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。 拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。 5、等腰三角形： 性质定理： 等腰三角形的两个底角相等； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。 判断定理： 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。 6、等边三角形： 性质定理： 等边三角形的三条边都相等； 等边三角形的三个内角都相等，都等于60°； 拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。 判断定理： 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形； 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 7、直角三角形推论： 直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。 第三章 勾股定理 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 1、勾股定理： 222直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即abc。 2、勾股定理的逆定理： 222如果三角形的三边长a，b，c有关系abc，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数： 满足abc的三个正整数，称为勾股数。 常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13。 4、简单运用： 勾股定理常用于求边长、周长、面积； 理解：已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。 用于证明线段平方关系的问题。 利用勾股定理，作出长为n的线段 勾股定理的逆定理常用于判断三角形的形状； 理解：确定最大边； 222若cab，则ABC是以C为直角的三角形； 222若abc，则此三角形为钝角三角形； 222 若abc，则此三角形为锐角三角形 难点：运用勾股定理立方程解决问题。 第四章 实数 1、平方根： 2定义：一般地，如果x=a(a0)，那么这个数x就叫做a的平方根。 表示方法：正数a的平方根记做“±a”，读作“正、负根号a”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 零的平方根是零； 负数没有平方根。 2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。 3、算术平方根： 2定义：一般地，如果x=a(a0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。 特别地，0的算术平方根是0。 表示方法：记作“a”，读作“根号a”。 性质：一个正数只有一个算术平方根； 零的算术平方根是零； 负数没有算术平方根。 注意222a的双重非负性：a³0,a³0. 2(a)=a(a³0),a2=a(a³0),a2=-a(a£0) 4、立方根： 3定义：一般地，如果x=a那么这个数x就叫做a 的立方根。 表示方法：记作“a”，读作“三次根号a”。 性质：一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零。 注意：33(a)3-a=-3a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 2=3a3=a 5、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。 6、实数定义与分类： 无理数：无限不循环小数叫做无理数。 理解：常见类型有三类： 开方开不尽的数：如7,9等； 有特定意义的数：如圆周率，或化简后含有的数，如+8等； 有特定结构的数：如0.1010010001等；(注意省略号) 实数：有理数和无理数统称为实数。 实数的分类： 按定义来分 按符号性质来分 整数(含0) 正有理数 有理数 分数 正实数 正无理数 实数 实数 0 3 无理数 负实数 负有理数 负无理数 7、实数比较大小法： 理解：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数； 数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大； 绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。 22平方法：a、b是两负实数，若ab，则ab。 8、实数的运算： 六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方 实数的运算顺序： 先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 实数的运算律： 加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。 9、近似数： 由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。 取近似值的方法四舍五入法。 10、科学记数法： 把一个数记为a´10，不属于任何一个象限。 点的坐标的概念： 对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对叫做点P的坐标。 点的坐标用表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。 平面内点的坐标是有序实数对，当ab时，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。 平面内点的与有序实数对(坐标)是一一对应的关系。 不同位置的点的坐标的特征: 各象限内点的坐标的特征： 点P(x,y)在第一象限：x>0,y>0； 点P(x,y)在第二象限：x<0,y>0； 点P(x,y)在第三象限：x<0,y<0； 点P(x,y)在第四象限：x>0,y<0。 坐标轴上的点的特征： 点P(x,y)在x轴上：y=0，x为任意实数； 点P(x,y)在y轴上：x=0，y为任意实数。 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上：即是原点坐标为。 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征： 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上：x与y相等； 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上：x与y互为相反数。 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征： 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征： 点P与点p关于x轴对称：横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P关于x轴的对称n点为P 点P与点p关于y轴对称：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P关于y轴的对称点为P 点P与点p关于原点对称：横、纵坐标均互为相反数，即点P关于原点的对称点为P 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： 点P(x,y)到x轴的距离等于|y|； 点P(x,y)到y轴的距离等于|x|； 点P(x,y)到原点的距离等于 第六章 一次函数 1、函数： 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 2、自变量取值范围： 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式，分式、二次根式、实际意义几方面考虑。 3、函数的三种表示法： 关系式法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式法。 列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 4、由函数关系式画其图像的一般步骤： 列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 5、正比例函数和一次函数概念与性质： 正比例函数和一次函数的概念： 一般地，若两个变量x，y间的关系可以表示成称y是x的一次函数。 特别地，当一次函数正比例函数。 正比例函数是特殊的一次函数。 一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线 一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数x2+y2。 y=kx+b的形式，则y=kx+b中的b=0时，称y是x的y=kx+b的图像是经过点的直线； y=kx的图像是经过原点的直线。 正比例函数正比例函数的性质： 一般地，正比例函数y=kx有下列性质： 当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 一次函数的性质： 一般地，一次函数y=kx+b有下列性质： 当k>0时，y随x的增大而增大 当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定： 理解：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数y=kx中的常数k。 确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b(k0)中的常数k和b。 解这类问题的一般方法是待定系数法。 具体法方：过点必代，交点必联。 7、一次函数与一元一次方程的关系： 理解：任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0的形式而一次函数解析式形式正是y=kx+b当函数(y)值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同 由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值 八下 第一章 教学内容：一元一次不等式及其一元一次不等式组 重点：不等式的基本性质，一元一次不等式的解法 难点：一元一次不等式去解集用一元一次不等式解决实际问题 易错点： 不等式的基本性质，不等式组解集的确定 第二章 教学内容：分解因式 重点：提公因式法公式法分解因式 难点：综合运用两种方法进行因式分解 易错点：运用公式法注意其准确性 第三章 教学内容：分式 重点：分式的意义，运用分式的基本性质解题，分式的计算 难点：求取最大公分母，分式方程应用题 易错点：分式方程的应用题必须检验有没有曾根 第四章 教学内容：相似三角形 重点：成比例线段，相似三角形的比例及其性质 难点：利用相似三角形解决实际问题 易错点：相似比的平方等于面积比 第五章 教学内容：数据的收集 重点：了解抽样，个体，总体，样本的概念 难点：理解频数频率的概念，方差，标准差的运用 易错点：方差与标准差的计算 第六章 教学内容：证明 重点：定义和命题，平行线的判定和性质的证明 难点：判定条件和结论组成命题的真假，三角形内角和定理，三角形内角和定理的证明 易错点：体会证明的严密性 第七章一元一次不等式 1不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 2不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集。 3不等式的性质：1不等式的两边都加上同一个整式，不等号的方向不变。 2不等式的两边都乘一个正数，不等号的方向不变。不等式的两边都乘一个负数，不等号的方向改变。 4解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似。 但是，在不等式两边都乘同一个不等于0的数时，必须根据这个数是正数，还是负数，正确地运用不等式的性质2，特别要注意在不等式两边都乘同一个负数时，要改变不等号的方向。 5用一元一次不等式解决问题步骤：审：认真审题，分清已知量、未知量的及其关系，找出题中不等关系，要抓住题设中的关键字“眼”，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等的含义。 设：设出适当的未知数。 列：根据题中的不等关系，列出不等式。 解：解出所列不等式的解集。 答：写出答案，并检验答案是否符合题意。 6一元一次不等式组： 由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组。 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集，求不等式组解集的过程叫解不等式组。 一元一次不等式组解决实际问题的步骤：与一元一次不等式解决实际问题类似，不同之处在与列出不等式组，并解出不等式组。 7一元一次不等式与一元一次方程、一次函数 当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值；当已知一次函数中的一个变量范围时，可以用一元一次不等式确定另一个变量取值的范围。 第八章分式 1分式定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式分式的分子，B是分式的分母。 2分式的基本性质： 分式的分子和分母都乘同一个不等于0的整式，分式的值不变。用式子表示就是A叫做分式，其中A是BAA×M=BB×M，AA¸M=BB¸M(其中M是不等于0的整式) 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分。 根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。 与异分母的分数通分类似，异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 3同分母的分式相加减：分母不变，把分子相加减 异分母的分式相加减：先通分，再加减。 4分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 5分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 求分式方程的解，只要在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时就可以将分式方程转化为一元一次方程来解。 如果由变形后的方程求得的根不合适原方程，那么这种根叫做原方程的增根。 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须检验。 有时，根据实际问题列出的分式方程虽然有解，但所求得的的解不符合实际意义，所以这个实际问题仍然无解。 第九章 反比例函数 1反比例函数：一般地，形如y=函数，k是比例系数。 反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 2、一般地，反比例函数y= 反比例函数y=kx(k为常数，k0)的函数叫做反比例函数。其中x是自变量，y是x的kx(k为常数，k0)的图象是由两个分支组成的，是双曲线。 kx(k为常数，k0)的图象是双曲线。 当k>0时，双曲线的两分支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x增大而减小， 当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x增大而增大。 |k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。 正比例函数y=k1x(k1¹0)与反比例函数y=k2(k2¹0）中的k1k2异号时二者的图象 x无交点，同号时它们有两个关于原点对称的交点且交点坐标为的比值约为0.618，这个比值称为黄金比。 3相似图形： 各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形 两个相似三角形对应边的比值叫做它们的相似比 类似地，如果两个边数相同的多边形的各角对应相等、各边对应成比例，那么这 多边形相似。相似多边形的对应边的比叫做相似比。 4探索三角形相似的条件 如果一个三角形的两个三角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。 5相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于相似比 相似多边形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 相似多边形面积的比等于相似比的平方 相似三角形对应高的比等于相似比 相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 6图形的位似： 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似形，这个点叫做位似中心。 性质： 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的距离比等于相似比 位似多边形的对应边平行或共线 利用位似形可以将一个图形放大或缩小。 位似图形的中心可以在任意一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变 注意 1位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形必是相似图形，而相似图形不一定是位似图形。 2两个位似图形的位似中心只有一个 3两个位似图形可以位于位似中心两侧，也可能位于位似中心同侧 4位似比就是相似比 5平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形和原三角形位似 7相似三角形的应用 在平行光线的照射下，物体所产生的影称为平行投影 在平行光线的照射下，不同物体的物高与其影长成比例 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影 第十一章 图形与证明 1你的判断对吗 2说理 对名称或术语的含义进行描述、做出规定，就是给出它们的定义 判断某一件事情的句子叫做命题 如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题 如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 3用推理的方法证明真命题的过程叫做证明。经过证明的真命题称为定理 证明与图形有关的命题，一般有以下步骤： 根据命题，画出图形。 根据命题，结合图形，写出已知、求证；已知部分是已知事项，求证部分是论证的事项 写出证明过程 定理：内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 三角形内角和定理 ：三角形三个内角的和等于180° 三角形内角和定理的推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 直角三角形的两个锐角互余 4互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题 判断一个命题是假命题，只需举出一个反例就行了 第十二章 认识概率 1、等可能性： 如果一个试验所有可能的结果有无穷多个，每次只出现其中的某个结果，而且每个结果出现的机会都一样，那么我们就称这个试验的结果具有等可能性。 2、一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，那么其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率为 P(A)=mn利用树状图或者表格可以帮助我们不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果。 3、等可能条件下的概率等可能条件下的几何概型的概率 把等可能条件下，试验结果无限的几何概型通过等积分割转化为古典概型。