经济数学微积分期末测试及答案.docx
经济数学微积分期末测试及答案经济数学-微积分期末测试 第一学期期末考试试题 ( A ) 试题号 考 分 阅卷人 一 二 三 四 总分 一.选择题 1.函数f(x)=x+1x2-1的定义域是; (A)-(1,1)+¥(1,B)-(+)¥(C1,)+¥(D)(1 ,-2.下列函数中,与y=x3关于直线y=x对称的函数是; (A)y=3x(B)x=3y(C)y=-x3(D)x=-y3 3.函数y=14-x2的渐近线有; 3条2条1条0条4.若函数f(x)在(-¥,+¥)有定义,下列函数中必是奇函数的是; (A)y=-f(-x)(B)y=x3f(x2)(C)y=f(x)+f(-x)(D)y=f(x) 5.x®0时,下列函数中,与x不是等价无穷小量的函数是 (A)sinx(B)x+sinx(C)tanx(D)ln(1+x)6.若f(x)=x-2,则点x=2是函数f(x)的; (A)左连续点 (B)右连续点 (C)驻点 (D)极值点 7.当x®0时,下列函数极限不存在的是; (A)sixnxBxxsi1nC(11)D( )xtanex+18.极限limlnxx®01-x; (A)1(B)0(C)-1(D)不存在 9.设函数f(x)在区间内有二阶导数,且xf¢¢(x)+f¢(x)>0,若在内 1 f¢(x)<0,则函数f¢(x)在区间内 (A)单调不增 (B)单调不减 (C)单调增加 (D)单调减少 10.下列函数中在,上满足罗尔定理条件的是; (A)x(B)12x2(C)(x+3)(D)x2-2 11.若函数f(x)在点xf(x)0处可导,则极限0+3Dx)-f(x0-Dxxlim®xx; 02D (A)4f¢(x0)(B)3f¢(x0)(C)12f¢(x0)(D)2f¢(x0) 12.下列极限中,极限值为e的是; 11 (A)lim(1xx®¥+x)(B)lim(1+xxx®¥)(C)lim(1x®0+1x)xx(D)xlim®0+(1+x)13.若y=lnxx,则dy; (A)lnx-11-lnxx-1-lnxx(B)x2(C)lnx2dx(D)1x2dx 14.函数f(x)=x2,在区间,内,满足拉格朗日中值定理的条件,其中x; (A)14(B)13(C)23(D)12 15.若函数f(x)在(-¥,+¥)内连续,则ëéòx2f(x)dxù¢û= (A)2xf(x)+x2f¢(x)dx(B)2xf(x)+x2f¢(x)(C)x2f(x)dx(D)x2f(x)二.计算题 1. y=xarccosx-1-x2,求y¢ 1解:y¢=(xarccosx)¢-(1-x2)2¢=arccosx-xx1-x2+221-x2=arccosx 2. (cosx-sinx+3x2+ex+2)dx分 分 求ò 解:原式sinx+cosx+x3+ex+2x+c 分 分 3. 求曲线y-x+x5y100=1 在x=0对应的点处的切线方程 解:x=0时,代入方程得 y=1;方程两边对x求导得 2 y¢-1+5x41y0+0100x5¢y=99y, 将0x=0与y=1代入,得 分 y¢x=0=1, 故所求的切线方程为 y=1分 y-1=x,即y=x+1 分 4. 求极限lim(1x®0x-1ex-1) 0 00x0 解:原式lim(ex-1-xx®0x(ex-1)=lime-1x®0ex-1+xex=limexx®0ex+ex+xex=12分 分 分5. 设函数f(x)=ìíax-2x³1îx2-bx<1 在x=1处可导,求常数a和b 解:由已知f(x)在x=1连续,且 xlim®1-f(x)=lim(2x®1-x-b)=1-b 可得b=3-a xlim®1+f(x)=lim(x®1+ax-2)=a-2分 又因f(x)在x=1处可导,且 f(1)=limx2-b-a+2x2-3+a-a+x®1-x-1=lim2-¢x®1+x-1=limx®1+x+1=2f¢(x)=lim(ax-2)-a+2+x®1+x-1=a分 又得 a=2 代入 得b=1 故a=2b=1 分 6. 求函数y=ln(1+4x2)的上凸区间、下凸区间与拐点 解:y¢=8x1+4x2,=8(1-4x2y¢¢)(1+4x2)2,令y¢¢=0,得x=±12列表讨论如下: x (-¥,-1-112) 2 (-112,2) 2 (12,+¥) y¢¢ _ 0 + -0 _ y 拐点 拐点 (-12,ln2) (1,ln2) 2 3 7. 求ò解:òx+1dx 2x+1x+11dx=22x+1ò2x+1+11dx=22x+1ò(2x+1+1)dx2x+1x-xfedx 8.已知xe是f(2x)的一个原函数,求ò22x1-131112222=ò(2x+1)d(2x+1)+ò(2x+1)d(2x+1)(2x+1)+(2x+1)2+c443分 分 311(2x+1)2+(2x+1)2+c2分 解:f(2x)=(xe2x)¢=eu2x+2xex2=ex2(1+2x)xxx2f(u)=e(1+u)f=e(1+)22xxx-x-xxxxòfedx=òe2(1+)e-xdx=ò(1+)e2dx=-2ò(1+)de2三应2222xxxx-x-2xx=-2(1+)e+òe2d(-)=-2(1+)e2+e2+c2224分 xx-x-2=-2(2+)e+c=-(4+x)e2+c26分 用题 7分 2某厂生产一种化工产品,每年生产x吨的总成本为C(x)=4x+100000百元,该产品的需求函数为1000+5x=0.001x2+p; (1) 该产品产量为多少时工厂的利润最大?最大利润是多少? (2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少? 0x5-解:(1) p=100+02.x 0013分 L(x)=xp-c(x)=-0.001x3+x2+1000x-100000 2令 L¢(x)=-0.003x+2x+1000=0得驻点x=1000 6分 L¢¢(1000)=-4<0 且驻点唯一 又L(1000)=(-0.001x3+x2+1000x-100000)x=1000=900000 分 故产量为1000吨时工厂利润最大,且最大利润为9000万元; (2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等,又 4 C¢(100=0) 8 故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为 10分 四.证明题 设函数f(x)在区间0,c上连续,其导数f¢(x)在(0,c)内存在且单调减少,又f(0)=0, 证明不等式:f(a+b)£f(a)+f(b) 证明:a=0时,f(0)=0 f(a+)b=(f)b=(f+)a f b a>0 时,在区间0,a和b,a+b上,f(x)满足拉格朗日定理条件, 有f¢(x1)=f(a)-f(0)f(a=a)a(x1Î(0,a)有f¢(x=f(b+a)-f(b)f(b+a)-f b+a-b=(b)2)a(x2Î(b,a+b)分 又f(x)在0,c上单调减少,而x1<x2 f¢(x2)<f¢(x1)即f(b+a)-f(b)fa<(a)a 故有 f(a+b)£f(a)+ f( b分 5