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经济数学基础经济数学基础12期末复习 一、单项选择题 1下列函数中为偶函数的是 (A) y=xsinx (B) y=x2+x (C) y=2x-2-x (D) y=xcosx 正确答案：A 2下列函数中为奇函数的是 (A) y=xsinx (B) y=lnx-1x+1 (C) y=ex+e-x (D) y=x2-x 正确答案：B 3下列各函数对中，中的两个函数相等 A.f(x)=(x)2,g(x)=x B. f(x)=x2-1x-1,g(x)=x+1 C. f(x)=lnx2,g(x)=2lnx D. f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=1 正确答案：D 4下列结论中正确的是 (A) 周期函数都是有界函数 (B) 基本初等函数都是单调函数 (C) 奇函数的图形关于坐标原点对称 (D) 偶函数的图形关于坐标原点对称 正确答案：C 5下列极限存在的是 Alimx21x®¥x2-1 Blimx®02x-1 1Climsinx Dlimxx®¥x®0e 正确答案：A 6已知f(x)=xsinx-1，当时，f(x)为无穷小量 A. x®0 B. x®1 C. x®-¥ D. x®+¥ 正确答案：A 7当x®+¥时，下列变量为无穷小量的是1Aln(1+x) Bx2 Ce-x2sinxx+1 Dx 正确答案： D ì1-1+2x8函数f(x)=ïí,x¹0 在x = 0处连ïxîk,x=0续，则k = ( ) A-2 B-1 C1 D2 正确答案：B 9.曲线y=sinx在点(,0)处的切线斜率是 (A) 1 (B) 2 (C) 12 (D) -1 正确答案：D 10曲线y=1x+1在点处的切线斜率为。 A12 B-12 C1 D12(x+1)3-2(x+1)3 正确答案：B 11若f(x)=cos2x，则f¢¢(p2)= A0 B1 C 4 D-4 正确答案：C 12下列函数在区间(-¥,+¥)上单调减少的是 (A) cosx (B) 2-x (C) 2x (D) x2 正确答案：B 13下列结论正确的是 (A) 若f¢(x0)=0，则x0必是f(x)的极值点 (B) 使f¢(x)不存在的点x0，一定是f(x)的极值点 (C) x0是f(x)的极值点，且f¢(x0)存在，则必有f¢(x0)=0 (D) x0是f(x)的极值点，则x0必是f(x)的驻点 正确答案：C 14设某商品的需求函数为q(p)=10e-p2，则当p=6时，需求弹性为 A-5e-3 B3 C3 D-12 正确答案：B 15若函数f(x)=1-xx，g(x)=1+x,则 fg(-2)=( ) A-2 B-1 C-1.5 D1.5 正确答案：A 16函数y=1ln(x-1)的连续区间是 A B1，2） C D1，+¥） 正确答案：A 17设òf(x)dx=lnxx+c，则f(x)= Alnlnx Blnx C1-lnx Dln2xx2x 正确答案：C 18下列积分值为0的是 Aòp1-pxsinxdx Bòex+e-x-12dx Cò1ex-e-x-12dx Dòp-p(cosx+x)dx 正确答案：C 19若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是( ) Aòxaf(x)dx=F(x) Bòxaf(x)dx=F(x)-F(a) CòbaF(x)dx=f(b)-f(a) Dòbaf¢(x)dx=F(b)-F(a) 正确答案：B 20.设A=(12)，B=(-13)，I是单位矩阵，则ATB-I Aéê-23ùë-25úû Béê-1-2ùë36úû Céê-13ùë-26úû Déê-2-2ùë35úû正确答案：A 21.设A,B为同阶方阵，则下列命题正确的是. A.若AB=O，则必有A=O或B=O B.若AB¹O，则必有A¹O,B¹O C.若秩(A)¹O,秩(B)¹O，则秩(AB)¹O D. (AB)-1=A-1B-1正确答案：B 22当条件成立时，n元线性方程组AX=b有解 A. r(A)<nB. r(A)=n C. r(A)=n D. b=O 正确答案：D 23.设线性方程组AX=b有惟一解，则相应的齐次方程组AX=O A无解 B只有0解 C有非0解 D解不能确定 正确答案：B 24. 设线性方程组AX=b的增广矩阵为 éê13214ùê0-112-6úêê01-1-26úú，则此线性方程组的一般解中自ë02-2-412úû由未知量的个数为 A1 B2 C3 D4 正确答案：B 25. 若线性方程组的增广矩阵为A=éê1l-1ùë260ú，û则当l时线性方程组无解 (A) 3 (B) -3 (C) 1 (D) -1 正确答案：A é 26. 设A=ê045ùê123ú，则r(A)= êúë006úû(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 正确答案：D 27.设线性方程组Am´nX=b有无穷多解的充分必要条件是 Ar(A)=r(A)<m Br(A)=r(A)<n Cm<n Dr(A)<n 正确答案：B 28设线性方程组AX=b有唯一解，则相应的齐次方程组AX=O A只有零解 B有非零解 C无解 D解不能确定 正确答案：A 29.设A为3´2矩阵，B为2´3矩阵，则下列运算中可以进行 AAB BABT CA+B DBAT 正确答案：A 30. 设A是可逆矩阵，且A+AB=I，则A-1=. AB B1+B CI+B D(I-AB)-1 正确答案：C 31.设需求量q对价格p的函数为q(p)=3-2p ,则需求弹性为Ep=( )。 Ap B. 3-2p3-2p p C. -3-2ppp D. -3-2p 正确答案：D 32.在无穷积分中收敛的是 A. ò+?0exdx B. ò+?113xdx C. ò+?11x2dx D. ò+?0sinxdx 正确答案：C 33. 设A为3×4矩阵,B为5×2矩阵,且乘积矩阵ACTBT有意义,则C为( )矩阵. A.4×2 B. 2×4 C. 3×5 D. 5×3 正确答案：B 34. 线性方程组ìïíx1+2x2=1ïîx的解的情况是 1+2x2=3 A.无解 B.只有0解 C.有唯一解 D.有无穷多解正确答案：A 二、填空题 函数y=4-x21ln(x+1)的定义域是 正确答案：(-1,2 2函数y=4-x2+1x+1的定义域是 . 正确答案：-2,-1)U(-1,2 3若函数f(x-1)=x2-2x+6，则f(x)= 正确答案：x2+5 4设f(x)=10x+10-x2，则函数的图形关于 对称 正确答案：y轴 5已知需求函数为q=203-23p，则收入函数R(q)= . 正确答案：10q-32q2 6limx+sinxx®¥x= 正确答案：1 ìx2-17已知f(x)=ïíx¹0，若f(x)在ïx-1îax=0(-¥,+¥)内连续，则a= 正确答案：2 8曲线f(x)=x2+1在(1,2)处的切线斜率是 正确答案：12 9过曲线y=e-2x上的一点的切线方程为 . 正确答案：y=-2x+1 10函数y=(x-2)3的驻点是 正确答案：x=2 é11设A=ê1-23ùê-251ú，当a= 时，ê3a0úëúûA是对称矩阵 正确答案：1 12已知f(x)=1-tanxx，当 时，f(x)为无穷小量 正确答案：x®0 13齐次线性方程组AX=0只有零解的充分必要条件是 正确答案：r(A)=n 14若òf(x)dx=F(x)+c，则 òe-xf(e-x)dx= . 正确答案：-F(e-x)+c 15ò03x-¥edx= 正确答案：13 16设线性方程组AX=b，且 éê1116ùA®ê0-132úú，则t_时，方程组有唯一解 êë00t+10úû正确答案：¹-1 17设齐次线性方程组Am´nXn´1=Om´1，且r(A) = r < n，则其一般解中的自由未知量的个数等于 正确答案：n r 18线性方程组AX=b的增广矩阵A化成阶梯形矩阵后为 é12010ùA®êê042-11ú ê0000d+1úëúû则当d= 时，方程组AX=b有无穷多解. 正确答案：-1 19. 已知齐次线性方程组AX=O中A为3´5矩阵，则r(A)£ 正确答案：3 20.函数f(x)=11-ex的间断点是 正确答案：x=0 21.若òf(x)dx=2x+2x2+C，则 f(x)= 正确答案：2xln2+4x 三、微积分计算题 1已知=2xsinx2，求y¢ 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 y¢=(2xsinx2)¢=(2x)¢sinx2+2x(sinx2)¢ =2xln2sxi2n+x2xc2oxs2¢ ()=2xln2sinx2+2x2xcosx2 2设y=cos2x-sinx2，求y¢ 解；y¢=-sin2x2xln2-2xcosx23设y=ln2x+e-3x，求y¢ 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 y¢=(ln2x)¢+(e-3x)¢=2lnx-3e-3xx 4设y=esinx+tanx，求dy 解：由导数运算法则和复合函数求导法则得 dy=d(esinx+tanx) =d(seixn+)d(txa n) =esixnd(sixn+c)1o2sxx d =esixncoxsxd+1co2sxxd =(esinxcosx+1cos2x)dx 25òe10x1+lnxdx 2解：òe11x1+lnxdx=òe2111+lnxd(1+lnx) 2 =21+lnxe1=2(3-1) sin16计算òxx2dx sin1解 òx2dx=-sin1d(1)=cos1xòxxx+c 7计算ò2xdxxx解 ò2dxx=2ò2xd(x=)2xln22+c 8计算òxsinxdx 解 òxsinxdx=-xcosx+òcoxsx=d-xco+xss+x 9计算ò(x+1)lnxdx 11(x+1)2解 ò(x+1)lnxdx=22(x+1)lnx-2òxdx inc =122x2(x+2x)lnx-4-x+c 1x 10计算 ò2e1x2dx 1ex2 解 ò211x2dx=-ò21exd(111x)=-ex=e-e2 111òe211x1+lnxdx 2解 òe11x1+lnxdx=òe2111+lnxd(1+lnx) =21+lnxe21=2(3-1) 12ò20xcos2xdx pp解：ò20xcos2xdx=12xsin2x2-1p02ò20sin2xdxp=1214cos2x=- 02 13òe-10ln(x+1)dx òe-1e-1x0ln(x+1)dx=xln(x+1)0-òe-10x+1dx =e-1-òe-10(1-1x+1)dx =e-1-x-ln(x+1)e-10lne=1 四、代数计算题 é1-10ùé1ù1设矩阵A=êê-121ú,B=ê2ú，求A-1Bêúêú ë223úûêë5úû解：因为 é1-1010 ê0ùê-121010úé®ê1-10100ù0111úê1úúê10ú ë22300ûêë043-201úûé1-10100ù®êê011110úêë00-1-6-41úúûéê1-10100ù®ê010-5-31úêë00164-1úúûé100-4-31ù®êê010-5-31ú êúë00164-1úûé-4-31即 A-1=êùê-5-31ú êúë64-1úûé所以 A-1B=ê-4-31ùê-5-31úéê1ù2úé-5ù=ê-6ú ê-1úúêúêúë64ûêë5úûêë9úûé0-1-32设矩阵A=êùê-2-2-7ú，I是3阶单位矩阵，求ê3-4-8úë-úû(I-A)-1 解：由矩阵减法运算得 é100ùI-A=êê010úé0-1-3ùé113ù-ê-2-2-7ú=ê237ú êúúêúêúë001ûêë-3-4-8úûêë349úû利用初等行变换得 éê113100ùé113100ùê237010ú®ê011ê349001úúê-210úú ëûêë010-301úûé113100ùé110-2-3®êê011-210úê3ù®010-301úê0-1-1-11úúêúë0ûêë00111-1úûéê1001-32ù®ê010-301ú ê00111-1úëúûé1-3ù即 (I-A-)1=êê-30ú2êú 1ë11-úû1 3. 设矩阵 A =éê10-2ùéë1-20ú，B =ê63ùûê12ú，计算(AB)-1 êúë41úûé10é解 因为AB =ê-2ùê63ùë1-20úû12ú=é-21ùê êúêë41úûë4-1úû (AB I ) =éê-2110ùé-2110ùë4-101úû®êë0121úû1ù®éê-20-1-1ùéê1ë0121úû®10ê22ú ë0121úûé11ù所以 (AB)-1= êê22ú ë21úû4.解矩阵方程êé-2-3ùé-1ùë34úûX=êë2ú。 û解：由éê-2-3ùë34úûX=éê-1ù，得ë2úûX=é-1ê-2-3ùé-1ùë34úûêë2úû éê-2-310ùé1111ùë3401úû®êë3401úû®éê1111ùé043ù ë01-31úû®ê1ë01-3-3úû所以， -1X=éê-2-3ùé-1ùé43ùé-1ùé2ùë34úûêë2úû=êë-3-2úûêë2úû=êë-1úûìx1+2x3-x4=05求线性方程组ïí-xï1+x2-3x3+2x4=0的一般解 î2x1-x2+5x3-3x4=0 解：因为系数矩阵 é102-1ùé102-1ùA=êê-11-32ú®ê01-11úê-15-3úúê0-11-1úë2ûêëúûé102-1ù®êê01-11ú ê000úë0úû所以一般解为íìx1=-2x3+x4îx2=x 3-x46当l取何值时，线性方程组 ìïx1+x2+x3=1í2x1+x2-4x3=l 有解？并求一般解 ïî-x1+5x3=1解 因为增广矩阵 é1111ùA=êê21-4lúéê1111ù®0-1-6l-2úê1051úúêúë-ûêë0162úûéê10-5-1ù®ê0162ú ê000lúëúû所以，当l=0时，线性方程组有无穷多解，且一般解为： ìíx1=5x3-1îx 2=-6x3+2(x3是自由未知量 五、应用题 1 投产某产品的固定成本为36，且边际成本为C¢(x)=2x+40。试求产量由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量多少时，可使平均成本达到最低？ 解: 当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 DC(x)=ò64(2x+40)dx=(x2+40x)64=100 又xC(x)=ò0C¢(x)dx+c0=x2+40x+36xx=x+40+36x令C(x)¢=1-36x2=0，解得x=6。 2已知某产品的边际成本C¢(q)=4q-3，q为产量，固定成本为18，求最低平均成本 解：总得成本函数为 C=òC¢(q)dq=ò(4q-3)dq=2q2-3q+18 平均成本函数为 C=C(q)18=2q-3+ qq5.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=3+x (万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R¢(x)=15-2x，求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ 解：(1) 因为边际成本为C¢(x)=1，边际利润 C¢=2-1818¢，令 C=2-=0，解得x=322qq因为平均成本存在最小值，且驻点唯一，所以，当产量为300台时，可使平均成本达到最低。 18=9 最低平均成本为 C(3)=2´3-3+33生产某产品的边际成本为C¢(x)=8x(万元/百台)，L¢(x)=R¢(x)-C¢(x)=14-2x 令L¢(x)=0，得x=7 边际收入为R¢(x)=100-2x，其中x为产量，问(1) 产量为多少时，利润最大？(2) 从利润最大时的产量再生产2百台，利润有什么变化？ 解 边际利润函数为 L¢(x)=R¢(x)-C¢(x)=(100-2x)-8x=100-10x 令L¢(x)=0 得 x=10 又x=10是L(x)的唯一驻点，根据问题的实际意义可知L(x)存在最大值，故x=10是L(x)的最大值点，即当产量为10时，利润最大 利润函数 L=ò12L¢(x)dx=ò121010(100-10x)dx=(100x-5x2)1210=-20 即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20万元 4已知某产品的边际成本C¢=2，固定成本为0，边际收益R¢(x)=12-0.02x。问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 解：因为边际利润 L¢(x)=R¢(x)-C¢(x)=12-0.02x-2=10-0.02x 令L¢(x)=0，得x=500。x=500是唯一驻点，而该问题确实存在最大值。所以，当产量为500件时，利润最大。 当产量由500件增加至550件时，利润改变量为 DL=ò550500(10-0.02x)dx=(10x-0.01x2)550500 =500-525=-25即利润将减少25元。 由该题实际意义可知，x=7为利润函数L(x)的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大. (2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为 DL=ò8(14-2x)d287x=(14x-x)7=112-64-98+49=-1 即当产量由7百吨增加至8百吨时，利润将减少1万元。 6设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x2+6x,求：当x=10时的总成本和平均成本； 当产量x为多少时，平均成本最小？ 解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x)=100+x2+6x C(x)=100x+x+6， 所以，C(10)=100+1´102+6´10=260 C(10)=10010+1´10+6=26， C¢(x)=-100x2+1 令 C¢(x)=0，得x=10，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均成本最小。 7.某厂每天生产某种产品q件的成本函数为C(q)=0.5q2+36q+9800.为使平均成本最低，每天产量应为多少？此时，每件产品平均成本为多少？ 解：因为 C(q)=C(q)q=0.5q+36+9800q C¢(q)=(0.5q+36+9800)¢=0.5-9800qq2 9800 令C¢(q)=0，即0.5-=0，得q1=140，q2= -140q2。 且该问题q1=140是C(q)在其定义域内的唯一驻点，确实存在最小值。 所以q1=140是平均成本函数C(q)的最小值点，即为所以，C(10)=100+1´102+6´10=260； C(10)=100+1´10+6=26， 10¢100C(x)=-2+1 x¢令 C(x)=0，得x=10，可以验证x=10是C(x)的最小值点，所以当x=10时，平均成使平均成本最低，每天产量应为140件. 此时的平均成本为 C(140)=0.5´140+36+9800140=176 8已知某产品的销售价格p是销量q的函数p=400-q2，而总成本为C(q)=100q+1500，假设生产的产品全部售出，求产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？ 解：由已知条件可得收入函数 R(q)=pq=400q-q22 利润函数 q)-C(q)=400q-q2L(q)=R(2-(100q+1500) =300q-q22-1500 求导得 L¢(q)=30-0q 令L¢(q)=0得q=300，它是唯一的极大值点，因此是最大值点 此时最大利润为 L(300)=300´300-30022-1500=43500 即产量为300件时利润最大最大利润是43500元 9. 设生产某种产品x个单位时的成本函数为：C(x)=100+x2+6x,求：当x=10时的总成本和平均成本；当产量x为多少时，平均成本最小？ 解：因为总成本、平均成本和边际成本分别为： C(x)=100+x2+6x； C(x)=100x+x+6， 本最小 10.设生产某产品的总成本函数为 C(x)=5+x(万元)，其中x为产量，单位：百吨销售x百吨时的边际收入为R¢(x)=11-2x，求：利润最大时的产量；在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨， 利润会发生什么变化？ 解：因为边际成本为 C¢(x)=1，边际利润 L¢(x)=R¢(x)-C¢(x)=10-2x 令L¢(x)=0，得x=5可以验证x=5为利润函数L(x)的最大值点. 因此，当产量为5百吨时利润最大. 当产量由5百吨增加至6百吨时，利润改变量为 DL=ò6(10-2x)dx=(10x-x2)655 =-1 即利润将减少1万元. 11.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为 C(q)=20+4q+0.01q2(元)，单位销售价格为p=14-0.01q(元/件)，问产量为多少时可使利润最大？最大利润是多少？ 解：设产量为q，则收入函数为 R(q)=pq=(14-0.01q)q=-0.01q2+14q L(q)=R(q)-C(q) =-0.01q2+14q-0.01q2-4q-20=-0.02q2+10q-20因为边际利润L¢(q)=0时，利润最大。 则L¢(q)=-0.04q+10=0，得q=250 产量为250时可使利润最大 Lmax=-0.02´2502+10´250-20=1230 最大利润为1230元