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线性代数公式大全 最全最完美线性代数公式大全最新修订 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、Aij和aij的大小无关； 、某行的元素乘以其它行元素的代数余子式为0； 、某行的元素乘以该行元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mi+jij=(-1)AijAi+jij=(-1)Mij4. 设n行列式D： n(n-1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D21，则D1=(-1)D； n(n-1)将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，则D2=(-1)2D； 将D主对角线翻转后，所得行列式为D3，则D3=D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； n(n-1)、副对角行列式：副对角元素的乘积´ (-1)2； 、上、下三角行列式：主对角元素的乘积； n(n-1)、 和 ：副对角元素的乘积´ (-1)2； 、拉普拉斯展开式：AOACCB=OB=AB、CABO=OABC=(-1)mgnAB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； n6. 对于n阶行列式A，恒有：lE-A=ln+å(-1)kSn-kkl，其中Sk为k阶主子式；k=17. 证明A=0的方法： 、A=-A； 、反证法； 、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； 、利用秩，证明r(A)<n； 、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： ÛA¹0； Ûr(A)=n ÛA的行向量组线性无关； Û齐次方程组Ax=0有非零解； Û"bÎRn，Ax=b总有唯一解； ÛA与E等价； ÛA可表示成若干个初等矩阵的乘积； 1 ÛA的特征值全不为0； 的行向量组是Rn的一组基； 是Rn中某两组基的过渡矩阵； *-1TÛATA是正定矩阵； ÛAÛA2. 对于n阶矩阵A：AA*=A*A=AE 无条件恒成立； 3. (A)=(A)TT-1*(A)-1T*=(A)*T-1(A)*T=(A)-1T*-1(AB)=BA(AB)=BA(AB)=B-1A4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若æA1çA=çççèA2Oö÷÷÷÷Asø，则： 、A=A1A2LAs； æA1-1ç=ççççèOö÷BøAö÷OøCö÷BøOö÷Bø-1、A-1A2-1Oö÷÷÷÷-1As÷ø； æA、çèOæO、çèBæA、çèOæA、çèCæA-1=çèOæO=ç-1èAæA-1=çèOOö； -1÷BøBö÷； Oø-1-1-1-1-1-ACBB-1ö÷； ø-1-1æA=ç-1-1è-BCAOö-1÷Bø； 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m´n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=çæErèOOö； ÷Oøm´n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)=r(B) Û AgB； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非0元素必须为1； 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用： r、 若(A , E) g (E , X)，则A可逆，且X=A-1； c、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A-1B，即：(A,B) (E,A-1B)； r、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)g(E,x)，则A可逆，且x=Ab-1； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 2 æl1ç、L=çççèl2Oö÷÷，左乘矩阵A÷÷lnø，li乘A的各行元素；右乘，li乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)-1æç=E(i,j)，例如：1ççè1ö÷÷1÷ø-1æç=1ççè-11ö÷÷1÷ø； 、倍乘某行或某列，符号E(i(k)，且E(i(k)-1æ11ç=E(i)，例如：çkçèkö÷÷1÷øæ1ç=çççè1kö÷÷(k¹0)÷1÷ø； 、倍加某行或某列，符号E(ij(k),且E(ij(k)-15. 矩阵秩的基本性质： 、0£r(Am´n)£min(m,n)； 、r(AT)=r(A)； æ1ç=E(ij(-k)，如：ççè1kö÷÷1÷ø-1æ1ç=ççè1-kö÷(k¹0)÷1÷ø； 、若AgB，则r(A)=r(B)； 、若P、Q可逆，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)； 、max(r(A),r(B)£r(A,B)£r(A)+r(B)； 、r(A+B)£r(A)+r(B)； 、r(AB)£min(r(A),r(B)； 、如果A是m´n矩阵，B是n´s矩阵，且AB 、B的列向量全部是齐次方程组AX、r(A)+r(B)£n =0=0，则： 解； 、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)³r(A)+r(B)-n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵´行矩阵的形式，再采用结合律； æ1ç、型如ç0ç0èa10cö÷b÷1÷ø的矩阵：利用二项展开式； n二项展开式：(a+b)n=Ca+Ca0nn1nn-1b+L+Ca1mnn-mbm+L+Cn-1nab1n-1+Cb=nnnåCm=0mnabmn-m； 注：、(a+b)n展开后有n+1项； =n(n-1)LL(n-m+1)1g2g3gLgmmn、Cnm=n!m!(n-m)!Cmn+1Cn=Cn=1 n0n、组合的性质：C=Cn-mn=Cmn+Cm-1nåCr=0rn=2nrCn=nCn-1rr-1； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ìnï、伴随矩阵的秩：r(A*)=í1ï0îr(A)=n r(A)=n-1r(A)<n-1； 3 、伴随矩阵的特征值：、A*=AA-1、A*=AAl (AX=lX,A=AA Þ AX=*-1*AlX)； n-18. 关于A矩阵秩的描述： 、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0； 、r(A)<n，A中有n阶子式全部为0； 、r(A)³n，A中有n阶子式不为0； 9. 线性方程组：Ax=b，其中A为m´n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程； 10. 线性方程组Ax=b的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： ìa11x1+a12x2+L+a1nxn=b1 ïïax+ax+L+a2nxn=b2 、í211222ïLLLLLLLLLLLïax+ax+L+ax=bm22nmnnîm11æa11ça、ç21çMçèam1a12a22Mam2LLOLa1nöæ÷ça2n÷çM÷ç÷çamnøè； x1öæb1ö÷ç÷x2b2÷=ç÷ÛAx=b÷çMM÷÷ç÷xmøèbmø、(a1a2Læçan)çççèx1ö÷x2÷=bM÷÷xnøæb1çb； 、a1x1+a2x2+L+anxn=b 、有解的充要条件：r(A)=r(A,b)£n 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A：a1,a2,L,am构成n´m矩阵A=(a1,a2,L,am)； ö÷÷÷÷÷øæb1TçTb2TTTm个n维行向量所组成的向量组B：b1,b2,L,bm构成m´n矩阵B=ççMçTçbèm； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 ÛAx=0有、无非零解； ÛAx=b是否有解； 、向量的线性表出 ÛAX=B是否有解； 、向量组的相互线性表示 3. 矩阵Am´n与Bl´n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14) 4. 5. r(AA)=r(A)T；(P101例15) n维向量线性相关的几何意义： Ûa=0； 、a线性相关 、a,b线性相关 Ûa,b坐标成比例或共线； 4 、a,b,g线性相关 Ûa,b,g共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若a1,a2,L,as线性相关，则a1,a2,L,as,as+1必线性相关； 若a1,a2,L,as线性无关，则a1,a2,L,as-1必线性无关； 若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关； 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A能由向量组B线性表示，且A线性无关，则r向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)£r(B)； 向量组A能由向量组B线性表示 ÛAX=B有解； Ûr(A)=r(A,B) £s(二版P74定理7)； 向量组A能由向量组B等价Û r(A)=r(B)=r(A,B) 8. 方阵A可逆Û存在有限个初等矩阵P1,P2,L,Pl，使A=P1P2LPl； 、矩阵行等价：rABÛPA=BcÛAx=0与Bx=0同解 、矩阵列等价：ABÛAQ=B； 、矩阵等价：ABÛPAQ=B； 9. 对于矩阵Am´n与Bl´n： 、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； 、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； 、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； 、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am´sBs´n=Cm´n，则： 、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； 、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵； 11. 齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； 、ABx=0 只有零解Þ Bx=0只有零解； 、Bx=0 有非零解Þ ABx=0一定存在非零解； 12. 设向量组Bn´r:b1,b2,L,br可由向量组An´s:a1,a2,L,as线性表示为： 其中K为s´r，且A线性无关，则B组线性无关Ûr(K)=r； (b1,b2,L,br)=(a1,a2,L,as)K 注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用； 13. 、对矩阵Am´n，存在Qn´m，AQ=Em Ûr(A)=m、Q的列向量线性无关； 、对矩阵Am´n，存在Pn´m，PA=En 14. a1,a2,L,as线性相关 ÛæçÛ(a1,a2,L,as)çççèÛr(A)=n、P的行向量线性无关； 存在一组不全为0的数k1,k2,L,ks，使得k1a1+k2a2+L+ksas=0成立； x1ö÷x2÷=0有非零解，即Ax=0M÷÷xsø有非零解； Ûr(a1,a2,L,as)<s，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设m´n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax16. 若h*为Ax33结论） =b=0的解集S的秩为：r(S)=n-r； 的一个解，x1,x2,L,xn-r为Ax=0的一个基础解系，则h*,x1,x2,L,xn-r线性无关；，性质： 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj=ì1i=jií； î0i¹j(i,j=1,2,Ln)、若A为正交矩阵，则A-1=AT也为正交阵，且A=±1； 、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,L,ar) b1=a1； bb1,a22=a2-b1,b1 1gb LLLbb1,ar,arr=ar-b1,bbb21-bbr-1,ar2-L-1gb2,b2gbr-1,br-1gbr-1; 3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. 、A与B等价 ÛA经过初等变换得到B； ÛPAQ=B，P、Q可逆； Ûr(A)=r(B)，A、B同型； 、A与B合同 ÛCTAC=B，其中可逆； ÛxTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； 、A与B相似 ÛP-1AP=B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CTAC=BÞAgB，；6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7. n元二次型xTAx为正定： ÛA的正惯性指数为n； ÛA与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC=E； ÛA的所有特征值均为正数； ÛA的各阶顺序主子式均大于0； Þaii>0,A>0；(必要条件) 6