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线性代数第三章习题课第三章习题课(常见题型) 一、初等变换及初等矩阵问题 éa11ê1.设A=a21êêëa31a12a22a32a13ùé100ùé001ùê010ú,P=ê010ú,则 a23ú=,P1úêú2êúêêa33úûë201úûë100úû100999PAP= 。 122.设A为n阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则( ) (A)交换A的第1列与第2列得到B (B)交换A的第1行与第2列得到B (C)交换A的第1列与第2列得到-B (D)交换A的第1行与第2行得到-B 3.设A是三阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为( ) *é010ùé010ùé010ùé011ùêúêúêúêú(A)100(B)101(C)100(D)100 êúêúêúêúêêêêë101úûë001úûë011úûë001úûé1-32ùêú,用初等变换方法求A-1。 14. 设矩阵A=-30êúê1-1úë1ûé321ùêú-15.设矩阵A=315,用初等变换方法求A。 êúêë323úû6.下列矩阵中不是初等矩阵的是( ) é001ùé100ùé100ù11éùê0-10ú (C)ê030ú (D)ê010ú (A)ê (B)úêúêúêúë01ûêêêë001úûë501úûë100úûé211ùé100ùêúêú7.矩阵A=311左乘初等矩阵001相当于进行的初等变换。 êúêúêêë010úûë278úû(A)第一行与第二行互换； (B)第二行与第三行互换 (C)第一列与第二列互换 (D) 第二列与第三列互换 8.设n阶方阵A与B等价，则必有 当A=a时，B=a 当A=a时，B=-a 当A¹0时，B=0 当A=0时，B=0 9.设A、B为同阶可逆矩阵，则必有 -1AB=BA 存在可逆阵P，使PAP=B 存在可逆阵P、Q，使PAQ=B 存在可逆阵C，使CAC=B T二.矩阵的秩问题 é2-1310.设A=êùêa1bú，若存在大于1的三阶矩阵B使得AB=O，则 êúë4c6úûAn= 。 é11.设矩阵A=ê1-aa0-aùê-121-1ú，其中a是任意常数，则R(A)为( ) êúë2-aa-2-11-aúû(A)3 (B)2 (C)1 (D)与a的取值有关 12.设n(n³3)阶矩阵 éê1aaLaùa1aLaúA=êêêaa1úLaú êLLLLLúêúëaaaL1úû若矩阵A的秩为n-1，则a必为( ) (A)1 (B)11-n (C)-1 (D)1n-113.设A、B、A*均为n阶非零矩阵，A*为A的伴随矩阵，且AB=O，则r(B)大于1 等于n-1 等于1 无法确定 éê0100ù14.设矩阵A=ê0010úêê0001úú,则A3的秩为 。 ë0000úûéê111ùé11ù15.已知矩阵A=ê01-1ú10úêê23aúê1ú与矩阵B=ê0êa3úú等价,则a的取值 ë351úûê2ëa-151úû范围是 。 ） 16. 求矩阵的秩 é1ê0(1)A=êê1êë22311070002061ùé33ê220úú (2)A=êê303úúê6ûë2-16-10ù4-20úú 6-11úú421ûé123ùé123ùêú17.设A=123,B=ê245ú，则AB的秩是 。 êúêúêêë213úûë358úû18. 若A-4A=5E，其中E是n阶单位矩阵，A是n阶方阵。证明： R(A-5E)+R(A+E)=n 19. 设A是s´n矩阵，B是l´m矩阵，则rê2éAOù=r(A)+r(B)。 úëOBûéACùú³r(A)+r(B)。 OBëû20.设A是s´n矩阵，B是l´m矩阵，C是s´m矩阵，则rê三解方程问题 21.非齐次线性方程组A5´5x=b,当下列( )成立时，则该方程组有无穷多解。 (A)R(A)=5 (B)R(A,b)=5 (C)R(A)=R(A,b)=5 (D)R(A)=R(A,b)=4 ìx1+2x2-x3+3x4=4ï22.设方程组íx1+x2-3x3+5x4=5,则方程组有解的条件是l=( ) ïx2+2x3-2x4=2lî(A)-11 (B) (C)-1 (D)1 2223.不能用于解线性方程组的初等变换是( ) (A)ri«rj (B)ri´k(k¹0) (C)ci+cj (D)ri+krj ìx1+2x2+3x3-x4=1ï24.解方程组í3x1+2x2+x3-x4=1 ï2x+2x+2x-x=1234î1ìx1+x2-2x3+3x4=0ï25.已知线性方程组ï2x1+x2-6x3+4x4=-1讨论参数íï3x1+2x2+px3+7x4=-1ïîx1-x2-6x3-x4=tp,t取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？有无穷解时，求出其通解。
