线性代数.docx

线性代数概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 ìA可逆 ïr(A)=n ïïA的列向量线性无关 ïïA的特征值全不为0 ïAx=o只有零解 Û "x¹o，Ax¹o ï A¹0Ûín"bÎR,Ax=b总有唯一解 ïïATA是正定矩阵 ïïAE ïA=pp×××p p是初等阵12siïïî存在n阶矩阵B,使得AB=E 或 AB=En注：全体n维实向量构成的集合R叫做n维向量空间. ìA不可逆 ïr(A)<n ïïA=0ÛíA的列向量线性相关 ï0是A的特征值 ïïîAx=o有非零解,其基础解系即为A关于l=0的特征向量ìr(aE+bA)<n ï注 aE+bA=oÛí(aE+bA)x=o有非零解 ïl=-a bî向量组等价üï矩阵等价()ï具有®反身性、对称性、传递性 ý¾¾¾矩阵相似(:)ï矩阵合同(:)ïþ 关于e1,e2,×××,en： 称为:n的标准基，:n中的自然基，单位坐标向量p教材87； e1,e2,×××,en线性无关； e1,e2,×××,en=1； trE=n； 任意一个n维向量都可以用e1,e2,×××,en线性表示. 1 a11a12a22Man2LLa1na2nMann=行列式的定义 Dn=a21Man1åj1j2Ljn(-1)t(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn L 行列式的计算： 行列式按行展开定理：行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. AOBAO=AO*B*BAO=A*OBmn若A与B都是方阵,则OOB=ABAB=(-1)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. *a1na2n-1Nan1O=an1Oa2n-1NOa1n=(-1)n(n-1)2关于副对角线：a1na2nKan1 1x11x2x2Mx2n-12LLL1xnxnMxn2范德蒙德行列式：x12Mx1n-1=Õ(x1£j<i£ni-xj) Ln-1æa11ça21ç矩阵的定义 由m´n个数排成的m行n列的表A=çMçèam1æç=çççèA11A12MA1nA21A22MA2nLLLa12a22Mam2LLLa1nö÷a2n÷称为m´n矩阵.记作：A=a(ij)m´n或Am´n M÷÷amnø伴随矩阵 A=(Aij)*TAn1ö÷An2÷，A为A中各个元素的代数余子式. ijM÷÷Annø 逆矩阵的求法: æa注= ： çAèc A-1A*bö÷dø-1æd=çad-bcè-c1-bö主L换位 ÷ 副L变号aø 2 等行变换-1(AME)¾初¾¾¾®(EMA) æa1çççèa2ö÷÷a3÷ø-1æç=çççè1a11a21a3öæ÷ç÷ ç÷ça÷è3øa2a1ö÷÷÷ø-1æç=çççè1a31a21a1ö÷÷ ÷÷ø 方阵的幂的性质：AmAn=Am+n (Am)n=(A)mn 设Am´n,Bn´s,A的列向量为a1,a2,×××,an,B的列向量为b1,b2,×××,bs， æb11çb21çÛ(a1,a2,×××,an)çMçèbn1b12b22Mbn2LLLb1sö÷b2s÷=(c,c,L,c)ÛAb=c ，(i=1,2,L,s)Ûb为12siiiM÷÷bnsø则AB=Cm´sAx=ci的解ÛA(b1,b2,×××,bs)=(Ab1,Ab2,×××,Abs)=(c1,c2,L,cs)Ûc1,c2,L,cs可由a1,a2,×××,an线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示，B为系数矩阵. 同理：C的行向量能由B的行向量线性表示，AT为系数矩阵. æa11ça21ç即： çMçèan1a12a22Man2LLLa1nöæb1÷ça2nb÷ç2M÷çM÷çamnøèbnöæc1öìa11b1+a12b2÷ç÷ïc2ab+a22b2÷=ç÷Ûï211í÷çM÷Lï÷ç÷ïab+abm22øècmøîm11+L+a1nb2=c1+L+a2nb2=c2LL+L+amnb2=cm 用对角矩阵L左乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量； 用对角矩阵L右乘一个矩阵,相当于用L的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. æA 分块矩阵的转置矩阵：çèCæA分块矩阵的逆矩阵：çèæAçèOBöæAT÷=çTDøèBö÷BøCö÷Bø-1TTCö T÷Dø-1-1æA-1=çèæA-1=çèOöæ ç-1÷BøèBACBB-1-1Aö÷øOö÷Bøæ=ç-1èABö÷ øOö÷ Bø-1öæA ÷çèCø-1-1æA=ç-1-1è-BCAæA11分块对角阵相乘：A=çèöæB11,B=÷çA22øèö÷B22øæA11B11AB=çènæA11ön÷,A=çA22B22øèö n÷A22ø 3 æA分块对角阵的伴随矩阵：çèæBA*ö÷=çBøè*öæ ç*÷ABøèBæAö÷=çç(-1)mnBA*øè*(-1)mn*ABö ÷÷ø 矩阵方程的解法(A¹0)：设法化成(I)AX=B 或 (II)XA=B (I)的解法：构造(AMB)¾¾¾¾®(EMX) (II)的解法：将等式两边转置化为AXTTT初等行变换=B，T 用(I)的方法求出X，再转置得X 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关Û对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关p教材114. 向量组a1,a2,×××,an中任一向量ai(1in)都是此向量组的线性组合. 向量组a1,a2,×××,an线性相关Û向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表示. 向量组a1,a2,×××,an线性无关Û向量组中每一个向量ai都不能由其余n-1个向量线性表示. m维列向量组a1,a2,×××,an线性相关Ûr(A)<n； m维列向量组a1,a2,×××,an线性无关Ûr(A)=n. 若a1,a2,×××,an线性无关，而a1,a2,×××,an,b线性相关,则b可由a1,a2,×××,an线性表示,且表示法唯一. 矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系； 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 4 对A施行一次初等行变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵左乘A； 对A施行一次初等列变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵右乘A. 矩阵的秩 如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r+1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r.记作r(A)=r 向量组的秩 向量组a1,a2,L,an的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作r(a1,a2,L,an) 矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A=%B 向量组等价 a1,a2,×××,an和b1,b2,×××,bn可以相互线性表示. 记作：(a1,a2,×××,an)=%(b1,b2,×××,bn) 矩阵A与B等价ÛPAQ=B，P,Q可逆Ûr(A)=r(B),A,B为同型矩阵¹>A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价. 矩阵A与B作为向量组等价Ûr(a1,a2,×××,an)=r(b1,b2,×××,bn)=r(a1,a2,×××an,b1,b2,×××,bn)Þ 矩阵A与B等价. 向量组b1,b2,×××,bs可由向量组a1,a2,×××,an线性表示ÛAX=B有解Ûr(a1,a2,×××,an)=r(a1,a2,×××an,b1,b2,×××,bs)Þr(b1,b2,×××,bs)r(a1,a2,×××,an). 向量组b1,b2,×××,bs可由向量组a1,a2,×××,an线性表示,且s>n，则b1,b2,×××,bs线性相关. 向量组b1,b2,×××,bs线性无关,且可由a1,a2,×××,an线性表示,则sn. 向量组b1,b2,×××,bs可由向量组a1,a2,×××,an线性表示,且r(b1,b2,×××,bs)=r(a1,a2,×××,an),则两向量组等价；p教材94,例10 任一向量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定. 若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等. 设A是m´n矩阵,若r(A)=m，A的行向量线性无关； 若r(A)=n，A的列向量线性无关,即：a1,a2,×××,an线性无关. 矩阵的秩的性质： 若A¹OÛr(A)1 若A=OÛr(A)=0 0r(Am´n)min(m,n) 5 r(A)=r(AT)=r(ATA) p教材101,例15 r(kA)=r(A) 若k¹0 ìr(A)+r(B)£n îB的列向量全部是Ax=0的解 若Am´n,Bn´s,若r(AB)=0Þí r(AB)minr(A),r(B) 若A可逆Þr(AB)=r(B)若B可逆Þr(AB)=r(A) 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. ìÛïï若r(Am´n)=níïÞïîAx=o 只有零解ìr(AB)=r(B) ； ïìAB=OÞB=OíA在矩阵乘法中有左消去律íïîAB=ACÞB=Cîìr(AB)=r(B) 若r(Bn´s)=nÞí B在矩阵乘法中有右消去律.î若r(A)=rÞA与唯一的çæErèOOöæEr等价，称÷çOøèOOö÷为矩阵A的等价标准型. Oør(A±B)r(A)+r(B) maxr(A),r(B)r(A,B)r(A)+r(B) p教材70 æArçèOOöæO÷=çBøèBAöæA÷=r(A)+r(B) rçOøèOCö÷¹r(A)+r(B) Bø 初等矩阵的性质： E(i,j)=-1 E(i,j)=E(i,j) TEi(k)=k Ei(k)=Ei(k) Ei(k)-1Ei,j(k)=1 Ei,j(k)=Ej,i(k) Ei,j(k)-1TTE(i,j)-1=E(i,j) =Ei(1) k=Ei,j(-k) E(i,j)=-E(i,j) *Ei(k)=kEi(1) k*Ei,j(k)=Ei,j(-k) *mm-1mm-1+L+a1x+a0，对n阶矩阵A规定：f(A)=amA+am-1A+L+a1A+a0E为A的 设f(x)=amx+am-1x一个多项式. 6 ìkAïaA+bEïïATï l是A的特征值,则:íA-1ï*AïïA2ïmAîkl al+b l 分别有特征值1lA. =2ml1l2Ll3lll l ìkAïïaA+bE-1ïïA x是A关于l的特征向量,则x也是í*ïAïA2ïmAïîkl al+b 1关于lA =2ml1l2Ll3l的特征向量. ll l A2,Am的特征向量不一定是A的特征向量. A与AT有相同的特征值，但特征向量不一定相同. A与B相似 PA与B正交相似 P-1AP=B 记为：A:B AP=B -1A可以相似对角化 A与对角阵L相似. 记为：A:L A可相似对角化Ûn-r(liE-A)=ki ki为li的重数ÛA恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成的矩阵，P-1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.设ai为对应于li的线性无关的特征向量,则有： æl1çA(a1,a2,L,an)=(Aa1,Aa2,L,Aan)=(l1a1,l2a2,L,lnan)=(a1,a2,L,an)ççç14424431442443èPPl2Oö÷÷. ÷÷lnø144424443L注：当l=0为A的重的特征值时，A可相似对角化Ûl的重数=n-r(A)= Ax=o基础解系的个数. ii 7 若n阶矩阵A有n个互异的特征值ÞA可相似对角化. 若A可相似对角化,则其非零特征值的个数=r(A). æg(l1)ç=Pçççèö÷÷P-1 ÷÷g(ln)ø 若A:LÞA=PLP，g(A)=Pg(L)Pkk-1-1g(l2)O 相似矩阵的性质： lE-A=lE-B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同. -1注x是A关于l的特征向量,Px是B关于l的特征向量. 00trA=trB A=B 从而A,B同时可逆或不可逆 r(A)=r(B) AT:BT；A-1:B-1 ；A*:B* Ak:Bk ；f(A):f(B)，f(A)=f(B) æAA:B,C:DÞçèöæB÷:çCøèö÷ Dø注前四个都是必要条件. 数量矩阵只与自己相似. 实对称矩阵的性质： 特征值全是实数,特征向量是实向量； 不同特征值对应的特征向量必定正交； 注：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量. 若A有重的特征值,该特征值li的重数=n-r(liE-A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 8 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似Û有相同的特征值. 正交矩阵 AAT=E A为正交矩阵ÛA的n个行向量构成:n的一组标准正交基. 正交矩阵的性质： AT=A-1； AAT=ATA=E； 正交阵的行列式等于1或-1； A是正交阵,则AT，A-1也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； A的行向量都是单位正交向量组. nnijT二次型 f(x1,x2,L,xn)=xAx=Tååai=1j=1xixj aij=aji，即A为对称矩阵，x=(x1,x2,L,xn) TA与B合同 CAC=B. 记作：A:B 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r-p 符号差 2p-r (r为二次型的秩) 两个矩阵合同Û它们有相同的正负惯性指数Û他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵合同的充分条件是：A:B 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)=r(B) 正交变换 n f(x1,x2,L,xn)=xAx经过合同变换可逆线性变换Tx=Cy化为f=åd1iyi标准形. 2 二次型的标准形不是唯一的,与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由r(A)正惯性指数+负惯性指数 唯一确定的. 当标准形中的系数di为-1或0或1时,称为二次型的规范形 . 实对称矩阵的正惯性指数等于它的正特征值的个数. 9 æ1ççççç 惯性定理：任一实对称矩阵A与唯一对角阵çççççççèO1-1O-10Oö÷÷÷÷÷÷合同. ÷÷÷÷÷÷0ø 用正交变换化二次型为标准形: 求出A的特征值、特征向量； 对n个特征向量正交规范化； 构造Cæd1ççççè,作öæ÷ç÷ç÷ç÷çdnøè变换x=Cy,则æçTTT-1T(Cy)A(Cy)=yCACY=yCACY=çççèd2Oy1ö÷y2÷新的二次型为f=M÷÷ynønåd1i2yi,L的主对角上的元素di即为A的特征值. 施密特正交规范化 a1,a2,a3线性无关, ìb1=a1ïïï(a,b) 正交化íb2=a2-21b1 (b,b)11ïï(a3,b1)(a3,b2)b=a-b-b2ï331(b1,b1)(b2,b2)î 单位化：h1=b1b1 h2=b2b2 h3=b3b3 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第二个解向量代入方æ-1öæ1öç÷ç÷程，确定其自由变量. 例如：x1+x2-x3=0取b1=ç 1÷，b2=ç1÷. ç 0÷ç2÷èøèø正定二次型 x1,x2,L,xn不全为零，f(x1,x2,L,xn)>0. 10 正定矩阵 正定二次型对应的矩阵. f(x)=xTAx为正定二次型Û： "x¹o ，xTAx>0； A的特征值全大于0； f的正惯性指数为n； A的所有顺序主子式全大于0； A与E合同，即存在可逆矩阵C使得CTAC=E； 存在可逆矩阵P，使得A=PTP； ælöç1 存在正交矩阵C，使得CTAC=C-1AC=çl÷2÷ççO÷l÷ènø 合同变换不改变二次型的正定性. A为正定矩阵Þaii>0 ； A>0. A为正定矩阵ÞAT,A-1,A*也是正定矩阵. A与B合同，若A为正定矩阵ÞB为正定矩阵 A,B为正定矩阵ÞA+B为正定矩阵，但AB,BA不一定为正定矩阵. 11 li大于0）. （