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精品 导数的概念及运算导数的概念及运算 一、重点难点分析： 1导数的定义、意义与性质： 函数的导数：对于函数f(x)，当自变量x在x0处有增量x，则函数y相应地有改变量y=f(x0+x)-f(x0)，这两个增量的比 叫做函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，即 。如果当x0时， 有极限，我们说函数在x0处可导，即 并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数。记作f'(x0)或 。 导函数：如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处可导，这时，对于开区间(a,b)内的每一个值x0，都对应着一个确定的导数f'(x0)，这样就在开区间(a,b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在区间内的导函数，记作f'(x)或y'，即 。 可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续。 导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即 。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f'(x0)，切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)。 2求导数的方法： 求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： 求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0) 求平均变化率 取极限，得导数 。 几种常见函数的导数公式： C'=0(C为常数)； (xn)'=nxn-1 (nQ)； (sinx)'=cosx； (cosx)'=-sinx； (ex)'=ex； (ax)'=axlna ； 导数的四则运算法则： (u±v)'=u'±v' (uv)'=u'v+uv' 复合函数的导数 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 说明： 1函数的导数实质是一个极限问题，不应理解为平均变化率，而是平均变化率的极限。 2求函数的导数要熟练掌握求导公式，特别是复合函数的导数要学会合理地分析 3搞清导数的几何意义，为解决实际问题，如切线，加速度等问题打下理论基础。 二、典型例题： 例1求下列函数的导数 y=(2x-3)5 y=sin32x 解析： 设u=2x-3，则y=(2x-3)5分解为y=u5，u=2x-3 由复合函数的求导法则得： y'=f'(u)u'(x)=(u5)'(2x-3)'=5u4·2=10u410(2x-3) 4 设u=3-x，则 可分解为 ， 。 y'=3(sin2x)2·(sin2x)'=3sin22xcos2x(2x)'=6·sin22x·cos2x 例2已知曲线 点切线方程。 ，问曲线上哪一点处切线与直线y=-2x+3垂直，并写出这一 解析： ，令 ，即 ， 得x=4，代入 ，得y=5， 曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直，切线方程为 x-2y+6=0。 ，即 例3已知曲线C：y=3x4-2x3-9x2+4。 求曲线C上横坐标为1的点的切线方程； 第小题中切线与曲线C是否还有其它公共点。 解析：把x=1代入C的方程，求得y=-4， 切点为(1,-4)，y'=12x3-6x2-18x 切线斜率为k=12-6-18=-12， 切线方程为y=-12x+8。 由 得3x-2x-9x+12x-4=0，即(x-1)2(x+2)(3x-2)=0， 432。 公共点为(1,-4)， ，除切点外，还有两个交点 。 评析：举例说明曲线与直线相切并不说明只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。 *例4设 ，求f'(x)。 解析：当x>0时， ，当x<0时， ， 由于x=0是该函数的分界点，由导数定义知 由于f'+(0)=f'-(0)=1，故有f'(0)=1于是： ， 即： 。 例5已知使函数 的导数为0的x值也使y值为0，求常数a。 解析：y'=3x+2ax，令y'=0，得x=0或 2，由题设x=0时，y'=y=0，此时 ，a=0；当 时也解出a=0。 三、阶段分析 第一阶梯 例1设函数在点x0处可导，试求下列各极限的值。 思路分析：在导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不论x选择哪种形式，y也必须选择相应的形式，利用函数化为导数定义的结构形式。 在点x0处可导的条件，可以将已给定的极限恒等形转 解答： 例21、求函数在x=1处的导数； 2、求函数y=x+ax+b(a、b为常数)的导数。 2 思路分析:根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法。确定函数处的导数有两种方法：应用导数定义法和导函数的函数值法。 在x=x0 解答： 2.y=(x+x)+a(x+x)+b-(x+ax+b) 22 =2x·x+(x)+a·x=(2x+a)·x+(x) 22 例3求下列函数的导数： 1、y=x; 12 思路分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整，函数 和分别改写成和的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导。 解答 第二阶梯 例4证明：若函数 在点x0处可导，则函数在点x0处连续。 思路分析:从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明续，必须证明 。由于函数在点x0处连在点x0处可导，因此，根据函数在点x0处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式(变为导数定义形式)的转化。 解法： 函数在点x0处连续。 例5求曲线y=2x-1的斜率等于4的切线方程。 2 思路分析：导数反映了函数在某点处的变化率。它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率。由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线眩确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程。 解答 设切点为P(x,y0)则 0 y´=(2x-1)´=4x,y´|2=4,即4x=4,x=1 x=x000 当x=1时，y=1，故切点P的坐标为(1,1)。 00 所求切线方程为y-1=4(x-1) 即4x-y-3=0. 例6求过曲线y-cosx上点 且与过这点的切线垂直的直线方程。 思路分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处的切线斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程。 解答 y=cosx, y´=-sinx. 第三阶梯 例7设曲线 和曲线在它们的交点处的两切线的夹角为，求tan的值。 思路分析:要求两切线的夹角，关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率，根据导数的几何意义，只需先求出两曲线在交点处的导数，再应用两直线夹角公式求出夹角即可。 解答: 设两条曲线在交点处的切线斜率分别为k1,k2,则由两直线夹角公式 例8求下列函数的微分 (1)y=sinx-xcosx 解答: (1)y´=cosx-cosx+xsinx=xsinx dy=xsinx·dx 说明：求函数的微分利用导数来进行，因为求导数是求微分的基础，应熟练准确求解。 例9求函数在x由1变为1.01时的改变量y与dy 解答 反馈:易发现，当x0时，即函数在一点处的微分是函数增量的线性近似值ydy，这是微分的应用用于近似计算。 四、检测题 1、下列结论正确的是( ) A、若y=sinx，则y´=cosx B、若y=cosx，则y´=sinx 2、下列结论不正确的是( ) A、若y=3，则y´=0 D、若y=3x,则y´|x=1=3 A、19/3 B、16/3 C、13/3 D、10/3 4、y=x3在点P(2,8)处的切线方程是( ) A、12x+y-16=0 B、12x-y-16=0 C、12x-y+16=0 D 5、在导数定义中，自变量的增量x ( ) A.x >0 B.x <0 C.x =0 D.x 0 6、已知曲线y=2x3上一点A(1,2)，则A处的切线的斜率为( ) A、6 B、4 C、6+x +2(x )2 D、2 、12x+y+16=0 7、设y=3x-5,x=2,dx=0.1,则有 A.y=1.2, dy=1.2 B.y=1.23,dy=1.2 C.y=1.2,dy=1.23 D.y=1.23,dy=1.23 2 8、某物体运动时，其路程S与时间t的函数关系为S=2(1-t),则它在t=1.2秒时的瞬时速度为。 2 10、常函数y=c导数为零的几何意义是_。 11、在曲线 上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135º。 答案： 1、A 2、B 3、D 4、B 5、D 6、A 7、B8、0.8m/s . 10、曲线y=c在任何点处的切线平行于x轴 11、提示：设切点P，则y´=-8x,y´|x=x0=-8x0=tan135º=-1，解得x0=2,代入曲线方程得y0=1,所求点坐标为P -3-3 五、能力训练 1已知函数 ，且f'(1)=2，则a的值为_。 2设f(x)=xlnx，则f'(2)=_。 3给出下列命题： ； (tanx)'=sec2x 函数y=|x-1|在x=1处可导； 函数y=|x-1|在x=1处连续。 其中正确的命题有：_。 4函数y=cosx在点 处的切线方程为_。 5已知函数f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e为偶函数，它的图象过点A(0,-1)，且在x=1处的切线方程为2x+y-2=0，求函数y=f(x)的表达式。 参考答案： 1. 2 2. 3. ， 4. 5解： f(x)是偶函数，f(-x)=f(x)， b=d=0，f(x)=ax4+cx2+e， 又 图象过点A(0，-1)， e=-1， f(x)=ax4+cx2-1，f'(x)=4ax3+2cx， 当x=1时，f'(1)=4a+2c=-2. 对于2x+y-2=0，当x=1时，y=0。 点(1,0)在f(x)图象上，a+c-1=0. 由，解出a=-2，c=3， 因此f(x)=-2x4+3x2-1。 测试 选择题 1设函数f(x)在x0处可导，则 等于。 A、f'(x0) B、f'(-x0) C、-f'(x0) D、-f(-x0) 2设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是。 A、(1)(2) B、(1)(3) C、(2)(3) D、(1)(2)(3)(4) 3曲线 在点处的切线方程是。 A、 B、 C、x-2y+1=0 D、x+2y+1=0 4y=x在点P处的切线方程是。 3 A、12x+y-16=0 B、12x-y-16=0 C、12x-y+16=0 D、12x+y+16=0 5y=sinx(cosx+1)的导数是。 A、cos2x-cosx B、cos2x+sinx C、cos2x+cosx D、 6曲线y=x-3x上切线平行于x轴的点的坐标是。 3 A、(-1，2) B、(1，-2) C、(1，2 ) D、(-1，2) 或(1，-2) 7 的导数是。 A、 B、 C、 D、 8已知函数 且f'(1)= ，则正实数a的值为。 A、a=4 B、a=2 C、 D、a>0 9设f(x)=esinx，则f'()为 A、1 B、-1 C、 D、- 22 10设y=f(e)可导，则y'等于。 -x A、f'(e) B、ef'(e) C、-ef'(e) D、-f'(e) -x-x-x-x-x-x答案与解析 答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. A 9. B 10. C 解析：略。 专题辅导 例谈导数在解高考试题中的应用 导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着独特的作用。本文将依托近几年的高考试题，例谈导数在解高考试题中的应用。 一、导数在解高考选择题中的应用 例1如果圆柱轴截面的周长l为定值，那么体积的最大值为。 A、 B、 C、 D、 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r+2h=l, ， V'=lr-6r, 令V'=0，得r=0或 2，而r>0, 是其唯一的极值点。当 时，V取得最大值，最大值为 。 应选A。 例2已知函数y=loga(2-ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围为 A、 B、 C、 D、2，+） 解： ，由题意可知：y'<0在x0,1上恒成立， ，在x0,1上恒成立。 又a>0， ，即 ，或 在0，1上恒成立。 当 时，由logae>0得a>1. 由2-ax>0得： 在0，1上恒成立，而 在0，1上的最小值为2，所以只需a<2。 由上讨论可知1<a<2。 注：作为选择题即可选出答案B，可以用同样的方法得出另外一种情况不成立。 例3母线长为1的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角等于。 A、 B、 C、 D、 解：设母线与底面夹角为，则底面半径r=cos，h=sin， , , , 令V'=0, 得 ，而 ， ，而它是唯一的极值点。 当 时，V取得最大值， 此时 ，此时侧面展开图圆心角 ，应选D。 评：上述几个选择题是当年高考中难度最大，得分率最低的选择题，但用导数求解，可以大大降低试题的难度。 二、导数在解高考解答题中的应用 例1根据函数单调性的定义，证明：f(x)=-x+1在上为减函数。 3 分析：如果去掉证明的要求，本题就成为一个“口答题”即f'(x)=-3x2 在上为减函数。 0, f(x)=-x3+1 例2甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小时，已知：汽车每小时的运输成本由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。 把全程运输成本y表示为速度v的函数，并指出这个函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 解： 。 ，令y'=0，得 。 当 时， 是该函数唯一的极值点。 当 时，y取得最小值，即全程的运输成本最小。 当 时，而v(0,c，所以 ，此时y'<0， 在v(0,c为减函数， 当v=c时全程运输成本最低。 综上所述，当 成本最低。 时， 全程的运输成本最小；当 时，v=c全程运输 例3设 函数。 ，求a的值使得f(x)为单调 解： 恒成立。 ，要使f(x)在R上为单调函数，需使f'(x)>0或f'(x)<0在R上 当f'(x)>0时，即 在R上恒成立， 而当x时， ，所以这样的a不存在。 当f'(x)<0时，即 可。 在R上恒成立，而 ，所以只需a1即 当a1时，f(x)为减函数。 由上讨论可知，当a>1时f(x)为单调函数。 例4设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm，画面的宽与高的比为(<1)，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能2使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求 张最小？ ，那么为何值时，能使宣传画所用的纸 解：设画面的高为xcm, 宽为xcm，则 。 所以纸张的面积为S=(x+16)(x+10)=x+(16+10)x+160。 2 将 代入上式得： 。 值点。 ，令y'=0得 ，它是唯一的极 当 最小。 时，S取得最小值，即当高为88cm，宽为 时，能使宣传画所用的纸张 当 函数。 时，y'>0，所以 ，在 时为增 当 时，能使宣传画所用的纸张面积最小。 三、反思 以前我们研究函数的单调性时，时常要用到复合函数的单调性的判断，而这种方法不是教材中所要求的；在研究函数最值时，老师往往总结出许许多多的方法，学习起来非常困难.从以上例题和分析 ，我们不难看出，导数在解决函数问题时，有以下显著的优点：变“巧法”为“通法”；方法程序化，利于掌握；避开初等变形的难点.因此，我们在高三学习中，要有意识地用导数法思考问题，培养用导数法解决问题的能力。