等差数列的概念教案.docx

等差数列的概念教案等差数列的概念 1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念 2. 逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题 3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想 等差数列的概念及其通项公式 等差数列通项公式的灵活运用 本节课主要采用自主探究式教学方法充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的 环节 教学内容 问题 某工厂的仓库里堆师生互动 教师出示引例，并设计意图 希望学生能通过对日常生活中的实际学生探究、解答 问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程 1 放一批钢管，共堆放了7层，试从上导 入 到下列出每层钢管的数量 从上例中，我们得到一个师：请同学们仔细由特殊到 数列，每层钢管数为 新 课 4，5，6，7，8，9，10. 1等差数列的定义 观察，看看这个数列有一般，发挥学生什么特点？ 的自主性，培养学生观察、回答 学生的归纳能教师总结特征： 从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数 我们给具有这种 第二项起，每一项与它前一项 的差等于同一个常数，这个数特征的数列一个名字 列就叫做等差数列，这个常数等差数列 就叫做等差数列的公差 练习一 教师板书定义 师：等差数列的例用 子，在生活中有很多，教师出示题目 学生思考、抢答 师：你能说出练习抢答：下列数列是否为等谁能再举几个？ 差数列？ 1，2，4，6，8，10，12，； 0，1，2，3，4，5，6，； 3，3，3，3，3，3，3，； 2，4，7，11，16，； 一中，各等差数列的公8，6，4，0，2，4，； 差吗？ 3，0，3，6，9， 学生说出各题的注意：求公差d一定要用公差d 教师订正并强调求公差应注意的问题 2 后项减前项，而不能用前项减 后项 新 2常数列 特别地，数列 3，3，3，3，3，3，3， 引导学生观察、归纳、猜课 也是等差数列，它的公差为 0公差为0的数列叫做常数 列 3等差数列的通项公式 首项是a1，公差是d的等师：已知一个等差想，培养学生合 差数列an的通项公式可以表数列an的首项是a1，理的推理能力 示为 4通项公式的应用 根据这个通项公式，只要公差是d，如何求出它学生在分组合作探究过ana1(n1)d 的任意项an呢？ 学生分组探究，填程中，可能会找空，归纳总结通项公式 到多种不同的a2a1 + d， 解决办法，教师a3= + d = 要逐一点评，并+ d = a1 + d， 及时肯定、赞扬学生善于动脑、a4= + d = 勇于创新的品+ d 质，激发学生的= a1 + d， 创造意识 an = a1 + d 师：一个等差数列的各项，已知 和 就 已知首项a1和公差d，便可求 得等差数列的任意项an 事实上，等差数列的通项可以确定下来？ 师：等差数列的通3 公式中共有四个变量，知道其 中三个，便可求出第四个 项公式中共有几个变 鼓励学生自主解答，培养学生运算能力 通过例题，例1 求等差数列8，5，量？ 教师引导学生分析本题，已知什么？求 2，的通项公式和第20项 解 因为a1= 8，d = 5 8=3，所以这个数列的通项公 式是 an = 8+(n-1)×(-3)， 即an = 3n + 11所以 a20 = 3×20 + 11 = -49. 什么？怎么求？ 学生思考、说出已例2 等差数列5，9，知、所求，代入通项公 13，的第多少项是401？ 式 新 课 解 因为a1= 5，而且 强调：通项公式是用含有n 的式子表示 d = 9(5)=4， an = 401， an 所以 学生尝试解答后，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化 401= 5+ (n1)×(师生共同板书解题过 4) 解得 n=100 程 仿照例1，教师引学生学以致用的意识 教师强调解题过程要规范、严谨 4 即这个数列的第100项是导、点拨 学生解答 多媒体出示解题过程 学生核对、订正 401 练习二 求等差数列3，7， 11，的第4，7，10项 求等差数列10，8， 6，的第20项 练习三 教师巡视指导 师生共同订正 由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力 教师出示例题 学生同桌之间合在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运在等差数列an中： 学生练习 1 d = ，a7 = 8，求请学生在黑板上3 a1； 做题 a1 = 12，a6 = 27，求 d 例3 在3与7之间插入 一个数A，使3，A，7成等差 数列，求A 解 因为3，A，7成等差 数列，所以 A3 = 7A，2A = 3 + 7 解得A=5 5等差中项的定义 一般地，如果a，A，b 成作探究 学生分析解题思 等差数列，那么A 叫做a与b路 新 的等差中项 课 教师出示答案，订用 正 师：在a与b 之间6等差中项公式 如果A 是a与b的等差中插入一个数A，使a，A，项，则 b 成等差数列你能用A = a + b a，b 来表示A 吗？ 引导学生2这就表明，两个数的等差学生探究、回答 观察、归纳、猜5 中项就是它们的算术平均数 7一个结论 在等差数列a1，a2，a3，教师订正学生的想，培养学生合回答，给出等差中项的理的推理能力 定义和公式 师：你能用文字描述一下这个式子的含通过两道直接套用公式的练习题，强化学生对中项公式的掌握 学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的an，中， a2 = ， 2a2 + a4a3 = ， 2a1 + a3义吗？ 师：在等差数列1，3，5，7，9，11，13，中，每相邻的三项，满足等差中项的关系 an = an1 + an+12 ， 这就是说，在一个等差数吗？ 列中，从第2项起，每一项都是究，得出结论 它的前一项与后一项的等差中项 练习四 求下列各组数的等差中项： 732与136； 49 与42 2 师：能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？ 学生继续分组合作探究 教师总结学生的回答，给出结论 例4 已知一个等差数列 的第3项是5，第8项是20， 求它的第25项 6 新 所以 解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生做练习 学生回答各题结学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识 教师出示例题 学生分组合作探教师点拨、引导： 例题给出了鼓励学生自主解答，培养学生运算能力 通过例题，教师总结学生思强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识 a25 = 1+(251)×3 = 71. 强调：已知首项a1和公差 课 d，便可求得等差数列的任意项 an 练习五 已知等差数列an 中，a1 = 3，an = 21，d = 2，求n 已知等差数列an 果，统一订正答案 中，a4 = 10，a5 = 6，求a8 和d 究 例5 梯子的最高一级是33 cm，最低一级是89 cm，中间还有7级，各级的宽度成哪些量？如何用数列等差数列，求中间各级的宽度 符号表示？ 解 用an 表示题中的等例题中的所求差数列已知a1= 33，an = 89，量是什么？需要知道n = 9， 则a9 = 33+(91)d ，即 89 = 33 + 8d， 解得d = 7 于是 哪些条件？ 路，给出解题过程 7 a2 = 33 + 7 = 40， a3 = 40 + 7 = 47， a4 = 47 + 7 = 54， 新 课 a5 = 54 + 7 = 61， a6 = 61 + 7 = 68， a7 = 68 + 7 = 75， a8 = 75 + 7 = 82 学生自主练习 教师巡视指导 请个别学生在黑教师出示例题 引导学生将题中在例题的教学中，教师要学生解答 教师巡视指导 注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法；在解决问题中，将新教师出示解题过的知识内化到即梯子中间各级的宽从上板上做题后，师生共同到下依次是40 cm，47 cm，54 订正 cm，61 cm，68 cm，75 cm，82 cm 例6 已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数的已知和未知转化为列求证：它们的比是34用数列符号表示 5 证明 设这个直角三角形的三边长分别为 ad，a，a+d 根据勾股定理，得 (ad)2 + a2 =(a+d)2 解得a = 4d 于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是345 程，强调解题步骤要规学生原有的认范、严谨，叙述要简明、知结构中去 完整 8 1等差数列的定义及通项公式 学生阅读课本教师鼓励P9P12，畅谈本节课学生积极回答，答不完整没有2. 等差中项的定义和公的收获 小 式 结 教师引导梳理，总关系，其它同学3等差数列通项公式和中结本节课的知识点和补充以此培养项公式的应用 解题方法 学生的口头表达能力，归纳概括能力 作 教材P17，习题第1，2，6业 题 学生课后完成 巩固拓展 9