第四章函数的连续性期末考题.docx

第四章函数的连续性期末考题1. 求函数f(x)=(x-1)sinxx(x-1)2的间断点，并指出其类型。 12. 若f(x)=1-2ex1,则x=0是f(x)的 1+ex可去间断点； B跳跃间断点； C无穷间断点； D连续点 ìln(1+2x)ï, x¹0 3. 设f(x)=í在x=0处连续，a2 。 xïa, x=0î4. 设f(x)在任意的闭区间a,b上连续，则下述结论正确的是( ) A、f(x)在(-¥,¥)上连续, B、f(x)在(-¥,¥)上一致连续, C、f(x)在(-¥,¥)上有界, D、f(x)在(-¥,¥)上无界。 5. f在x0连续Û"xn(¹x0)®x0, (n®¥)，有：limf(xn)= f(x0) ； n®¥f在x0连续Ûlim+f(x)与lim-f(x)都等于 f(x0) ； x®x0x®x0f在x0点间断的三种情况： 。 6. 方程x3+2x2-4x-1=0在(-¥,+¥)内有 。 、没有根； 、只有一个根； 、有二个根； 、有三个根。 7. 设f在(-¥,+¥)连续，且limf=b，则f在(-¥,+¥)有界。 x®¥证明：Qlimf=b，对e=1，$A0>0，当x>A0时，有：f(x)-b<1 x®¥所以，f(x)-b£f(x)-b<1，所以，f(x)<b+1 (1) 因为，f在-A0,A0上连续，所以，f在-A0,A0上有界， 即$M0>0，当x£A0时，f(x)£M0。 (2) 由(1)、(2)知，当xÎ(-¥,+¥)时，f(x)£maxb+1,M0=M， 故f在(-¥,+¥)有界。证毕 8. 设f在a,b上连续，且f(a,b)Ìa,b，证明：$x0Îa,b，使；f(x0)=x0。 证明：令F(x)=f(x)-x，QF(a)=f(a)-a³0，F(b)=f(b)-b£0 如f(a)-a=0，或f(b)-b=0，则取x0=a或b即可。 如F(a)=f(a)-a>0，F(b)=f(b)-b<0，Qf在a,b上连续，由零点定理知$x0Î(a,b)，使；f(x0)=x0。 综上所述，$x0Îa,b，使；f(x0)=x0。证毕