第七章无穷级数.docx

第七章 无穷级数第七章 无穷级数 本章有四个问题： 1 数项级数敛散性； 2 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域； 3 求和函数； 4 将函数展成麦克老林级数。 7.1数项级数敛散性的判别方法 一 基本概念 1. 级数收敛：令sn=u1+u2+L+un=若不然，则称åuk=1nk，若limsn=s，则称级数n®¥åun=1¥n收敛， åun=1¥n发散； 2绝对收敛：若3. 条件收敛：若åu¥n收敛，则称¥åun=1n=1¥åun=1¥n为绝对收敛； n发散，而åun=1n收敛，则称åun=1¥n为条件收敛； 二 基本结论 1级数åun=1¥¥n收敛的必要条件limun=0。 n®¥2. 等比级数3. p级数åaqn=1¥n的公比的绝对值小于1时，级数收敛，其和等于1减公比分之首项。 1，当p>1时，收敛；当p£1时，发散。 åpn=1n三 基本方法 1正项级数敛散性的判别方法 比较判别法： 一般形式：若un£vn，则 若åvn=1¥n收敛，则åun=1¥n收敛；若åun=1¥n发散，则åvn=1¥n 发散。 极限形式：如果vn¹0，且 lim当0<l<¥时，则¥un=l， n®¥vnnåun=1n¥和åvn=1¥n=1¥n具有相同的敛散性。 也收敛。 也发散。 当l=0时，则åvn=1¥收敛，åu¥n当l=¥时，则åun=1n发散，åvn=1n 1 比值判别法： limun+1n®¥unìr<1收敛ï=ír>1发散 ïr=1不确定î根值判别法： ìr<1收敛ïlimnun=ír>1发散 n®¥ïr=1不确定în注 Pm(n)=1。例如 m(n)是关于n的m次多项式，m是有限数，则limPn®¥limnn3-2n2+5n-7=1。 n®¥ 积分判别法：若f(x)是单调递减连续函数，f(n)=un，则具有相同的敛散性。 åun=1¥n与ò+¥1f(x)dx2 交错级数敛散性的判别方法： 莱布尼兹判别法：若交错级数å(-1)unn=1¥n(un>0)满足 n®¥单调递减，即un+1£un；极限为零，即limun+1=0， 则级数å(-1)unn=1¥n收敛。 3 任意项级数敛散性的判别方法 1考虑级数2若¥åun=1¥n是否收敛，若收敛，则åun=1¥n是绝对收敛。 åun=1¥¥n不收敛，把级数åun=1¥n¢+un¢¢，分别讨论级数 的一般项分解为un=unåu¢ 和 åu¢¢的敛散性。 nnn=1n=1例1 讨论下列正项级数的敛散性： ¥2nn!xnån； å2sinn； 3n=1n=1n¥ænöå(1-cos)； åç； ÷nn=1n=1è2n+1ø¥æ¥1ölnnå2； åç1+-1÷； çn÷n=1èn=1nø¥p¥nå(en=1¥1n+e-1n-2)； å(n-1)。 n=1¥1n解利用比值判别法 2 2un+12n+1(n+1)!nnnn=<1， lim=lim×=2limnnn®¥un®¥(n+1)n+1n®¥e2n!(n+1)n2nn!所以级数ån收敛 n=1n¥利用比较判别法：不妨设x>0，利用等价无穷小替换，可知 ¥xnnx与具有相同的敛散性，而2sin2åånn33n=1n=1¥xn收敛。 2sinån3n=1¥¥¥æ2önx2=xååç÷收敛，所以n3n=1n=1è3ø¥n 利用比较判别法：利用等价无穷小替换，¥1p性，而å2收敛，所以å(1-cos)收敛。 nn=1nn=1¥1与具有相同的敛散(1-cos)åå2nn=1n=1np¥¥1ænön根据根值判别法：因为limun=<1，所以åç收敛。 ÷n®¥2n=1è2n+1ø¥¥lnn111根据比较判别法：考虑级数å3/2，由于lim2/3/2=0，而å3/2收敛，n®¥nnn=1nn=1n¥lnn所以å2收敛。 n=1n¥æ1ö1根据积分判别法：利用等价无穷小替换，åç1+-1÷和å具有相同的敛çn÷n=1èøn=1n¥æ¥1ö1散性，而å发散，所以åç1+-1÷发散。 çn÷n=1èn=1nø¥n由于 所以å(en=1¥1n+e-1nex+e-x-2ex-e-xlim=lim=1； x®0x®0x22x11¥¥-1-2)与å2具有相同的敛散性，显然å(en+en-2)收敛。 n=1nn=11nlnnn由于n-1=e¥-1，以及e-1»x，于是级数å(n-1)和åx¥1nn=1lnn具有相同n=1n¥¥lnn的敛散性，而å发散，所以å(n-1)发散。 nn=1n=11n 通过对上述级数收敛性的讨论，把正项级数敛散性方法归纳如下： 1一般的，如果一般项含有n!，运用比值判别法；如果不含有n!，而含有n次方， 运用根值判别法；既不含有n!，又不含有n次方，运用比较判别法或积分判别法 2在运用比较判别法时，常作等价转化，这主要是由于我们熟悉等价无穷小的替换公式事实上，只要作同阶转化就可以了 例2 讨论下列交错级数的敛散性： ¥(-1)n åln(1+n)； åsin(pn2+a2)。 n=1n=11+n¥ 3 ln(1+n)(-1)n=0。 解级数åln(1+n)是交错级数，显然limn®¥1+nn=11+nlnxìln(1+n)üf(x)=接下来，我们证明í是单调递减的。令，让x>3，则f¢(x)=2x¥¥¥(-1)n(-1)nln(1+n)级数å发散，所以åln(1+n)收敛。又由于åln(1+n)条件收敛。 1+n1+n1+nn=1n=1n=1¥由于 åsin(pn=1¥n+a)=åsin(pn+a-np+np)=å(-1)nsin(pn2+a2-np) 2222n=1n=1¥¥n+a+n¥¥¥11pa2因为正项级数åsin与å具有相同的敛散性，由于å发散，所以n=1nn=1n2+a2+nn=1nn=122sin(pn+a)发散。 ån=1¥=å(-1)sinn¥pa222。 又由于级数¥å(-1)n=1n¥nsinpa2n+a+npa222是交错级数，显然收敛。故pa2n+a+n22单调递减，极限为0，所以å(-1)n=1sinn2+a2+nåsin(pn=1¥n2+a2)条件收敛。 例3 讨论下列任意项级数的敛散性： ¥(-1)n(-1)nn2+n å； å。 n2n+(-1)nnn=1n=1¥¥¥(-1)n1(-1)nn2+n解由于å和å2收敛，于是å收敛。 2nnnn=1nn=1n=1¥由于 (-1)n(-1)nn-(-1)n(-1)nn¥1 =-ånn-1n-1n-1n+(-1)n=1¥ì(-1)nnïnüï对于级数å，根据莱布尼兹判别法，íý单调递减，极限是0，所以收敛。 n-1n-1ïïn=1îþ¥¥1(-1)n对于级数å，显然发散。故å发散。 nn+(-1)n=1n-1n=1习题7-1 1用比较法判别下列级数的敛散性： ¥1pnå2； å2arcsinn； 3n=1n+nn=1¥ 4 ¥2+(-1)n1å(1-cos； )； å2n+12nn=1n=1¥¥(lnn)21å； ； å3nnn=1nnn=1¥¥1å； å(na-1)(a>1)； n=1n=1n3+111¥¥-n2+1nnå(a+a-2)； (10) åln2； n-1n=1n=2¥¥pö1æ (11) åç-lncos÷； (12) å； lnnnøn=3èn=2(lnn)¥ån=1¥nn-1； (14) nnån=1¥n+1-n n2用比值法和根值法判别下列级数的敛散性 ¥1ænöåç； (a>0)； å÷n1+a2n+1øn=1n=1襥3nn!n2+2n+1ån； å； nn2n=1n=1¥¥n!næn+1öånx(x>0)； åç÷n=1nn=1èn+2ø¥¥n+3； n¥n!æpöå； ånnçsin÷； nøèn=1(2n-1)!n=12+(-1)æn+1ö； ååç÷4nn=1n=1èn+2ø¥¥nn¥n2+13讨论下列变号级数绝对收敛，条件收敛或发散： ¥sinnxnnå； ； (-1)ån2n+1n=1n=1¥(-1)npnå； ； (-1)sin(p>0)åpnnn=1n=1¥¥(-1)nn+nn1å； å(-1)； nnnnn=1n=1¥¥n-1næ2n-1öå(-1)ç÷ ； å(-1)(n+1-n) è3n+1øn=1n=1¥¥12åsin(pn+1)； åsin(np+) lnnn=1n=2¥n7.2函数项级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 求函数项级数åun(x)的收敛半径、收敛区间和收敛域： n=1¥ 5 幂级数¥åaxnn=1¥n每项系数都不是零 若级数åanxn系数an¹0，且limn=1n®¥an+1=r 或limnan=r，则 n®¥an收敛半径是R=区间上就是收敛域。 幂级数1r；收敛区间为(-R,R)；收敛域：收敛端点加到收敛 naxån某些项系数等于零 n=1¥an+1(x)=r(x)，或根值法limnan(x)=r(x)； n®¥n®¥a(x)n 2解不等式r(x)<1，其解为a<x<b，于是收敛区间为(a,b)； 1用比值法lim 3讨论区间端点x=a和x=b对应的两个级数收敛点加到收敛区间上，得到收敛域。 例1 求下列幂级数的收敛半径和收敛域： ¥1n2nnåx； åx ； n=1n!n=1n¥¥1nnn ånx ； å2(x-1) n=1n=1n¥åa(a)和åa(b)是否收敛，再将 nnn=1n=1¥¥解由于 2n+1a1=lim2n=2， r=limn+1=limn+n®¥an®¥2nn®¥n+1nnn¥12næ11ö所以幂级数åx的收敛半径为R=，收敛区间为ç-,÷ 2è22øn=1n下面讨论幂级数在收敛区间的端点是否收敛 当x=-1时，相应的数项级数为 2¥2næ1ön1 -=(-1)ååç÷2ønn=1nèn=1¥n此级数是交错级数，un=当x=1单调递减，极限是0，于是此级数收敛； n1时，相应的数项级数为 2¥n¥2næ1ö1=åç÷å n=1nè2øn=1n¥112nn此级数是调和级数，当然发散所以级数åx的收敛域是-,) 22n=1n由于 6 r=limn®¥¥an+1n!1=lim=lim=0， n®¥(n+1)!n®¥n+1an所以幂级数1nx的收敛半径为R=+¥，当然它的收敛域是R ån=0n!an+1(n+1)n+1æ1ör=lim=lim=lim(n+1)ç1+÷=+¥， nn®¥an®¥n®¥nènønn由于 所以幂级数ånxnn=0¥n的收敛半径为R=0于是它的收敛域是0(级数仅在x=0处收敛，其它点都发散) ¥11nn 令t=x-1，则å2(x-1)=å2t由于 n=0nn=0n¥an+1n2n2r=lim=lim=lim=1， n®¥an®¥(n+1)2n®¥(n+1)2n¥1n1n¥(±1)n¥1所以幂级数å2t的收敛半径为R=1当t=±1时，级数å2t=å2=å2n=1nn=1nn=1nn=1n¥1n都收敛，因此幂级数å2t的收敛域是-1,1于是有-1£x-1£1，即0£x£2，所以n=1n¥1n幂级数å2(x-1)的收敛域是0,2 n=1n¥上述方法仅仅适合幂级数的各项系数不是0的情形，对于部分项系数是0的幂级数，就不能应用此法计算幂级数的收敛半径如 例2 求下列幂级数收敛半径和收敛域： ¥(x-1)2n-1n2n ånx； å2n -nn=12n=12n2n解设an(x)=nx，则有 2n+12n+2xn+1an+1(x)12 r(x)=lim=lim=x2 n®¥a(x)n®¥n2n2nx2n¥令12x<1，解不等式得到：x<2，所以级数的收敛半径R=2，收敛区间为2¥¥n(-2,2)当x=±2时，相应的数项级数是ån，显然发散，于是级数ånx2n收敛n=1n=12域是(-2,2) (x-1)2n-1设an(x)=，则有 22n-n 7 (x-1)2n+12n+2an+1(x)2-n-1=1(x-1)2 r(x-1)=lim=limn®¥a(x)n®¥(x-1)2n-14n22n-n令1(x-1)2<1，解不等式得：x-1<2，所以收敛半径R=2，收敛区间为(-1,3)当4¥¥(±2)2n-1(x-1)2n-1x-1=±2时，相应的数项级数å2n发散于是级数å2n的收敛域是-n-nn=12n=12(-1,3) 习题 7-2 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域： xnånx； å(-1)2； nn=1n=12n-1¥¥xnnxå； å(-1)； 2n-1n=1(2n)!n=1¥n¥n¥æ(-1)nö(x-1)nå； åçn+3n÷xn； nn=1n=1è2ø¥¥ln(n+1)n1xnåx； ån×； nn+13+(-2)nn=1n=1¥7.3 求和函数 一 求和函数 1等比级数åaqn=0¥n和初等函数：ex,sinx,cosx,ln(1+x),(1+x)a展成的幂级数统称为已知级数 2求和函数有两个途径： 将所求级数变化为已知级数； 用已知级数变化为所求级数 这里的变化通常包括：加、减(增减项)，乘、除(常数或变量x)，积分，求导 例1 求幂级数å(n+1)xn=0¥n的和函数 解 (用已知级数变化为所求级数) 幂级数的收敛域为(-1,1)由于 åxn+1=n=0¥x，xÎ(-1,1)， 1-x1，xÎ(-1,1) 2(1-x)两边求导 å(n+1)xn=n=0¥例2 求级数1n-1x的和函数 ånn2n=18 ¥解 级数的收敛域是-2,2) n¥xn+1n-1x方法1 (把所求级数变化公式：ln(1+x)=å(-1) =å(-1)n+1n=1nn=0¥1 设S(x)=ånxn-1当xÎ-2,2)且x¹0时，有 n=1n2¥n1n-11¥(-1)n-1æxö1æxöS(x)=ånx=-å-=-lnç1-÷ ç÷xn=1nè2øxè2øn=1n21当x=0时，S(0)=，所以级数的和函数为 2ì1æxö-ln1-÷,-2,0)È(0,2)ïïxçè2ø S(x)=íï1,x=0ïî2¥n方法2(把所求级数变化为等比级数) 设S(x)=1n-1x，当xÎ-2,2)，x¹0且x¹-2时，有 ånn=1n2¥1xS(x)=ånxn， n=1n2¥两边求导 1¢¥111æö xS(x)¢=çånxn÷=ånxn-1=2=x2-xèn=1n2øn=121-2¥x的绝对值小于1，所以x¹-2)两边积分 2xx1æxöx¢xS(x)=òxS(x)dx=òdx=-ln(2-x)0=-lnç1-÷ 002-xè2ø两边同除x(此处要求x¹0)，有 1æxöS(x)=-lnç1-÷ xè2ø1当x=0时，S(0)=；当x=-2时，S(x)有定义故幂级数的和函数为 2ì1æxö-lnç1-÷,xÎ-2,0)È(0,2),ïïxè2ø S(x)=í ï1,x=0.ïî2(此处要求公比求幂级数的和函数需要说明的是： 1在求和函数时，首先求收敛域，然后在收敛域上，求和函数在这个过程中，若对变量x有限制(如例2的x¹0)，就在收敛域后添加对x的这个限制，最后求出限制点的和函数值 2由于和函数在收敛域内是连续的，所以对和函数的收敛域内有定义的点的函数值如例2的x=-2，不必单独计算，我们只需单独求出没有定义的点的函数值，如例1的x=0 3求和函数在特定点的函数值有两个办法：其一是将该点代回到原级数，求相应的数 9 项级数的和；其二是利用和函数在收敛域的连续性，求该点的极限，即S(x0)=limS(x) x®x0x2n例3 求函数项级数å的和函数 n=0(2n)!¥解 级数的收敛域是R令级数的和函数 x2n， S(x)=å(2n)!n=0¥则有 S(x)+S¢(x)=ex 1x1-x此一阶线性方程的通解为S(x)=Ce+e，由于S(0)=1，于是得到C=，所以幂级22数的和函数为 S(x)=1x-x(e+e)=chx 2 显然，例5的求和函数方法与例1例4的方法是不同的，例1例4采用了所求级数与已知级数相互转化方法；而例5是寻求和函数满足某个微分方程，解方程的方法这是求和函数的两个常用方法 习题7-3 求下列级数的和函数： ¥xnnå； ånx ； n=1n=1n¥¥x2n-1xn+1å； å； nn=1n=1n(n+1)¥¥x2n+1n-12n-1ånx； å(-1)； 2(2n)-1n=1n=1¥¥n2+1nn2+n+1nåx åx nnn=1n=1¥ 7.4 函数展成幂级数 1 函数展成幂级数的方法 定义法： 泰勒级数：f(x)=ån=0¥f(n)(x0)也称f(x)在点x0展成的幂级数；或称f(x)(x-x0)n，n!展成的关于(x-x0)的幂级数； 麦克劳林级数：f(x)=展成的关于x的幂级数； ån=0¥f(n)(0)nx ，也称f(x)在点0展成的幂级数，或称f(x)n!2 公式法： 常见公式 10 ¥1 =åxn，(-1,1)； 1-xn=0¥1 =å(-1n)xn，(-1,1)； 1+xn=0xn e=å，(-¥,+¥)； n!n=0¥x2n+1n sinx=å(-1)，(-¥,+¥)； (2n+1)!n=0x¥ cosx=ån=0¥x2n，(-¥,+¥)； -(1)(2n)!n¥nxn+1 ln(+1x=)å-(1)，(-1,1； n+1n=0¥a(a-1L)a(-n+1n)a (1+x)=åx，(-1,1)； n!n=0一般的，只有少数比较简单的函数，其幂级数的展开式能从基本步骤出发，根据定理1求得在更多的情况下，将一个函数展成麦克劳林级数或泰勒级数，都使用上面九个公式，如果不能直接使用，可以通过变形：加、减、乘、除、求导和求积分，把函数变成符合上面公式的函数这样一方面不必求函数的任意阶导数，另一方面不必验证余项在收敛域上的极限是0因此熟悉、牢记和灵活运用上述公式显得尤其重要 2 函数展开麦克劳林级数 例1 将下列函数展开成关于x的幂级数 11； ； 21+x2-x122； cosx； x+3x+21(2010)xarctanx，并求f； (0)； 2(x-1)解利用公式(2)，有 ¥1=å(-1)nx2n 21+xn=02由于xÎ(-1,1)，于是级数的收敛域是(-1,1) 将函数变形，有 f(x)=利用公式(1)，得到 111 =×2-x21-x2n¥1¥æxö1f(x)=åç÷=ån+1xn 2n=0è2øn=02 11 由于xÎ(-1,1)，所以级数的收敛域是(-2,2) 21将函数f(x)=2展开成麦克劳林级数 x+3x+2解 将函数f(x)变形，有 1111 f(x)=2 =-x+3x+2(x+1)(x+2)x+1x+2¥1=å(-1)nxn，-1<x<1； x+1n=0¥111(-1)nn=×=ån+1x，-2<x<2， xx+221+n=022由于 合并，得 ¥¥1(-1)nnnn f(x)=2=å(-1)x-ån+1x x+3x+2n=0n=02¥1öæ=å(-1)nç1-n+1÷xn，-1<x<1 è2øn=0将函数f(x)变形，得到 111f(x)=cos2x=(1+cos2x)=+cos2x 222根据公式(5)，得到 2n1111¥n(2x) f(x)=+cos2x=+å(-1)2222n=0(2n)!2n-11¥n2 =+å(-1)x2n ，xÎ(-¥,+¥) 2n=0(2n)!需要指出的是：函数的幂级数展开式一定要写出收敛域在确定其收敛域时，可以采用两个途径： 1求函数展成的幂级数的收敛域； 2根据公式的收敛域，确定函数展成的幂级数的收敛域 由于 (arctanx)¢=于是逐项积分，有 x¥1n2n=(-1)x，xÎ(-1,1) å21+xn=0arctanx=ò(arctanx)¢dx=å(-1)0n=0¥nòx0(-1)n2n+1xdx=åx，xÎ-1,1， n=02n+12n¥所以 (-1)n2n+2 f(x)=xarctanx=å， xÎ-1,1 xn=02n+1(2010)下面求f(0)由于函数展成的麦克劳林级数为 ¥ 12 f(x)=ån=0¥f(n)(0)nx， n!2010所以级数(5)和(6)是同一个级数，于是级数中对应项的系数相等在级数(6)中，x的系(-1)1004f(2010)(0)2010数是，在级数(5)中，x的系数是，从而有 20092010!f(2010)(0)(-1)1004 =2010!2009于是有 f(2010)(0)=2010×2008! 注 利用函数的幂级数展开计算函数在一点的高阶导数是求函数在一点的高阶导数的有效方法 通过积分，将函数变形 xxò于是，根据公式(1)有 0f(x)dx=òx011dx=-1+ (x-1)21-xò0¥1f(x)dx=-1+=-1+åxn 1-xn=0对上面等式两边求导，有 f(x)=ånxn=1¥n-1，xÎ(-1,1) 习题7-4 将下列函数展成麦克劳林级数： x； x+21+x2 sinx； ln ； 1-xxsintdæex-1ödt； ç ò÷ ； 0dxèxøte； 2x1-cost1dt； ； 2ò0tx-x-2x 第七章习题答案 7-1答案 1收敛；收敛；发散；收敛；收敛；发散；收敛； 发散； nx-x收敛n2+12ö2æ收敛； =lnç1+2÷:2n-1èn-1øn-1pppæö收敛； nnnèø收敛 2n-1e-1lnn =:3）2nnn2收敛；当0<a£1时，发散；当a>1时，收敛；发散；收敛； 收敛当0<x<e时，收敛；当x>e时，发散；当x=e时，由于ç1+÷单调递增，ènønueæ1ö于是ç1+÷<e，所以n+1=>1，从而有limun¹0，故此时级数发散； nn®¥unènøæ1öç1+÷ènø发散；收敛；发散；收敛；收敛 3绝对收敛；发散；0<p£1条件收敛，p>1绝对收敛； 条件收敛；发散；发散；绝对收敛；条件收敛； 条件收敛条件收敛； æè1ö1n） =(-1)sin÷lnnølnn7-2答案 收敛半径R=1，收敛域(-1,1)； 收敛半径R=1，收敛域-1,1； 收敛半径R=¥，收敛域(-¥,¥)； 收敛半径R=1，收敛域-1,1； 收敛半径R=1，收敛域0,2)； 收敛半径R=1æ11ö，收敛域ç-,÷； 3è33ø收敛半径R=1，收敛域-1,1)； 收敛半径R=3，收敛域-3,3)； 7-3答案 x1-ln(1-x)，xÎ-1,1)；，xÎ(-1,1)； 2(1-x)ì12ï-ln(1-x),xÎ(-1,0)È(0,1) íx； ïx=0î0, 14 ìx+(1-x)ln(1-x),xÎ-1,0)È(0,1)； x=0î0,1+x ,xÎ(-1,1)； 3(1-x)x21arctanx+arctanx-x,xÎ-1,1； 22x -ln(1-x),xÎ(-1,1)； (x-1)2 í2x-x2 -ln(1-x)+；xÎ(-1,1) 2(1-x)7-4答案 2nnåx；xÎ(-¥,+¥)； n=0n!¥x1(-1)n+1n=1-=1+åx；xÎ(-2,2)； nxx+22n=01+2111¥(-1)n+12n2sinx=-cos2x=+åx，xÎ(-¥,+¥)； 222n=02(2n)!¥¥1+x1(-1)n-1n+1ln=ln(1+x)-ln(1-x)=åx，xÎ(-1,1)； 1-x2n=02(n+1)¥sint1¥11n2n+1=å(-1)t=å(-1)nt2n，再定积分 ttn=0(2n+1)!(2n+1)!n=0¥xsint1 òdt=å(-1)nx2n+1，xÎ(-¥,+¥)； 0t(2n+1)(2n+1)!n=0dæex-1öd¥1n-1¥n-1n-2¥n =x=x=xn-1，xÎ(-¥,+¥) åååç÷dxèxødxn=1n!n=2n!n=1(n+1)!¥x1-cost1-cost¥(-1)n-12n-1(-1)n-12n =åt，òdt=åx，xÎ(-¥,+¥) 0ttn=1(2n)!n=12n(2n)!11æ11ö1æ¥1n¥nnö 2=ç-=-x-(-1)x÷ åå÷n+1x-x-23èx-2x+1ø3ç2n=0èn=0ø¥1æ1önn+1 =åç(-1)-n+1÷x，xÎ(-1,1) 2øn=03è 15