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第一章 函数极限与连续第一章 函数 极限 连续 知识点拔 1.1 函数 一、函数的概念 设D是一个非空数集，若存在一个对应法则f，使得对D内的每一个值x 都有唯一的y值与之对应，则称这个对应法则f是定义在数集D上的一个函数，记作：y=f(x)，其中x叫自变量，y叫因变量或函数，数集D称为函数的定义域，而数集z=y|y=f(x),xÎD叫函数的值域. 如果x0ÎD，称函数f(x)在x0处有定义，函数f(x)在x0处的函数值记为y注释:函数定义的两个要素：定义域和对应法则； x=x0或f(x0). x2-x-2两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：f(x)=x-2与g(x)=x+1不同，因定义域不同； f(x)=sin2x与g(x)=sinx不同，因对应法则不同； f(x)=x2+sin2x+cos2x与g(t)=t2+1相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同. 若定义域内的每一个x只对应一个函数值y，则称该函数为单值函数，若同一个x值可对应于多于一个的函数值y，这种函数称为多值函数. 二、函数的基本性质 1、函数的单调性：设函数在区间D上有定义，如果对"x1,x2ÎD且x1<x2，恒有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间D上严格单调增加的.如果对于"x1,x2ÎD 且x1<x2，有f(x1)£f(x2) (或f(x1)³f(x2)称f(x)在区间D上是单调增加的. 注释：函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也1 不同. 增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. 增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. 增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数. 2、函数的奇偶性：设D是对称于原点的区间，若对"xÎD，有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若有f(-x)=f(x)，称f(x)是偶函数. 注释：奇函数的定义域必须是关于原点对称的区间. 奇函数f(x)的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称. 奇偶函数的运算性质 1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数； 2°偶数个奇函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数； 4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数； 5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数f(x)的原函数F(x)=òxaf(t)dt是奇函数的充要条件是a=0，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数. 任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即f(x)=f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)+. 223、函数的有界性：设f(x)在区间D上有定义，如果存在M>0,使得对一切xÎD都有则称f(x)在D上有界，否则称为无界，即对"M>0，若存在x0ÎD，使得f(x)>M，f(x)£M，称f(x)在D上是无界的. 注释：函数的有界性与x的取值区间有关. 若函数y=1在区间(1,+¥)上有界，但在(0,1)内是x无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M不存在，即函数的有界性与x的取值区间有关. 4、函数的周期性：设f(x)的定义域为D，若存在常数T>0，伎得对"xÎD，必有x±TÎD，2 并且有f(x+T)=f(x)成立，则称f(x)是以T为周期的周期函数，T称为函数f(x)的周期，所有周期中的最小正周期叫函数f(x)的周期. 注释：周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：y=tanx的定义域是且x¹kp+若f(x)的周期为T，则f(wx+f)的周期为p2,k=0,1,2., Tw (w¹0)； 周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：y=sin4x+cos3x周期是2p2p,的最小公倍数2p，但也有例外，如：sinx,cosx的周期为2p，43但y=sinx+cosx的周期为p； 周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； 设f(x)是周期为T的函数，则它的原函数F(x)=òf(t)dt为周期函数的充要条件是axò0Tf(x)dx=0，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：f(x)=1+cosx是以2p为周期的函数，但其任一个原函数F(x)=x+sinx+C不是周期函数. 不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数y=íì1,x有理数î0,x无理数任何有理数r都是它的周期,即若x为有理数, x+r也是有理数,故有f(x)=1=f(x+r);若x为无理数, x+r也是无理数,故f(x)=0=f(x+r),可见r为f(x)的周期,但它没有最小的正周期. 又如：y=C，C为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数. 三、反函数 设函数y=f(x)，其定义域为D，值域为M，如果对于M中的某一个y值，都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x与之对应，这样就确定了一个以y为自变量的新函数，记为：x=f-1(y)，称函数x=f-1(y)为函数y=f(x)的反函数，它的定义域为M，值域为D. -1注释：习惯上自变量用x表示，函数用y表示，因此函数y=f(x)的反函数x=f3 (y)通常表示为y=f-1(x). 反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有f-1f(x)=x=ff-1(x). 原来函数y=f(x)与其反函数y=f-1，(x)的图像关于y=x对称y=f(x)的图像与其反函数x=f(y)的图像重合. 只有一一对应的函数才有反函数. 若f(x)在区间I内单调Þf(x)在区间I内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若ì-x,-1£x0f(x)在区间I内存在单值反函数但f(x)在区间I内不一定单调，如： f(x)=í在1+x,0£x£1î区间-1,1内存在单值反函数，但它在-1,1上不单调. 四、复合函数 若函数u=f(x)在x0处有定义，而y=f(u)在u0=f(x0)处有定义，则y=ff(x)称为由y=f(u)和u=f(x)复合而成的复合函数，u称为中间变量. 注释：只有当函数u=f(x)的值域与y=f(u)的定义域的交集不是空集时才构成复合数. 函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设f(x)=sinx，f(x)=ex，则ff(x)=sinf(x)=sinex. 复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u，再依次分解，如：x+sinx),v=x+sinx，则原来函数是由y=u , y=arctan(x+sinx)，可设u=arctan(u=arctanv，v=x+sinx复合而成. 五、初等函数 1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数. 2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个4 1212数学解析式表示的函数叫初等函数. 注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数. 3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数. ì1,x>0,ï如：符号函数sgnx=í0,x=0,是分段函数且是有界函数和奇函数. ï-1,x<0.î又如： y=x=íìx,x³0,=xsgnx是分段函数. -x,x<0.î注释：分段函数一般不是初等函数，但若f(x)是初等函数，则ìf(x),f(x)³0,是初等函数. f2(x)=f(x)=íî-f(x),f(x)<0.又如：取整函数y=x，即“不超过x的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R上的狄利克雷函数D(x)=íì1,x有理数，î0,x无理数.是分段函数，且是有界的，D(x)是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且D(x)还是偶函数. 4、初等函数的几个特例 设函数f(x)和g(x)都是初等函数，则f(x)是初等函数，因为f(x)=f(x)2； 最大值函数j(x)=maxf(x),g(x)和最小值函数y(x)=minf(x),g(x)都是初等函数，这是因为j(x)=maxf(x),g(x)=1f(x)+g(x)+f(x)-g(x) 2y(x)=minf(x),g(x)=幂指函数y=f(x)1f(x)+g(x)-f(x)-g(x) 2 (f(x)>0)是初等函数，因为f(x)g(x)=elnf(x)g(x)g(x)=eg(x)lnf(x). 1.2 极限 一、数列极限的定义 5 1、数列极限的概念 设xn为数列，若对任给的正数e，总存在正整数N，使得当n>N时，有xn-a<e，a为定数，则称数列xn收敛于a，而a称为数列xn的极限，记作：limxn=a，或xn®a. n®¥若数列xn没有极限，则称数列xn不收敛，或称xn为发散数列. 若limxn=0，则称xn为无穷小数列. n®¥定理 数列xn收敛于a的充要条件是：xn-a为无穷小数列. 2、有界数列的概念 对于数列xn，如果存在正数M，使得对于一切的xn都有不等式|xn|£M成立，则称数列xn是有界的；如果这样的正数M不存在，则称数列xn是无界的. 注释：若数列xn收敛，则数列有界； 有界数列xn不一定收敛，如：an=(-1)n有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件； limC=C；limn®¥1n=0p>0； limq=0n®¥npn®¥n(a1+an)n(n-1)d. 或Sn=na1+22等差数列的求和公式Sn=a1(1-qn)等比数列的前n项和公式Sn=. 1-q3、单调数列的概念 对于数列xn，如果满足条件x1£x2£L£xn£xn+1£L，则称数列xn为单调增加数列；如果满足条件x1³x2³L³xn³xn+1³L，则称数列xn为单调减少数列. 单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理 单调有界数列必有极限. 二、函数极限 6 1、x®¥时，函数f(x)的极限 概念 定义 如果当x®¥时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x®¥时的极限，记作：limf(x)=A或f(x)®A. x®¥注释：x®¥是指x的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x取正值并无限增大，记作：x®+¥；x取负值且其绝对值无限增大，记作：x®-¥. 如果x®+¥和x®-¥两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成x®¥. 定义 如果当x®+¥时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x®+¥时的极限，记作：limf(x)=A或f(x)®A. x®+¥如果当x®-¥时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x®-¥时的极限，记作：limf(x)=A或f(x)®A. x®-¥函数f(x)在x®¥时极限存在的充要条件 定理 极限limf(x)=A存在的充要条件是limf(x)=A且limf(x)=A. x®¥x®+¥x®-¥如：由于limarctanx=x®+¥p2，limarctanx=-x®-¥p2，所以limarctanx¹limarctanx，故极x®+¥x®-¥限limarctanx不存在； x®¥又如：由于lime=0，lime=+¥即不存在，故极限lime不存在. x®-¥x®+¥x®¥xxx2、x®x0时，函数f(x)的极限 函数f(x)在x®x0时的极限概念 定义 设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，如果当x®x0时，函数f(x)无限地趋近于某一确定的常数A，则称A为函数f(x)当x®x0时的极限，记作：limf(x)=A或f(x)®Ax®x0. 注释：x®x0表示x趋近于x0，含以下两种情况： 7 +x从大于x0的一侧趋近于x0，记作：x®x0； -x从大于x0的一侧趋近于x0，记作：x®x0. 函数左极限与右极限的概念 定义 设函数f(x)在x0的某个左侧邻域(x0-d,x0)内有定义，如果当x从x0的左-侧趋近于x0时，函数f(x)无限地趋近于某一确定的常数A，则称A为函数f(x)-当x®x0时的极限，记作：lim-f(x)=A或f(x0)=A或f(x0-0)=A. x®x0-设函数f(x)在x0的某个右侧邻域(x0,x0+d)内有定义，如果当x从x0的右侧趋近+于x0时，函数f(x)无限地趋近于某一确定的常数A，则称A为函数f(x)当x®x0x®x0时的极限，记作：lim+f(x)=A或f(x0)=A或f(x0+0)=A. x®x0+函数f(x)在x®x0时极限存在的充要条件 定理 极限limf(x)=A存在的充要条件是lim-f(x)=A且lim+f(x)=A. x®x0x®x0x®x0注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. 几个常用极限 1=0，limC=C，limsinx=0，limcosx=1，limx=x0. x®¥xx®0x®0x®x0x®x0lim初等函数的极限 基本初等函数在定义域内任一点x0的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点x0的极限等于该点的函数值. 3、函数极限的性质 唯一性：若极限limf(x)存在，则它的极限必唯一； x®x0im局部有界性：若lx®x0f(x)存在，则$d>0和M>0，当0<x-x0<d时，有f(x)£M； x®x0保序性：设limf(x)=A，limg(x)=B， x®x0 8 若A>B，则$d>0，当0<x-x0<d时，有f(x)>g(x)； 若当0<x-x0<d时，有f(x)>g(x)，则A³B. 保号性：若limf(x)=A>0，则必$d>0，当0<x-x0<d时，有f(x)>0x®x0若f(x)>0，且limf(x)=A，则A³0. x®x0-+注释：上述的变化趋势x®x0，可以换成x®x0，x®x0，x®¥，x®-¥，x®+¥ 若f(x)>0(或<0),且limf(x)=A，则A>0(或<0)是错误的，如f(x)=x2>0(x¹0)，x®x0但limf(x)=0 x®01.3 极限的运算法则 若limf(x)，limg(x)都存在，则 limf(x)±g(x)=limf(x)±limg(x)； limf(x)g(x)=limf(x)±limg(x)，特别地limCf(x)=Climf(x)； limf(x)limf(x)=，其中limg(x)¹0； g(x)limg(x)limfg(x)=flimg(x)； limf(x)g(x)=limf(x)alimg(x),其中limf(x)>0且不等于1， 特别地limf(x)a=limf(x). 注释：法则可以推广到有限个函数. x®x0时有理分式极限的求法 Pn(x)anxn+an-1xn-1+L+a1x+a0设R(x)是有理分式，R(x)=，其中an¹0，bn¹0. =nn-1Qm(x)bnx+bn-1x+L+b1x+b0若Qm(x0)¹0，则limR(x)=x®x0Pn(x0)=R(x0)； Qm(x0)9 若Qm(x0)=0，而Pn(x0)¹0，则limR(x)=¥； x®x0若Qm(x0)=0且Pn(x0)=0，则P将Pn(x)与Qm(x)一定有公因子(x-x0)，n(x)与Qm(x)因式分解，约去公因式后再计算极限. x®¥时有理分式极限的求法 ì0,当m>n时.ïïalimR(x)=ín,当m=n时.其中an¹0，bn¹0. x®¥ïbnïî¥,当m<n时.无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 “¥-¥”型有理分式的求法：先通分，再求极限. 1.4 极限存在准则及两个重要极限 一、极限存在准则 夹逼定理：如果对于x0的去心邻域内的一切x都有g(x)£f(x)£h(x)，且x®x0limg(x)=limh(x)=A，则有limf(x)=A. x®x0x®x0二、两个重要极限 1、limsinxx=1，lim=1， x®0x®0xsinxsinDsinu(x)=1，D表示任一函数u(x)，即lim=1； D®0Du(x)®0u(x)1一般的lim1x2、lim(1+)=e，lim(1+x)x=e， x®¥x®0x1D1u(x)im(1+)=e，一般的lim(1+)=e，lim(1+D)D=e，D表示任一函数u(x)，即lD®¥u(x)®¥D®0Du(x)1u(x)®0lim(1+u(x)1u(x)=e. 1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较 一、无穷小量 10 1、无穷小量的概念 若limf(x)=0，则称f(x)是x®x0时的无穷小量，简称无x®x0x®¥穷小； 2、极限与无穷小量的关系 x®x0(x®¥)limf(x)=AÛf(x)=A+a，其中a是x®x0时的无穷小量. x®x0(x®¥)limf(x)=AÛ|f(x)-A|是x®x0时的无穷小量. 3、无穷小量的性质 有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量， 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 二、无穷大量 1、无穷大量的概念 如果当x®x0时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为x®x0时的无穷大量，简称无穷大，记作：limf(x)=¥. x®x0(x®¥)2、无穷大与无穷小的关系 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)是无穷大量，则1是无穷小量；如果f(x)是无穷小f(x)量且f(x)¹0，则1是无穷大量。 f(x)三、无穷小量的比较 1、无穷小比较的概念 设lima(x)=0，limb(x)=0，b(x)¹0，则 若lima(x)=0，则称a(x)是b(x)的高阶无穷小量，记：a=o(b)； b(x)11 若lima(x)=1，则称a(x)与b(x)是等价无穷小量，记：ab； b(x)若lima(x)=a¹0，则称a(x)与b(x)都是同阶无穷小量； b(x)若lima(x)=a(0<a<+¥)，称a(x)是b(x)的k阶无穷小量； kb(x)a(x)=¥，称a(x)是b(x)的低阶无穷小量. b(x)若lim注释：在无穷小的比较中，a(x),b(x)是在自变量相同变化趋势下的无穷小量. 无穷小量的比较只是定性的，即只有阶的高低之别，没有数量上的关系. 不是任何无穷小量都能比较其阶的高低的，如：当x®¥时，a=小量，但limsinx1b=，都是无穷x2x2a=limsinx不存在，不能比较其阶的高低. x®¥bx®¥2、几个常用的等价无穷小量 当x®0时，有下列无穷小等价 x2tanxx，arctanxx,ex-1x, ax-1xlna, sinxx，arcsinxx，1-cosx，2ln(1+x)x, logaxxa, (1+x)-1ax(a¹0). lna3、等价无穷小替换定理 若aa¢，bb¢，则limaa¢aa¢=lim=lim=lim. bbb¢b¢注释：在求极限时，整个式子的分子或分母必须整体替换，不能分子或分母分项替换，即在分子或分母是和，差的情况不能替换，只能替换乘积中的无穷小量. 等价无穷小量具有传递性它们都是互相等价的. 1.6 函数的连续性及闭区间上连续函数的性质 一、函数y=f(x)在点x0的连续性 12 1、函数y=f(x)在点x0的连续性概念 定义 设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果limDy=limf(x0+Dx)-f(x0)=0，则称Dx®0Dx®0函数f(x)在x0点连续 . 定义 设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果limf(x)=f(x0)，则称函数f(x)在x0点连x®x0续 . 注释：函数y=f(x)在点x0处连续必须满足三个条件： 函数f(x)在点x0及其附近有定义； 极限limf(x)存在； x®x0极限limf(x)的值等于函数f(x)在点x0处的函数值. x®x0 判断函数在某个具体的点是否连续，特别是判断分段函数在分段点是否连续，一般利用x®x0limf(x)=f(x0)来完成 . 2、左、右连续的定义 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x0点左连续 . 若f(x)在x0点的左邻域内有定义，且lim-x®x0f(x)=f(x0)，则称f(x)在x0点右连续 . 若f(x)在x0点的右邻域内有定义，且lim+x®x03、函数f(x)在点x0连续的充要条件 函数f(x)在点x0处连续的充要条件是：f(x)在点x0既左连续又右连续 . 注释：该定理主要用来讨论分段函数在分段点处的连续性. 二、函数f(x)在区间上的连续性概念 若对"x0Î(a,b),f(x)在点x0都连续，则称f(x)在开区间(a,b)上连续；若f(x)在开区间(a,b)上连续，且在a点右连续，在b点左连续，则称f(x)在闭区间a,b上连续 . 三、连续函数的性质 1、连续函数的四则运算 13 若函数f(x)，g(x)在x0点都连续，则f(x)±g(x),f(x)g(x),连续 . f(x)(g(x)¹0)也都在点x0也g(x)2、复合函数的连续性：若u=g(x)在点x0连续，u0=g(x0)，而y=f(u)在点u0连续，则复合函数y=fg(x)在x0点也连续，且有 limfg(x)=flimg(x)=fg(x0) x®x0x®x03、反函数的连续性：若函数y=f(x)在区间I上严格单调且连续，则其反函数y=f相应的区间上严格单调且连续 . 4、初等函数的连续性 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的； 一切初等函数在其定义区间上都是连续的 . -1(x)也在注释：初等函数在其定义域内不一定连续，即只有在定义域构成的区间上连续，如：f(x)=sinx-1的定义域为x=2kp+四、函数的间断点及其分类 1、函数间断点的定义 p2(k=0,±1,±2,L)，它在定义域内的任何一点都不连续 . 若函数f(x)在点x0的去心邻域内有定义，但f(x)在x0点无定义或f(x)在x0点有定义而不连续，则称f(x)在x0x®x0x®x0点不连续，点x0称为f(x)的间断点 . 2、间断点的分类 间断点分为两类：第一类间断点和第二类间断点 . f(x)和limf(x)都存在 . 第一类间断点：lim+-x®x0x®x0f(x)=limf(x)¹f(x0)1）若lim，称x0为可去间断点 +-x®x0x®x0f(x)¹limf(x)，称x0为跳跃间断点 2）lim+-x®x0x®x0f(x)与limf(x)至少有一个不存在，则称x0是第二类间断点，若第二类间断点：lim+-x®x0x®x0 14 x®x+0limf(x)=¥或limf(x)=¥，称为x0是无穷间断点 . -x®x0注释：区间I上单调函数的不连续点必为第一类不连续点，即单调函数在任意点的左右极限都存在. 设f(x)在a,b上连续，且f(x)¹0，xÎa,b，则f(x)在a,b上恒正或恒负. 五、闭区间上连续函数的性质 1、最值定理：若f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在a,b上必有最大值和最小值 . 2、介值定理：若f(x)在a,b上连续，且f(a)¹f(b)，则对任意介于f(a)与f(b)之间的常数C，必存在x0Î(a,b)，使得f(x0)=c . 3、根的存在定理：若f(x)在a,b上连续，且f(a)f(b)<0，则至少存在一点x0Î(a,b)，使得f(x0)=0， . f(x)limf(x)<0，则在(a,b)上至少存在一广义的零点定理：若f(x)在(a,b)上连续，且lim+-x®ax®b点x0，使f(x0)=0. 15