第10章习题解答.docx
第10章习题解答习题十 1证明下面幂法产生的数列mk满足mk=l1+O(wk)，当A对称时， mk=l1+O(w2k)，其中w=l2l1。 幂法如下： 选初值v0ÎRn(v02=1),计算m0=v0Av0 Tk=0,1,2,L uk=Avk-1 vk=ukTuk2mk=vkAvk 证明 假设AÎRn´n具有n个线性无关的特征向量，A特征对为(li,xi)(i=1,2,L,n)且特n征值满足l1>l2³L³ln。初值v0¹0ÎR满足 v0=a1x1+a2x2+L+anxn nnjnjAv0=kåaj=1Axj=kåaj=1lxj=la1x1+åaj(lj/l1)xjºl1(a1x1+ek) kjk1kkj=2其中 nek=Av0Av0k2kåaj=2j(lj/l1)xj=O(lj/l1)=O(w) kkk而vk=， 1 mk=vkAvk=T(Av0)Av0TkkTAk+1kv022Av0=l12k+1(a1x1+ek)(a1x1+ek+1)l12kTa1x1+ek22=l1×(a1x1+ek)(a1x1+ek+1)a1x1+ek2222由于(a1x1+ek)T(a1x1+ek+1)=a12x1Tx1+O(wk)，a1x1+eka1x1x1+O(w)k2Tk=a1x1x1+O(w)，得 2Tk2Tkæöa1x1x1+O(w)mk=l1×2T=l×1+-1÷1çk2Tka1x1x1+O(w)axx+O(w)è111øæöO(w)k=l1×ç1+2T÷=l1+O(w)ka1x1x1+O(w)øè当A对称时，可取特征向量系x1,x2,L,xn是标准正交的。则有 (a1x1+ek)(a1x1+ek+1)=aa1x1+ek22Tn21+åaj=22j2j(lj/l1)2k+1=a1+O(w22k+1) n=a+21åaj=2(lj/l1)2k=a1+O(w22k) 2k与前类似有mk=l1+O(w)。证毕。 2设AÎRn´n，对0¹xÎR，称R(x)=nxAxxxTT为A在点x的Rayleigh商。证明：对给n定的0¹x0ÎR，Ax0-mx02(mÎR)达到极小的充分必要条件是m=R(x0)。 证明 由 Ax0-mx0=Ax0-R(x0)x0+(R(x0)-m)x0 和 x0(Ax0-R(x0)x0)=0 T得 Ax0-mx022=Ax0-R(x0)x022+(R(x0)-m)x022³Ax0-R(x0)x022 2 当且仅当m=R(x0)时，上式等号成立。 注 该题说明Rayleigh商是在2范数下的最优近似特征值。 3设AÎRn´n，l±im是其一对共轭复特征值，对应的特征向量是x±iy设AÎCn´n，y与x分别是矩阵A的单重特征值l的左和右特征向量，即Ax=lx,yA=ly，证明yx¹0。 HHH证明 反证法。假设x与y线性相关，必有y=kx(k¹0ÎR) A(x+iy)=(l+im)(x+iy)Þ(1+ik)Ax=(1+ik)(l+im)xÞAx=(l+im)x 上式左边是实向量，右边是复向量，矛盾。 不妨设x2=1，构造酉矩阵U=x,U1，则 UHælAU=çèaö÷ CøH令 yHHHH-1ùU=é1,a(lI-C)ëûH可验证yA=ly，且yHx¹0。 注：单重特征值的条件用于特征向量是平行的，且上面矩阵的逆是有意义的 é1ê4.设矩阵A=0êêë-2000-2ùú0，用古典Jacobi法求它的全部特征值和所对应的特征向量。 解 取A的非对角主元a13=-2(p=1,q=3)， d=aqq-app2apq=a33-a112a13=4-1-4=-34， 3 t=sgn(d)d+d+1=252=34+-1(34)+1152=-12c=11+t2，s=ct=-， 5ùú0ú， ú25ûécêR1=0êêë-s010sùé25úê0=ê0úêcúûë15010-1é0êTA1=R1AR1=0êêë0é25êU1=R1=ê0êë150000100ùú0， ú5úû-15ùú0ú。 ú25û从而A的特征值为 l1=0，l2=0，l3=5。 对应的特征向量分别为： x1=(25,0,15)，x2=(0,1,0)，x3=(-1TT5,0,25)。 Té0ê15说明基本QR迭代法对矩阵A=êê0êë0001000011ùú0ú不收敛。 0úú0û解 矩阵A为上Hessenberg矩阵，利用基本QR迭代法： A0=A， 对A0进行QR分解,得到A0=Q0R0，其中 4 é0ê-1Q0=êê0êë000-10000-1-1ùé-1úê00ú，R=ê0ê00úúê0ûë0001000010-10000-100ùú0ú 0úú-1ûé0ê1A1=R0Q0=êê0êë01ùú0ú=A， 0úú0û以后进入死循环，故基本QR迭代法对矩阵A不收敛。 6证明下面算法保持矩阵的上Hessenberg 形不变。 算法 function H = hess_qr ( H ) for k = 1:n if k<n c,s = givens(H(k,k),H(k+1,k)；% 调用Givens变换) G = c,s；-s,c； H(k:k+1,k:n) = G * H(k:k+1,k:n)； end if k>1 H(1:k,k-1:k) = H(1:k,k-1:k) * G1； end G1=G； end 证明仅用四阶矩阵演示证明。设 5 é´ê´H=êê0êë0é´ê0êH1=G(1,2,q1)H=ê0êë0é´ê0H3=G(3,4,q3)H2=êê0êë0é´ê´T%=H%G(2,3,q)=êH212ê0êë0´´´0´´00´´´0´´´´´´´0´´´0´´´0´´´´´ùú´ú ´úú´û´´00´´00´´´0´´´´´´´0´´´´´ùú´ú ´úú´û´ùú´ú ´úú´û´ùú´ú ´úú´û´ùé´úê´0ú，H=G(2,3,q)H=ê221ê0´úúê´ûë0´ùé´úê´´T%=HG(1,2,q)=êú，H131ê0´úúê´ûë0´ùé´úê´´T%=H%G(3,4,q)=êú， H323ê0´úúê´ûë07证明如果l是不可约上Hessenberg矩阵HÎRn´n的特征值，那么它的几何重数为1。即n-rank(H-lI)=1。 é´ê*ê证明 由于H-lI=êêë´´*´´´*´ùú´ú，故H-lI的前n-1列线性无关，因´úú´û此rank(H-lI)³n-1，又det(H-lI)=0Þrank(H-lI)£n-1，所以 rank(H-lI)=n-1。证毕。 n-1n-1ù非奇异，8设x0ÎR，如果Krylov矩阵K=K(A,x0,n)=é则x,Ax,L,AxKAK000ëû是友矩阵： 6 é0ê1êêêêêë01OO01-c0ùú-c1úMú ú-cn-2ú-cn-1úû证明直接验证易知 é0ê1n-1ê=x0,Ax0,L,Ax0êêë-c0ùú-c1ú Múú-cn-1ûAx0,Ax0,L,An-1x0OO01成立，即AK=KC。 由于矩阵K非奇异，故K可逆，即K-1存在，从而可得K-1AK=C。证毕。 注用此结论可把一个不可约上Hessenberg矩阵H相似到友矩阵C。只要令 K=e1,He1,L,Hn-1e1 7
