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电大高等数学建筑制图基础形成性考核册答案高等数学基础作业1 第1章 函数 第2章 极限与连续 单项选择题 下列各函数对中，中的两个函数相等 A. f(x)=(x)2，g(x)=x B. f(x)=32x，g(x)=x C. f(x)=lnx，g(x)=3lnx D. f(x)=x+1，g(x)=x-12x-1分析：判断函数相等的两个条件对应法则相同定义域相同 A、f(x)=(x)2=x，定义域x|x³0；g(x)=x，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B、f(x)=x=x，g(x)=x对应法则不同，所以函数不相等； 2C、f(x)=lnx3=3lnx，定义域为x|x>0，g(x)=3lnx，定义域为x|x>0 所以两个函数相等 D、f(x)=x+1，定义域为R；g(x)=x-1x-12=x+1，定义域为x|xÎR,x¹1 定义域不同，所以两函数不等。 故选C 设函数f(x)的定义域为(-¥,+¥)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于对称 A. 坐标原点 B. x轴 C. y轴 D. y=x 分析：奇函数，f(-x)=-f(x)，关于原点对称 偶函数，f(-x)=f(x)，关于y轴对称 y=f(x)与它的反函数y=f-1(x)关于y=x对称， 奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称 设g(x)=f(x)+f(-x)，则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x) 所以g(x)=f(x)+f(-x)为偶函数，即图形关于y轴对称 故选C 下列函数中为奇函数是 A. y=ln(1+x) B. y=xcosx C. y=a+a2x-x2 D. y=ln(1+x) 22分析：A、y(-x)=ln(1+(-x)=ln(1+x)=y(x)，为偶函数 B、y(-x)=-xcos(-x)=-xcosx=-y(x)，为奇函数 或者x为奇函数，cosx为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数 C、y(-x)=a-x+a2x=y(x)，所以为偶函数 D、y(-x)=ln(1-x)，非奇非偶函数 故选B 下列函数中为基本初等函数是 A. y=x+1 B. y=-x C. y=x2 D. y=íì-1,î1,x<0x³0 分析：六种基本初等函数 y=c常值函数 y=xa,a为常数幂函数 y=a (a>0,a¹1)指数函数 y=logax(a>0,a¹1)对数函数 x y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx三角函数 y=arcsinx,-1,1, y=arccosx,-1,1,y=arctanx,y=arccotx反三角函数 分段函数不是基本初等函数，故D选项不对 对照比较选C 下列极限存计算不正确的是 A. limx22x®0x+2sinx1=0 D. limxsin=0 C. limx®¥x®¥xx1分析：A、已知limn=0(n>0) x®¥xx®¥=1 B. limln(1+x)=0 x22 limx22x®¥x+2=limxx22x®¥xxB、limln(1+x)=ln(1+0)=0 x®0+22=lim11+2x2x®¥=11+0=1 初等函数在期定义域内是连续的 C、limsinxxx®¥=lim1x1xx®¥sinx=0 x®¥时，是无穷小量，sinx是有界函数， 无穷小量×有界函数仍是无穷小量 1sin1x，令t=1®0,x®¥，则原式=limsint=1 D、limxsin=limt®0x®¥xtxx®¥1x故选D 当x®0时，变量是无穷小量 A. sinxx B. 1x C. xsinx®a1x D. ln(x+2) 分析；limf(x)=0，则称f(x)为x®a时的无穷小量 A、limB、limsinxx1x=1，重要极限 x®0x®0=¥，无穷大量 1x=0，无穷小量x×有界函数sin1xC、limxsinx®0仍为无穷小量 D、limln(x+2)=ln(0+2)=ln2 x®0故选C 若函数f(x)在点x0满足，则f(x)在点x0连续。 A. limf(x)=f(x0) B. f(x)在点x0的某个邻域内有定义 x®x0+ C. limf(x)=f(x0) D. limf(x)=limf(x) x®x0x®x0+x®x0-分析：连续的定义：极限存在且等于此点的函数值，则在此点连续即limf(x)=f(x0) x®x0连续的充分必要条件limf(x)=f(x0)Ûlimf(x)=limf(x)=f(x0) x®x0x®x0+x®x0-故选A 填空题 函数f(x)=+ln(1+x)的定义域是 x-3分析：求定义域一般遵循的原则 x-92x|x>3 偶次根号下的量³0 分母的值不等于0 对数符号下量为正 反三角中反正弦、反余弦符号内的量，绝对值小于等于1 p 正切符号内的量不能取kp±(k=0,1,2L) 2 然后求满足上述条件的集合的交集，即为定义域 f(x)=x-9x-32+ln(1+x)要求 ìx2-9³0ìx³3或x£-3ïï得求交集 3 1 3 x-3¹0íx¹3íïx>1ï1+x>0îî定义域为 x|x>3 已知函数f(x+1)=x+x，则f(x)= 分析：法一，令t=x+1得x=t-1 则f(t)=(t-1)+(t-1)=t-t则f(x)=x-x 222x2-x 2 法二，f(x+1)=x(x+1)=(x+1-1)(x+1)所以f(t)=(t-1)t lim(1+x®¥12x)x= x11öæ分析：重要极限limç1+÷=e，等价式lim(1+x)x=e x®0x®¥xøè1f(x)=e 推广limf(x)=¥则lim(1+x®ax®af(x)1f(x) limf(x)=x®a0则lim(1+f(x)x®a=e lim(1+x®¥12x)=lim(1+x®¥x12x)2x´121=e2 1ìxï若函数f(x)=í(1+x),ïîx+k,x<0，在x=0处连续，则k= e x³0x®x0+x®x0-分析：分段函数在分段点x0处连续Ûlimf(x)=limf(x)=f(x0) x®0+limf(x)=lim(x+k)=0+k=kx®0+1 所以k=e x®0-limf(x)=lim(1+x)x=ex®0-函数y=íìx+1,îsinx,x>0x£0的间断点是 x=0 分析：间断点即定义域不存在的点或不连续的点 初等函数在其定义域范围内都是连续的 分段函数主要考虑分段点的连续性 x®0+limf(x)=lim(x+1)=0+1=1x®0+x®0-x®0-limf(x)=limsinx=0不等，所以x=0为其间断点 若limf(x)=A，则当x®x0时，f(x)-A称为 x®x0时的无穷小量 x®x0分析：lim(f(x)-A)=limf(x)-limA=A-A=0 x®x0x®x0x®x0 所以f(x)-A为x®x0时的无穷小量 计算题 设函数 ìex,f(x)=íîx,x>0x£0求：f(-2),f(0),f(1) 解：f(-2)=-2，f(0)=0，f(1)=e=e 1求函数y=lg2x-1x的定义域 ì2x-1ìïx>0ïï2x-11ï解：y=lg有意义，要求í解得íx>或x<0 x2ïïx¹0ïïîx¹0î 则定义域为íx|x<0或x>îì1üý 2þ在半径为R的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数 解： D A R O h E B C 设梯形ABCD即为题中要求的梯形，设高为h，即OE=h，下底CD2R 直角三角形AOE中，利用勾股定理得 AE=hOA-OE=222R-h 222则上底2AE=2R-h 故S=求lim(2g2R+2R-h22)=h(R+R-h22) sin3xsin2x sin3x´3x=lim´2xx®0x®0sin3x3x´31´3=3 sin2x21222x解：limsin3xsin2x2x®0=limx®03xsin2x2x求limx-1sin(x+1)x-1sin(x+1)tan3xxtan3xx2 =lim(x-1)(x+1)sin(x+1)=limx-1sin(x+1)x+1=-1-11=-2 x®-1解：limx®-1x®-1x®-1求lim =lim2x®0解：lim求limsin3xxx®0x®01sin3x11g=lim´´3=1´´3=3 x®0cos3x3xcos3x11+x-12x®0sinx 解：lim1+x-1sinxx®0=lim(1+x-1)(1+x+1)(1+x+1)sinx222x®0=limx22x®0(1+x+1)sinx =limx®0xsinx1+x+1)x2=0(1+1)´1 =0求lim(x®¥x-1x+3) x解：lim(x®¥x-1x+31-)=lim(x®¥x1x)x=limx®¥3x1+-x=limxx®¥x133(1+)(1+)xxx33(1-1)x(1+1)-x-1=e-13e=e-4求limx-6x+8x-5x+422 x®4解：limx-6x+8x-5x+422x®4(x-4)(x-2)=limx®4(x-4)(x-1)=limx-2x-1x®4=4-24-1=23设函数 ì(x-2)2,x>1ïf(x)=íx,-1£x£1 ïx+1,x<-1î讨论f(x)的连续性，并写出其连续区间 解：分别对分段点x=-1,x=1处讨论连续性 x®-1+limf(x)=limx=-1x®-1+x®-1-x®-1-limf(x)=limx®-1+(x+1)=-1+1=0x®-1-所以limf(x)¹limf(x)，即f(x)在x=-1处不连续 x®1+22limf(x)=lim(x-2)=(1-2)=1x®1+x®1-limf(x)=limx=1x®1-f(1)=1所以limf(x)=limf(x)=f(1)即f(x)在x=1处连续 x®1+x®1-由得f(x)在除点x=-1外均连续 故f(x)的连续区间为(-¥,-1)U(-1,+¥) 高等数学基础第二次作业 第3章 导数与微分 单项选择题 设f(0)=0且极限limf(x)xx®0存在，则limf(x)x= x®0 A. f(0) B. f¢(0) C. f¢(x) D. 0cvx 设f(x)在x0可导，则limf(x0-2h)-f(x0)2h A. -2f¢(x0) B. f¢(x0) h®0= C. 2f¢(x0) D. -f¢(x0) 设f(x)=ex，则limf(1+Dx)-f(1)Dx14Dx®0= A. e B. 2e C. 12e D. e 设f(x)=x(x-1)(x-2)L(x-99)，则f¢(0)= A. 99 B. -99 C. 99! D. -99! 下列结论中正确的是 A. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0可导 B. 若f(x)在点x0连续，则在点x0可导 C. 若f(x)在点x0可导，则在点x0有极限 D. 若f(x)在点x0有极限，则在点x0连续 填空题 1ì2,x¹0ïxsin 设函数f(x)=í，则f¢(0)= 0 xï0,x=0î 设f(ex)=e2x+5ex，则 曲线f(x)=df(lnx)dx=2lnxx+5x x+1在(1,2)处的切线斜率是k=12x=22(1- 曲线f(x)=sinx在( 设y=x2x4,1)处的切线方程是y=2x22p4) ，则y¢=2x(1+lnx) 设y=xlnx，则y¢¢=1x计算题 求下列函数的导数y¢： 3y=(xx+3)e y¢=(x2+3)e+22xx321x2e xy=cotx+xlnx y¢=-cscx+x+2xlnx y=y= x2lnx y¢=x2xlnx+xln2xxxcosx+2x3 y¢=x(-sinx+2ln2)-3(cosx+2)x4y= lnx-xsinx2sinx(1x-2x)-(lnx-x)cosxsinx22 y¢= y=x4-sinxlnx y¢=4x3- y= sinx+x3x2sinxx-cosxlnx y¢=3(cosx+2x)-(sinx+x)3ln332xx2xy=etanx+lnx y¢=etanx+ 求下列函数的导数y¢： y=ey¢=e1-x2xxex2cosx+1x x1-x21-x2y=lncosx y¢=-sinxcosx3333x2=-3xtanx 23 y=7xxx y=x8 y¢=78-1x8 y=3x+x 1-23y¢=13(x+x2)(1+12-1x2) y=cos2ex y¢=-esin(2e) xxy=cosex2x2x2y¢=-2xe y=sin y¢=nsinn-1sinenxcosnx xcosxcosnx-nsin2nxsin(nx) y=5sinx2sinx2y¢=2xln5cosx5 y=esin2xsin2y¢=sin2xe 2xy=xx+ex22y¢=x x2(x+2xlnx)+2xexxxy=xexe+exey¢=x(ex+exlnx)+eexex 在下列方程中，y=y(x)是由方程确定的函数，求y¢： ycosx=e2y2yy¢cosx-ysinx=2ey¢=ysinxcosx-2e2yy¢ y=cosylnx y¢=siny.y¢lnx+cosy.1xy¢=cosyx(1+sinylnx)22xsiny=xyy.y¢+2siny=2yx-x22xcosy¢y2y¢=2xy-2ysiny2xy2cosy+x2y=x+lny y¢=y¢y+1 y¢=yy-1lnx+ey=y2 1x+eyy¢=2yy¢ y¢=1x(2y-ey)y2+1=exsiny 2yy¢=excosy.y¢+siny.ex xy¢=esiny2y-excosyey=ex-y3eyy¢=ex-3y2y¢ y¢=ex2ey+3y y=5x+2yy¢=5xln5+y¢2yln2 y¢(2xcosy+x2y2)=2yxy2-2siny y¢=5ln51-2ln2yx求下列函数的微分dy： y=cotx+cscx dy=(-1cos2x-cosxsin2x)dx y=lnxsinx1dy=xsinx-lnxcosxsin2xdx y=arcsindy=1-(11-x1+x)21-x1+x-(1+x)-(1-x)(1+x)2dx=-1+xx21(1+x)2dx y=31-x1+x13两边对数得：lny=y¢y=1(-1-11+x(1ln(1-x)-ln(1+x) 31-x133) +11+x) y¢=-1-x1+x1-x2 y=sin dy=2sineeedx=sin(2e)edx xx3e xxxxy=tane2xx322x3dy=sece3xdx=3xe3sec2xdx 求下列函数的二阶导数： y=xlnx y¢=1=lnx y¢¢=1xy=xsinx y¢=xcosx+sinx y¢¢=-xsinx+2cosx y=arctanx y¢=11+x2y¢¢=-2x(1+x)22y=3x 2y¢=2x3x2ln3 y¢¢=4x32x2ln3+2ln3×32x2证明题 设f(x)是可导的奇函数，试证f¢(x)是偶函数 证：因为f(x)是奇函数 所以f(-x)=-f(x) 两边导数得：f¢(-x)(-1)=-f¢(x)Þf¢(-x)=f(x) 所以f¢(x)是偶函数。 高等数学基础第三次作业 第4章 导数的应用 单项选择题 若函数f(x)满足条件，则存在xÎ(a,b)，使得f¢(x)= A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导 C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在a,b内连续，在(a,b)内可导 函数f(x)=x+4x-1的单调增加区间是 A. (-¥,2) B. (-1,1) C. (2,+¥) D. (-2,+¥) 函数y=x+4x-5在区间(-6,6)内满足 22f(b)-f(a)b-a A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 函数f(x)满足f¢(x)=0的点，一定是f(x)的 A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点 设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0Î(a,b)，若f(x)满足，则f(x)在x0取到极小值 A. f¢(x0)>0,f¢¢(x0)=0 B. f¢(x0)<0,f¢¢(x0)=0 C. f¢(x0)=0,f¢¢(x0)>0 D. f¢(x0)=0,f¢¢(x0)<0 设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f¢(x)<0,f¢¢(x)<0，则f(x)在此区间内是 A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 填空题 设f(x)在(a,b)内可导，x0Î(a,b)，且当x<x0时f¢(x)<0，当x>x0时f¢(x)>0，则x0是f(x)的 极小值 点 若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f¢(x0)= 0 函数y=ln(1+x2)的单调减少区间是(-¥,0) 函数f(x)=ex的单调增加区间是(0,+¥) 若函数f(x)在a,b内恒有f¢(x)<0，则f(x)在a,b上的最大值是f(a) 函数f(x)=2+5x-3x3的拐点是 x=0 计算题 求函数y=(x+1)(x-5)的单调区间和极值 令y¢=(x+1)2(x+5)=2(x-5)(x-2) Þ驻点x=2,x=5 222列表： 极大值：f(2)=27 极小值：f(5)=0 2X y¢ (-¥,2) 2 极大 27 (2,5) - 下降 5 极小 0 (5,+¥) + 上升 + 上升 y 求函数y=x-2x+3在区间0,3内的极值点，并求最大值和最小值 令：y¢=2x-2=0f(0)=3f(3)=6f(3)=6 f(1)=2 Þx=1(驻点） f(1)=2Þ最大值Þ最小值 试确定函数y=ax3+bx2+cx+d中的a,b,c,d，使函数图形过点(-2,44)和点(1,-10)，且x=-2是驻点，x=1是拐点 ì44=-8b+4b-2x+dïï-10=a+b+c=d解：í 0=12a-4b+cïï0=6a+2bîìa=1ïïb=-3 Þíc=16ïïd=-24î 求曲线y2=2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短 解：设p(x,y)是y2=2x上的点，d为p到A点的距离，则： d=(x-2)+y22=(x-2)+2x 2令d¢=y22(x-2)+22(x-2)+2x2=x-1(x-2)+2x2=0Þx=1 =2x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 设园柱体半径为R，高为h，则体积 V=pRh=p(L-h)h 2222令：V¢=ph(-2h)+L-h=pL-3h=0222ÞL=3hh=33LR=23L当h=33,R=23L时其体积最大。 一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 设园柱体半径为R，高为h，则体积 V=pRh22S表面积=2pRh+2pR-2=2VR+2pR 32令：S¢=-2VRh=4V+4pR=0ÞV2p=RÞR=3V2p3p3答：当R=V2p h=34Vp时表面积最大。 欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底连长为x，高为h。则： 62.5=xh22Þh=62.5x2250x侧面积为：S=x+4xh=x+2令S¢=2x-250x2=0Þx3=125Þx=5 答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省。 证明题 当x>0时，证明不等式x>ln(1+x) 证：由中值定理得：Þln(1+x)x<1ln(1+x)x=ln(1+x)-ln1(1+x)-1=11+x<1(Qx>0) Þx>ln(1+x)(当x>0时） 当x>0时，证明不等式ex>x+1 设f(x)=e-(x+1) xf¢(x)=e-1>0x(当x>0时）证毕 Þ当x>0时f(x)单调上升且f(0)=0 f(x)>0,即ex>(x+1)高等数学基础第四次作业 第5章 不定积分 第6章 定积分及其应用 单项选择题 若f(x)的一个原函数是 A. lnx B. -1x21x，则f¢(x)= 1x C. D. 2x3下列等式成立的是 Aòf¢(x)dx=f(x) B. òdf(x)=f(x)C. dòf(x)dx=f(x) D. òdxdf(x)dx=f(x) 若f(x)=cosx，则òf¢(x)dx= A. sinx+c B. cosx+c C. -sinx+c D. -cosx+c ddxxf(x)dx= 32323ò A. f(x) B. xf(x) C. 若òf(x)dx=F(x)+c，则ò113f(x) D. 13f(x) 3xf(x)dx= 1F(x)+c A. F(x)+c B. 2F(x)+c C. F(2x)+c D. x 由区间a,b上的两条光滑曲线y=f(x)和y=g(x)以及两条直线x=a和x=b所围成的平面区域的面积是 A. C. òbaf(x)-g(x)dx B.òg(x)-f(x)dx ababòf(x)-g(x)dx D. òbaf(x)-g(x)dx 填空题 函数f(x)的不定积分是òf(x)dx 若函数F(x)与G(x)是同一函数的原函数，则F(x)与G(x)之间有关系式F(x)-G(x)=c(常数） dòedx=ex2x2 ò(tanx)¢dx=tanx+c 若òf(x)dx=cos3x+c，则f¢(x)=-9cos(3x) ò(sin-335x+121)dx=3 1xp 若无穷积分ò计算题 cos1x2+¥dx收敛，则p>0 òòòexdx=-òcosx111d=-sin+c xxxx=2exxx1dx=2òedx=d+c xlnxòln1x12ed(lnx)=ln(lnx)+c xcos2x+12òxsin2xdx=-òeòcos2xdx=-1212xcos2x+e14sin2x+c 3+lnxx1dx=ò121(3+lnx)d(3+lnx)=-2x1(3+lnx)1=12=14e-2òxe01-2xdx=-ex0+1ò2e10e-2xdx=-12e-2-14e-2x10+14òxlnxdx=1ex2e21xlnx-1e1ò2e11xdx=e221e+-141xeòelnxx21dx=-lnx+1ò1x2dx=-=1-2e+1 证明题 证明：若f(x)在-a,a上可积并为奇函数，则ò证: Þ令x=-taa-af(x)dx=0 a-aòaa-af(x)dx=-òÞ-aaf(-t)dt=aòa-af(-t)dt=-òf(t)dt ò-af(x)dx=-ò-af(x)dxò-af(x)dx=0 证毕 aa证明：若f(x)在-a,a上可积并为偶函数，则ò证：ò 令x=-t,则ò0-aa-a-af(x)dx=2òf(x)dx 0f(x)dx=ò0-af(x)dx+0òa0f(x)dx af(x)dx=-òf(-t)dt=aò0f(t)dtQf(x)是偶函数 òa-af(x)dx=a-aò0-af(x)dx+òa0f(x)dx=òa0f(x)dx+òa0f(x)dx=2òf(x)dx0a证毕 证明：ò证：òa0f(x)dx=òa0f(x)+f(-x)dx a-af(x)dx=òa0-af(x)dx+a0òa0f(x)dx=-ò0af(-x)dx+òa0f(x)dx =òf(-x)dx+ ò0f(x)dx=òf(x)+f(-x)dx 证毕