用截长补短法证明三角形全等.docx

用截长补短法证明三角形全等全等三角形中的截长补短 板块一、截长补短 已知DABC中，ÐA=60，BD、CEA分别平分ÐABC和.ÐACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明 EOD BC D 如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外)，作NÐDMN=60°，射线MN与DBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系? AMB E 如图2-9所示已知正方形ABCD中，M为CD的中点，E为MC上一点，且BAE=2DAM求证：AE=BC+CE 分析证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种： (1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE)，再证所构造的线段与求证中那一条线段相等 (2)通过添辅助线先在求证中长线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段，再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等 AD 已知：如图，ABCD是正方形，FAD=FAE. 求证：BE+DF=AE. F BEC 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，ABC+AED=180°，求证：AD平分CDE AAFBEBECDCDA 如图所示，DABC是边长为1的正三角形，DBDC是顶角为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的ÐMDN，点M、N分别在AB、AC上，求MDAMN的周长 B N 在正DABC内取一点D，使DA=DB，在DABC外取一点E，使ÐDBE=ÐDBC，且BE=BA，求ÐBED. AECDBDC旋转法：如图将三角形BCF延B点按逆时针方向旋转90°得到新的三角形ABF，目的证明BE=EF。 A板块二、全等与角度 如图，在DABC中，ÐBAC=60°，AD是ÐBAC的平分线，且AC=AB+BD，求ÐABC的度数. 因为角F=角BFC 角ABF+角ABE=角CBF+角ABE=角EBF+角ABE=角ABF, 而角ABF=角BFC 所以角F=角ABF+角ABE=角EBF C DB 由已知条件可以想到将折线ABD“拉直”成AE，利用角平分线AD可以构造全等三角形.同样地，将AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的. 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想. 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法. 所以三角形EBF为等腰三角形，BE=EF 所以BE=EF=AE+AF=CF+AE 延长FC到E" 使CE"=AE 连接BE" 容易证明BFE"是等腰三角形