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物理竞赛光学教程第一讲几何光学物理课件网欢迎您！ 第一讲 几 何 光 学 §1.1 几何光学基础 1、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播。 2、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播。 3、光的折射定律： 折射光线在入射光线和法线所决定平面内； 折射光线和入射光线分居法线两侧； 入射角i1与折射角i2满足n1sini1=n2sini2； 当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角C时，将发生全面反射现象。 A S §1.2 光的反射 O 1.2.1、组合平面镜成像： 1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象。先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜镜间放一点光源S，S发出的光线经过两个平面镜反射B S2 S3 S4 图1-2-1 S1 S后形成了S1、S2、3三个虚像。用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O为圆心、OS为半径的圆上，而且S和S1、S和S2、S1和3、S2和3之间都以平面镜保持着 对称关系。用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置。两面平面镜AO和BO成60º角放置，用上述规律，很容易确定像的位置：以O为圆心、OS为半径作圆；过S做AO和BO的垂线与圆交于S1和S2；过S1和S2作BO和AO的垂线与圆交于O S5 S SSS2 S3 图1-2-2 S3和S4；过S3和S4作AO和BO的垂线与圆交于S5，物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛电学光学教程 第一讲几何光学 S1S5便是S在两平面镜中的5个像。 双镜面反射。如图1-2-3，两镜面间夹角a=15º,OA=10cm，A点发出的垂直于L2的光线射向L1后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从A点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？ 如图1-2-4所示，光线经L1第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性,BC¢=BC，且BOC¢=a。上述L1 O A,B,C¢,D¢均在同一直线上，因此光线在L1、L2之间的反图1-2-3 A L2 复反射就跟光线沿ABC¢直线传播等效。设N¢是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不900n<=6£(n+1)aa再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是na<90º，。取n=5，N¢OA=750，总路程AN¢=OAtg5a=37.3cm。 2、全反射 全反射光从密度媒质1射向光疏媒质2，当入射角大于-1a=sinn21时，光线发生全反射。 临界角O¹ C¹ O 全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分光导纤维，就是利用光的全反射现象。图1-2-5是光导纤维的示意图。AB为其端面，纤维内芯材料的折射率n1=1.3，外层材料的折射率n2=1.2，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？ 图1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，表示光第二次的入射角，只要大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播。 B A C D L1 L2 图1-2-4 n1 n2 i B A b=sin-1n21 =sin-1n21.2=sin-1=67.40n11.3r=p2-b=90-67.4=22.6oooo sini/sinr=1.3/1 图1-2-5 只要sini<0.50,i<30即可。 例1、如图1-2-6所示，AB表示一平直的平面镜，P1P2是水平放置的米尺，MN是屏，三者P1 S P2 M A a b N B 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 图1-2-6 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 相互平行，屏MN上的ab表示一条竖直的缝。某人眼睛紧贴米尺上的小孔S，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在P1P2上把这部分涂以标志。 分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。 解法一：相对于平面镜AB作出人眼S的像S¢。连接Sa并延长交平面镜于点C，连接S¢与点C并延长交米尺P1P2于点E，点E就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接S¢b并延长交米尺P1P2于点F，且 S¢b与平面镜交于D，连接S与点D，则点F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E与F之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图1-2-7所示。 解法二：根据平面镜成像的对称性，P1SEFPPS12NMEFP2NMAaCDbaCa¢bBAM¢P1¢Db¢BN¢P2¢S¢图1-2-7 ¢¢PPP作米尺12及屏MN的像，分别是1P2P3 P1 A O P4 P3 P B P2 图1-2-8 P3 N¢，a、b的像分别为a¢,b¢，如图及M¢1-2-8所示。连接Sa交AB于点C，延长P1 A O P4 60º PP5 ¢¢P并交1P2于点E¢，过点E¢作P1P2(AB)的垂线，交于点E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接B P2 P P5 A 120交于点F，点F就是人眼看到的米尺刻P O 45B ºP1 度的最右端。EF部分就是人眼通过平面O P7 B 镜可看见的米尺部分。 P2 点评：平面镜成像的特点是物与像P2 P6 P4 具有对称性。在涉及到平面镜的问题中， 利用这一特点常能使问题得以简洁明晰图1-2-9 的解决。 例2、两个平面镜之间的夹角为45 º、60º、120º。而物体总是放在平面镜的角等分线上。试分别求出像的个数。 分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷。在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ ¢¢Sb¢交AB于点D，延长并交P1P2于点F¢，过点F¢作P1P2的垂线P1P2P1 A 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 像的数目不再增多，就有确定的像的个数。 解：设两平面镜A和B的夹角为2，物P处在他们的角等分线上，如图1-2-9所示。以两镜交线经过的O点为圆心，OP为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上。由平面镜A成的像用P1,P3L表示，由平面镜B成的像用P2,P4L表示。由图不难得出： A P1,P3L在圆弧上的角位置为 (2k+1)q,P2,P4L在圆弧上的角位置为 2p-(2k-1)q。 其中k的取值为k=1，2， 若经过k次反射，A成的像与B成的像重合， 则 (2k+1)q=2p-(2k-1)q 即 当所示； 当所示； B C P O k=p2q 图1-2-10 2q=45=op4时，k=4，有7个像，如图1-2-9A C P O 2q=60o=p3时，k=3，有5个像，如图1-2-9当1-2-10可直接看出，物P经镜A成的像在镜B面上，经镜B成的像则在镜A面上，所以有两个像。 例3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不 同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜AO和BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图1-2-11所示。图中带箭头的圆圈P代表一个人的头部，白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图1-2-11为俯视图，若两平面镜的夹角AOB=72º，设人头的中心恰好位于角平分线OC上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离。 1、 1、试在图1-2-11中标出P的所有像的方位示意图。 2、在方框中画出照片上得到的所有的像。 2q=120o=2p3时，k=1.5，不是整数，从图图1-2-11 A P O B 图1-2-12 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 图1-2-13 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 本题只要求画出示意图，但须力求准确。 解: 本题的答案如图1-2-13所示。 例4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图1-2-14所示。棱镜用玻璃制成，BC、CD两平面高度抛光，AB、DE两平面高度抛光后镀银。试证明：经BC面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射，A 与之相应的由CD面出射的光线，必与入射光线垂直。 112.5º E B 解: 如图1-2-15所示，以i表示入射角,i¢表示112.5º 反射角，r表示折射角，次序则以下标注明。光线自透明表面的a 点入射，在棱镜内反射两次，由CD面的e点出90º 射。可以看得出，在DE面的b点； 112.5º o C D 入射角为 i2=r1+22.5 反射角为 i2=i2=r1+22.5 在四边形bEAC中， ¢o图1-2-14 ¢a=90o-i2=90o-r1-22.5o=67.5o-r1 oo0o而 b=360-2´112.5-a=135-(67.5-r1) =67.5+r1 oF A 45º ¢ooi=i=90-b=22.5-r1 33于是， 在cdb中 ¢¢-(i+i)-(i+i) cdb=180º2233 º 112.5B E oo0-2(r+22.5)-2(22.5-r)=9011 =180º 这就证明了：进入棱镜内的第一条光线ab总是与第三条光线ce互相垂直。 由于棱镜的C角是直角，r1=360º-270º-dec=90º-dec=i1。设棱镜的折射率为n，根据折射定律有 i1 90º C i 2 i2 1 i 4 112.5º D i 3 i3 112.5º 4 sini1=nsinr1 sinr4=nsini4 Qr1=i4,r4=i1总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角i1的大小无关。只要光路符合上面的要求， 图1-2-15 由BC面的法线与CD面的法线垂直，又有i1=r4,出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角90º。 例6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图1-2-16所示的形状，一束平行R光垂直地射入平表面A上。试确定通过表面A进入的光全部从表面B射出的R/d的最小值。已知玻璃的折射为1.5。 dAB物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 图1-2-16 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 分析: 如图1-2-17所示，从A外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从A内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角最小。如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交。因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可。 解: 当最内侧光的入射角大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从B表面射出而没有光线从其他地方透出。 1n 即要求 Rsina=R+d 而 R1³n 所以 R+dR1³n-1 即 dsina³aROdA图1-2-17 B11æRö=2ç÷n-11.5-1故 èdømin 点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。 B例7 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细空气丝，由具有圆形截面的纤芯A和包层B组成，Ba0的折射率小于A的折射率，光纤的端面与圆柱体OA的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯A和包层B的分界面上发生多次全反射。现在利用普通光纤测量流体F的折射率。图1-2-18 实验方法如下：让光纤的一端浸在流 体F中。令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心O。经端面折射进入光纤，在光纤中传播。由于O点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为a0，如图1-2-18所示。最后光从另一端面出射进入流体F。在距出射端面h1处放置一垂直于光纤轴的毛玻璃屏D，在D上出现一圆形光斑，测出其直径为d1，然后移动光屏D至距光纤出射端面h2 处，再测出圆形光斑的直径d2，如图1-2-19所示。 若已知A和B的折射率分别为nA与nB。求被测流体F的折射率nF的表达式。 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 若nA、nB和0均为未知量，如何通过进一步的实验以测出nF的值？ 分析 光线在光纤中传播时，只有在纤芯A与包层B的分界面上发生全反射的光线才能射出光纤的端面，据此我们可以作出相应的光路图，根据光的折射定律及几何关系，最后可求出nF。 解: 由于光纤内所有光线都从轴上的O点出发，在光纤中传播的光线都与轴相交，位于通过轴的纵剖面内，图1-2-20为纵面内的光路图。设由O点发出的与轴的夹角为的光线，射至A、B分界面的入射角为i，反射角也为i，该光线在光纤中多次反射时的入射角均为i，射至出射端面时的入射角为。若该光线折射后的折射角为q，则由几何关系和折射定可得 i+a=90º nAsina=nFsinq 当i大于全反射临界角c时将发生全反射，没有光能损失，相应的光线将以不变的光强射向出射ah2h1BAFd1d2DD图1-2-19 iC的光线则因在发生反射时有部分光线通过折射进入B，反射光强随着反射次数端面。而的增大而越来越弱，以致在未到达出射端面之前就已经衰减为零了。因而能射向出射端面的i<i光线的i的数值一定大于或等于c，c的值由下式决定： iiBAaiFonsini=nACB iC对应的值为 0a=90-iC C 与当iaqa0>aC图1-2-20 ，2即22nsina>n-nA0AB时，或时，由Osa0>siaC=nic发出的光束中，只有的最大值为 iC=no1-snB2siC=i1-(n)nAa£aC的光线才满足i³iC的条件下，才能射向端面，此时出射端面处0a=a=90-iC maxc 22nsina<n-na<ai>iC的条件，因A0AB0c若，即时，则由O发出的光线都能满足而都能射向端面，此时出射端面处的最大值为 amax=a0 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 端面处入射角最大时，折射角也达最大值，设为 qmax，由式可知 nFsinqmax=nAsinamax a0<aC时， 由、式可得，当nAsina0sinqmax a³aC时， 由至式可得，当0nF=nF= 为 n-nnAcosiC=sinqmaxsinqmax 2A2Bh2h1qmax的数值可由图1-2-21上的几何关系求得d2-d12=(d2-d1)/22+(h2-h1)2BO0AOmaxFOmaxd1O1d2O2sinqmax DD图1-2-21 于是nF的表达式应为 æd-d1ö2(d2-d1)nF=nAsinaç2+(h-h)/×(a0<aC)÷212è2ø 222nF=nA-nBæd2-d1ö2ç÷+(h2-h1)è2ø×(a0³aC)(d2-d1)2 2¢、可将输出端介质改为空气，光源保持不变，按同样手续再做一次测量，可测得h1¢，这里打撇的量与前面未打撇的量意义相同。已知空气的折射率等于1，故有 ¢、d1¢、d2h2当a0<aC时， 1=nAsina0 当a0³aC时 (d2¢-d1¢)/22+(h2¢-h1¢)2¢-d1¢)/2(d21=n-n2A2B(d2¢-d1¢)/22+(h2¢-h1¢)2¢-d1¢)/2(d2物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 将两式分别与相除，均得 nF=¢-d1¢d2d2-dæd2-d1ö2ç÷+(h2-h1)è2ø2(d2¢-d1¢)/22+(h2¢-h1¢)2此结果适用于a0为任何值的情况。 i1§1.3 光的折射 1.3.1、多层介质折射 如图：多层介质折射率分别为n1,n2,n3L则由折射定律得： n1sini1=n2sini2=L=nksinik 1.3.2、平面折射的视深 在水中深度为h处有一发光点Q，作OQ垂直于水面，求射出水面折射线的延长线与OQ交点Q¢的深度h¢与入射角i的关系。 设水相对于空气的折射率为令OM=x，则 i2i3n1n2n3nR图1-3-1 n=43，由折射定律得 nsini=sini¢ x O d d Q Q 图1-3-2 i x=d×tgi=d¢×tgi¢ 2tgid1-(nsini)d¢=d×=¢tgincosi于是 M 上式表明，由Q发出的不同光线，折射后的延长线不再交于同一点，但对于那些接近法线方向的光线，i=0，则sin2i=0，cosi=1于是 dd¢=n 这时d¢与入射角i无关，即折射线的延长线近似地交于同一点Q¢，其深度是原光点深度物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 13=的n4。 如图1-3-3所示，MN反射率较低的一个表面，PQ是背面镀层反射率很高的另一个表面，通常照镜子靠镀银层反射成像，在一定条件下能够看到四个反射像，其中一个亮度很底。若人离镜距离l，玻璃折射率n，玻璃厚度d，求两个像间的距离。 图中S为物点，S¢是经MN反射的像，若S1,S2,S3依次表示MN面折射，PQ面反射和MN面再折射成像，由视深公式得 P M S2 S3 S1 O2 O1 S S1 Q N 图1-3-3 O1S1=nO1S，O2S2=O2S1=O1S1+d，O1S2=n×O1S3， O1O2+O2S2d+nl+d2d=1+nnn 2dO1S3-O1S¢=n。 故两像间距离为O1S3=1.3.3、棱镜的折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向，出射光线与入射光线之间的夹角称为偏向角，由图1-3-4的几何关系知 i1 D A i2 F E i2 折射率 i1 G B C ¢-i2¢) d=(i1-i2)+(i1¢-a =i1+i1S h S 图1-3-4 ¢=nsini1¢ 其中 sini1=nsini2 sini2¢=i1¢即 当i1，很小时，i1»ni2,ni2= 厚度不计顶角很小的三棱镜称之为光楔，对近轴光线而言，与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样的角度，所以作光楔折射成像光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，图1-3-5。设物点S离光楔L则像点S¢在S的正上方。 L 图1-3-5 h=ls=(n-1)a lh=l=l。 ¢¢当棱镜中折射光线相对于顶角对称成等腰三角形时，i1=i，i2=i2。 ¢=nsinsini1=sini1a2物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 ad=2arcsin(nsin)-asind+a2=nsina22阳光 红 或者 这为棱镜的最小偏向角，此式可用来测棱镜的折射率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率，各种色光的偏折角不同，所以白光经过棱镜折射后产生色散现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成的色散现象。阳光在水滴上紫 经两次折射和一次反射如图1-3-6。形成内紫外红的虹；阳光经小滴两次折射和两次反射如图1-3-7，形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射，因此光线较弱，不容易看到。 图1-3-6 紫 1.3.4、费马原理 红 费马原理指出，光在指定的两点之间传播，实际的光程 总是为最大或保持恒定，这里的光程是指光在某种均匀介质中通过的路程和该种媒质的折射率的乘积。 费马原理是几何光学中的一个十分重要的基本原理，从费马原理可以推导出几何光学中的很多重要规律。例如光的直线传播、反射定律，折射定律，都可以从光程极小推出。如果反射面是一个旋转椭球面，而点光源置于其一个焦点上，阳光 所有反射光线都经过另一个焦点，所有反射光线都经过另一 个焦点，便是光程恒定的一个例子。此外，透镜对光线的折图1-3-7 射作用，也是很典型的。 y 一平凸透镜的折射率为n，放置在空气中，透镜面孔的半 B ¢¢OF=fM 径为R。在透镜外主光轴上取一点F¢，。当平行光沿主光轴入射时，为使所有光线均会聚于F¢点。试问：透镜凸面应取什么形状？透镜顶点A与点O相距多少？对透镜的孔径R有何限制？ 解: 根据费马原理，以平行光入射并会聚于F¢的所有光线应有相等的光程，即最边缘的光线BF¢与任一条光线NMF¢的光程应相等。由此可以确定凸面的方程。其余问题亦可迎刃而解。 取o-xy坐标系如图，由光线BF¢和NMF¢的等光程性，得 f R n A x F 图1-3-8 f¢2+R2 整理后，得到任一点M的坐标x，y应满足的方程为 nx+(f¢-x)2+y2=物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 222222æö¢¢¢¢nf+R-f(nf-f+R)22÷-y=(n-1)çx-ç÷n2-1n2-1èø nf¢2+R2-f¢nf¢-f¢2+R2x0=a=2n-1n2-1令，则上式成为 2222(n-1)(x-x)-y=a0 这是双曲线的方程，由旋转对称性，透镜的凸面应是旋转双曲面。 透镜顶点A的位置 应满足 222(n-1)(x-x)=aA0 xA=xO-或者 an-12=f¢2+R2-f¢n-1可见，对于一定的n和f¢，xA由R决定。 ¢因点F¢在透镜外，即xA£f，这是对R的限制条件，有 f¢2+R2-f¢£f¢n-1 2R£n-1f¢ 即要求 2R£n-1f¢时，有如下结果： 讨论 在极限情形，即 f¢2+(n2-1)f¢2-f¢xA=f¢n-1 即点A与点F¢重合。又因 y n2f¢-f¢xO=f¢2n-1 a=0 故透镜凸面的双曲线方程变为 R N M t A F (n2-1)(x-f¢)2-y2=0 2y=±n-1(x-f¢) 即 双曲线退化成过点F¢的两条直线，即这时透镜的凸面变成以F¢为顶点的圆锥面，如图1-3-9所示。考虑任意一条入射光线MN，由折射定律有 n x f 图1-3-9 nsinq=sinqt，由几何关系 sinq=cosj=1f¢2+R2 45°RMON物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 图1-3-10 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 sinqt=nf¢f¢+R22=12 故 ， 即所有入射的平行光线折射后均沿圆锥面到达点F¢，此时的角就是全反射的临界角。 例1、半径为R的半圆柱形玻璃砖，横截面如图1-3-10所示。O为圆心。已知玻璃的折射率为2。当光由玻璃射向空气时，发生全反射的临界角为45°，3 0一束与MN平面成45的平行光束射到玻璃砖的半圆柱面上，经玻2 1 璃折射后，有部分光能从MN平面上射出。求能从MN平面射出的iBC光束的宽度为多少？ ARr分析: 如图1-3-11所示。进入玻璃中的光线垂直半球面，45°沿半径方向直达球心，且入射角等于临界角，恰好在O点发生全MOEN反射，光线左侧的光线经球面折射后，射在MN上的入射角都大于临界角，在MN上发生全反射，不能从MN射出，光线右侧一图1-3-11 直到与球面正好相切的光线范围上的光线经光球面折射后，在MN面上的入射角均小于临界角，都能从MN面上射出，它们在MN上的出射宽度即是所要求的。 解: 图1-3-11中，BO为沿半径方向入射的光线，在O点正好发生全反射，入射光线在C点与球面相切，此时入射角i=90，折射角为r，则有 sini=nsinr oqt=psini2sinr=n2 o即 r=45 这表示在C点折射的光线将垂直MN射出，与MN相交于E点。MN面上OE即是出射光的宽度。 M45°ON图1-3-12 OE=Rsinr=2R2 MiEiOFNC讨论 如果平行光束是以45°角从空气射到半圆柱的平面表面上，如图1-3-12所示，此时从半圆柱面上出射的光束范围是多大？rArB1sinr=o2，参见图1-3-13所示，由折身定律sin45=2sinr，得r=30o，即所有折射光线与垂直线的夹角均为30°。考虑在E点发 图1-3-13 o生折射的折射光线EA，如果此光线刚好在A点发生全反射，则有nsinÐEAO=sin90，而n=2，即有ÐEAO=45o，因EA与OB平行，所以ÐEAO=ÐAOB=45o，所以j=180o-45o-60o=75o，即射向A点左边MA区域的折射光因在半圆柱面上的入射角均大于45°的临界角而发生全反射不能从半圆柱面上射出，而A点右边的光线ooj>45则由小于临界角而能射出，随着角的增大，当ÐFCO=45时，将在C点再一次达到临界角而发生全反射，此时ÐFOC=15故知能够从半圆柱球面上出射的光束范围限制物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ o高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 在AC区域上，对应的角度为75<j<165。 点评 正确作出光路图并抓住对边界光线的分析是解答问题的两个重要方向，要予以足够重视。 例2、给定一厚度为d的平行平板，其折射率按下式变化 ooraAd OKn(x)=n01-xr 图1-3-14 一束光在O点由空气垂直入射平板，并在A点以角出射。求A点的折射率nA，并确定A点的位置及平板厚度。 解: 首先考虑光的路线。对于经过一系列不同折射率的b1平行平板的透射光，可以应用斯涅耳定律 b2b3sinb1n2sinb2n3=Lsinb2n1， sinb3n2 更简单的形式是 12233 1 这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里，折射率只沿x轴变化，即 x x 在本题中，垂直光束从折射率为n0的点入射，即n1n2n3n4图1-3-15 nsinb=nsinb=nsinb=Lnsinb=常数cOb2nx=n0,bx=90o为常数，于是在平板内任一点有 xx nsinbx=n0 xC图1-3-16 nx与x的关系已知，因此沿平板中的光束为 sinbx=图表明光束的路径是一个半径为XC=r的圆，从而有 n0xr-x=1-=nxrr OC-x=sinbxXC 现在我们已知道光的路径，就有可能找到问题的解答。按折射定律，当光在A点射出时，有 sinasina=osin(90-bA)cosbA nsinbB=n0，故有 因为 AnA=sinbA=n0nA 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 æn0öcosbA=1-ççn÷÷Aøè 于是 2因此 n02)nA 2nA=n0+sin2a(1-在本题情形 nA=1.3 nA=sinaDn¢=1jn¢=1nB1.2nA=1.3=x1-13 根据 得出A点的x坐标为x=1cm。 光线的轨迹方程为 222y+(1+x)=r A图1-3-17 代入x=1cm，得到平板厚度为y=d=5cm 例3、图1-3-17表示一个盛有折射率为n的液体的槽，槽的中部扣着一个对称屋脊形的薄壁透明罩A，D，B，顶角为2j，罩内为空气，整个罩子浸没在液体中，槽底AB的中点处有一个亮点C。请求出：位于液面上方图标平面内的眼睛从侧面观d察可看到亮点的条件。 Djg解: 本题可用图示平面内的光线进行分析，并只讨论从右jb侧观察的情形。如图1-3-18所示，由亮点发出的任一光线CP将P经过两次折射而从液面射出。由折射定律，按图上标记的各相关a角度有 sina=nsinb sing=其中 1sindn AC 图1-3-18 NB d£p/2 dg£p/2(b+j) 如果液内光线入射到液面上时发生全反射，就没有从液面射出的折射光线。全反射临界角。应满足条件 c 可见光线CP经折射后能从液面射出从而可被观察到的条件为 g<g sing=1/n或 sing=1/n 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 现在计算sing，利用式可得 sing=cos(b+j)=cosbcosj-sinbsinj 由式可得 1æsinaöcosb=1-çn2-sin2a÷=nènø 由此 2nsing=cosjn2-sin2a-nsinasinj 又由式 nsing=cosjn2-sin2a-nsinasinj 由图及、式，或由式均可看出，越大则越小。因此，如果与值最大c，则任何光线都不能射出液面。反之，只要mc，这部分光的光线相应的设为m线就能射出液面，从液面上方可以观察到亮点。由此极端情况即可求出本题要求的条件。 自C点发出的值最大的光线是极靠近CD的光线，它被DB面折射后进入液体，由g>gg<g式可知与之相应的gm； a=p/2-j 22nsing=cosjn-cosj-cosjsinj<1 m 能观察到亮点的条件为 nsingm<1 22cosjn-cosj-cosjsinj<1 即 上式可写成 22cosjn-cosj<1+cosjsinj Aa1n2a2B取平方 cos2j(n2-cos2j)<1+2cosjsinj+cos2j(1-cos2j) 化简后得 Dn1C(n-cosj)<1+2cosjsinj=cosj+sinj+2cosjsinj 222(n-1)cosj<(cosj+sinj)故 平方并化简可得 2tanj>n-1-1 2222 图1-3-19 这就是在液面上方从侧面适当的方向能看到亮点时n与之间应满足条件。 ooa=60a=3012例4、如图1-3-19所示，两个顶角分别为和的棱镜胶合在一起o。折射率由下式给出： 物理课件网-全力打造物理课件、物理试题、物理教案、物理视频第一交流平台！ 高中物理竞赛光学教程 第一讲几何光学 其中 n1=a1+b1l2；n2=a2+b2l2 a1=1.1;b1=105nm2 a2=1.3;b2=5´104nm2 1、确定使得从任何方向入射的光线在经过AC面时不发生