求导法则及求导公式.docx

求导法则及求导公式九江学院理学院 数学分析教案 §2 求导法则 上一节我们讲述了导数的相关知识,要求大家：深刻理解导数概念,能准确表达其定义;明确其物理、几何意义,会求曲线上一点的切线方程;能够从定义出发求某些函数的导数;知道导数与导函数的区别和联系;明确导数与单侧导数,可导与连续的关系.特别要注意,要学会从导数定义出发求某些导数的导数.例如,我们上节课已计算出左边所列的导函数,并且我们知道,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算.因此,从理论上来讲,给了一个函数,总可用定义求其导数.但从我们计算左边几个函数的经验知道,用定义计算函数的导数是比较繁琐的.试想对基本初等函数的导数计算都如此繁琐,对一般的初等函数更是不可想象. 因此,我们不能满足于只用导数定义求导数,而应去寻找一些求导数的一般方法,以便能较方便地求出初等函数的导数.在给出较一般的方法之前,先看以下函数如何求导数： f1(x)=sinx+cosx g1(x)=sin2x f2(x)=sinx×cosx g2(x)=sin(ax) f3(x)=cosx g3(x)=arcsinx logaxf4(x)=csinx g4(x)=arccosx 一、导数的四则运算 问题1 设f(x)=sinx±cosx,求f'(x). 分析 利用导数的定义及极限的四则运算知,f'(x)=cosxmsinx=(sinx)'±(cosx)'.即 (sinx±cosx)'=(sinx)'±(cosx)' 一般地,有如下和的导法则： 定理1 设f(x),g(x)在x点可导,则 f(x)±g(x)¢=f¢(x)±g¢(x) 证明 令 y(x)=f(x)+g(x) Dyf(x+Dx)+g(x+Dx)-f(x)+g(x)=DxDxf(x+Dx)-f(x)g(x+Dx)-g(x)=+DxDx®f¢(x)+g¢(x)当Dx®0时。 问题2 设f(x)=sinx×a,则f'(x)=(sinx)'×(a)'=cosx×a×lna对吗？ 第 1 页 共 8 页 xxx九江学院理学院 数学分析教案 分析 一般地,有如下乘积的求导法则： 定理2设f(x),g(x)在x点可导,则 f(x)×g(x)¢=f¢(x)×g(x)+f(x)×g¢(x) 证明 令 y(x)=f(x)×g(x) Dyf(x+Dx)×g(x+Dx)-f(x)×g(x)=DxDx(分子-f(x)×g(x+Dx)+f(x)×g(x+Dx)f(x+Dx)-f(x)g(x+Dx)-g(x)×g(x+Dx)+f(x)DxDx®f¢(x)×g(x)+f(x)×g¢(x)当Dx®0时。 =推论1 (u(x)v(x)w(x)'(x0)=u'(x0)v(x0)w(x0)+u(x0)v'(x0)w(x0)+u(x0)v(x0)w'(x0). 推论2 若函数v(x)在x0知可导,C为常数,则(cos(x)'x=x0=C×v'(x0). ax问题3 设f(x)=,求f'(x). logax一般地,存如下商的运算法则： 定理3 设f(x),g(x)在x点可导,则 ¢éf(x)ùf¢(x)×g(x)-f(x)×g¢(x)=êg(x)úg2(x)ëû. 1y(x)=g(x) 证明 令 Dy1é11ù=×ê-DxDxëg(x+Dx)g(x)úûg(x+Dx)-g(x)1=-×Dxg(x+Dx)g(x)g¢(x)®-2当Dx®0时。g(x) f(x)1=f(x)×g(x) 给出. g(x)¢nénùfi(x)ú=åfi¢(x)åꢢi=1û推论 (1) cf(x)=cf(x). (2) ëi=1. 第 2 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 ¢nænöçÕfi(x)÷=åKk(x),ç÷j=1èøk=1 (3) D.利用导数的四则运算法则举例. Kk(x)=f1(x)Lfk¢(x)Lfn(x). 例1 f(x)=x3+5x2-9x+p,求f'(x),f'(0). 例2 y=cosxlnx,求y'2x=p. 例3 证明：(x-n)'=-nx-n-1,nÎN. 2+例4 证明：(tanx)'=secx,(cotx)'=cscx. 例5 证明：(secx)'=secxtanx,(cscx)'=-cscxcotx. D.利用导数的四则运算法则求导数举例： 1 f(x)=x+sinx; 2 f(x)=x-sinx+cosx; 3 f(x)=2x; 4 f(x)=xcosx; 235f(x)=xsinx+7x; 6f(x)=x+x+xcosx; 22237f(x)=xsinx×lnx+2tgx5sinx+3tgx; 8f(x)=; xxexsinx9y=+x2lnx. 1+tgx二、反函数的导数 问题1 设f(x)=arcsinx,求f'(x). yÎ(c,d)点可导,且定理4 设x=j(y)在区间(c,d)上连续,严格上升,在0j¢(y0)¹0, x0=j(y0).则反函数y=f(x)在x0点可导,且 f¢(x0)=11=j¢(y0)j¢f(x0). 注 若x=j(y)在(c,d)可导,导数>0(或<0),则反函数y=f(x)存在,且 f¢(x)=111=j¢(y)j¢f(x)j¢(y)y=f(x) . 这里导数>0(或<0)可推出j(y)严格上升,反函数之导数公式也可写成 第 3 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 dydxx®x0=1dxdy . lim定理的证明 要证f(x)-f(x0)x-x0存在,注意到这个比式是函数 g(y)=的复合,由定理条件知 y-y0j(y)-j(y0) 与 y=f(x) f(x)-f(x0)11=lim=y®y0j(y)-j(y)y®y0j(y)-j(y)j¢(y0)00y-y0lim. 再由反函数连续性,x®x0x®x0时,y®y0,由复合函数求极限定理得 f(x)-f(x0)1=limgf(x)=limg(y)=x®x0y®y0x-x0j¢(y0). 1y=(logay)¢y=axlogae=axlna,反过来,如果limxy=a(a>0,a¹1),求y¢. 例6 x=logay, 解 (ax)¢已知,也可求 a(ax)¢=y=ax(logax)¢=logae11=(ax)¢x=logayaxlnay. 例7 y=x,求y¢. 解 y=ealnxy¢=,aalnxe=a×xa-1x. 例8 y=arcsinx,求y¢. 解 x=siny, (arcsinx)¢=1(siny)¢y=arcsinx例9 y=arccosx,求y¢. 例10 y=arctgx,求y¢. 1cos(arcsinx)1=。21-x=第 4 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 三、复合函数的导数 问题1 设f(x)=sin2x,求f'(x);2）. 设f(x)=sin(ax),求f'(x);3）. 设f(x)=xa,求f'(x). 定理5 设导,且 f¢(u0)与g¢(x0)存在,u0=g(x0),则复合函数F(x)=fg(x)在x0点可F¢(x0)=f¢g(x0)×g¢(x0). 注 若f(u)的定义域包含u=g(x)的值域,两函数在各自的定义域上可导,则复合函数F(x)=fg(x)在g(x)的定义域上可导,且F¢(x)=f¢g(x)×g¢(x)或 dydydu=×¢¢y¢=y×ududx. xux, dx 定理的证明 定义函数 ìf(u)-f(u0),u¹u0,ïu-uA(u)=í0ïf¢(u),u=u0。0î limA(u)=A(u0)=f¢(u0)A(u)在u0点连续,u®u0. 由恒等式,f(u)-f(u0)=A(u)(u-u0),我们有 F(x)-F(x0)fg(x)-fg(x0)g(x)-g(x0)=Ag(x)×x-x0x-x0x-x0x®x0,得 F¢(x0)=f¢g(x0)×g¢(x0). 令我们引进A(u)是为了避免再直接写表达式 F(x)-F(x0)f(u)-f(u0)g(x)-g(x0)=×x-x0u-u0x-x0x¹x0时,可能会出现 u=u0 情况. 中当例1 y=1-x,求y¢. 解 -1122¢y=(1-x)(1-x2)¢21-1=(1-x2)2(-2x)2x=-。21-x 2 例2 y=sinx,求y¢. 12第 5 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 222解 y¢=cosx×(x)¢=2xcosx. 3y=sin(sinx),求y¢. 例3 333233¢¢y=cos(sinx)×cosx×(x)=3xcosxcos(sinx). 解 2y=ln(x+1+x),求y¢. 例4 解 x+1+x2 例5 y=ln|x|,求y¢. 解 x>0 时,y¢=(x+1+x2)¢2121+x=x+1+x21+x2. 1+2xy=111y¢=(ln(-x)¢=-(-x)¢=xx, x¹0x; x<0 时,1x. 时, 例6 y=lnsin(2x),求y¢. (ln|x|)¢=y¢=解 四、 隐函数微分法 22cos(2x)cos(2x)=sin(2x)sin(2x). dF(x,y)=0y=y(x)F(x,y)=0 若可微函数满足方程,则其导数可以从dx求出.一个方程F(x,y)=0何时能唯一决定一个可微函数y=y(x),留待日后解决,现在我们通常假定能唯一决定一个可微函数,考虑如何求出导函数问题. 222(x,y)(y0¹0)的切线方程. 例7 x+y=a,求过点00 解 对方程x+y=a求导,心中记住y=y(x)是x的函数,得 2x+2y×y¢=0， 222y¢(x)=-xy， x0(x,y)y0,过(x0,y0)切线方程为 在00点上,xy-y0=-0(x-x0)y0 , y¢(x0)=-xx+yy0=x0+y0, 02xx+yy=a00即 . 五、 对数微分法 我们结合例子研究对数微分法 第 6 页 共 8 页 22九江学院理学院 数学分析教案 y= 例8 x3x-a(a>0),求y¢. 31ln|x|-ln|x-a|22解 函数定义域(-¥,0)和(a,+¥),取对数 ,两边对y¢31112x-3a=×-×=y=y(x)求导,采用隐函数微分法,得 y2x2x-a2x(x-a),所以 lny=x3x-a . vy=u 例9 ,u=u(x),v=v(x),求y¢. 2x-3ay¢=2x(x-a)y¢1=v¢×lnu+v××u¢u解 取对数,得lny=v×lnu,两边求导,得 y, vu¢vu¢y¢=y(+v¢×lnu)=uv(+v¢×lnu)uu. xx¢y=x(1+lnx). y=x 如,六、双曲函数及其反函数之导数 x-x1y=shx=(e-e), 2 x-x1y=chx=(e+e) , 2 shxchx chxy=cthx=shx y=thx=22性质 chx-shx=1 22chx+shx=ch2x sh2x=2shx×chx sh(x±y)=shx×chy±chx×shy ch(x±y)=chx×chy±shx×shy 11-th2x=2chx 11-cth2x=-2shx iqìshx+chx=exïcosq+isinq=eí-xïcosq-isinq=e-iqchx-shx=eî 由 (shx)¢=chx (chx)¢=shx 第 7 页 共 8 页 九江学院理学院 数学分析教案 反双曲函数 (thx)¢=1ch2x 2Arshx=ln(x+1+x) (Arshx)¢=Archx不是单值函数,可选一个分支来研究 111=(shy)¢y=ArshxchArshx1+x2 11+xln21-x 1(Arthx)¢=1-x2 Arthx=小结 一、 基本求导法则 1 (u±v)'=u'±v'； 2 (uv)'=u'v+uv', (cu)'=cu'； 3 '=uvu'v-uv'11dydydu'=-=×,； 4 反函数导数 . 22vdxdudxvv二、基本初等函数导数公式 1(c)'=0; 2(xa)'=axa-1 (aÎR); 3(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx; 4(tan)'=-csc2x, =sec2x,(cot)'(secx)'=secx×tanx,(cscx)'=-cscx×ctgx; 5(a)'=alna, (e)'=e; 6(logax)'=xxxx11,(lnx)'=; xlnax7(arcsinx)'=11-x2,(arccosx)'=-11-x2; (arctanx)'=11(arccotx)'=-,. 221+x1+x第 8 页 共 8 页