概率论与数理统计答案第二章 离散型随机变量.docx

概率论与数理统计答案 第二章 离散型随机变量第二章 离散型随机变量 2.1 下列给出的是不是某个随机变量的分布列？ (1)ç35ö23öæ1æ1÷ (2) çç0.50.30.2÷ç0.70.10.1÷÷ èøèøæ0çç2è2LnLö12LnLöæ1222n÷ ÷ (4)ç1111æ1ö1æ1ö1æ1öæöæöç÷ç÷ç÷Lç÷L÷÷ç2ç2÷Lç2÷L÷2è3ø2è3ø2è3øèøèøøèø(3) ç1解 是 0.7+0.1+0.1¹1，所以它不是随机变量的分布列。 2n1ö1æ1ö1æ1ö31+1æç÷+ç÷+L+ç÷+L=,所以它不是随机变量的分布列。 22è3ø2è3ø2è3ø4¥1öæ1öæ为自然数，且nç÷>0,ç÷=1，所以它是随机变量的分布列。 åè2øn=1è2ønn2.2 设随机变量x的分布列为：P(x(2P(=k)=k,k=1,2,3,4,5，求(1)P(x=1或x=2); 1515<x<) ； (3) P(1£x£2)。 22121+=; 解 (1) P(x=1或x=2)=15155151(2) P(<x<)=P(x=1)+P(x=2)=; 2251(3) P(1£x£2)=P(x=1)+P(x=2)=. 52ö2.3 解 设随机变量x的分布列为P(x=i)=C×æç÷,i=1,2,3。求C的值。 è3ø2327æ2öù解 é2æ2ö，所以C=。 Cê+ç÷+ç÷ú=138è3øûê3è3øúëi2.4 随机变量x只取正整数N，且P(x=N)与N2成反比，求x的分布列。 Cp6，即x解 根据题意知P(x=N)=C，其中常数C待定。由于，所以C=C×=12p2N26N=1Nå¥2的分布列为P(x=N)=6，N取正整数。 p2N22.5 一个口袋中装有m个白球、n-m个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取出黑球时停止。设此时取出了x个白球，求x的分布列。 解 设“x=k”表示前k次取出白球，第k+1次取出黑球，则x的分布列为： P(x=k)=m(m-1)L(m-k+1)(n-m),k=0,1,L,m. n(n-1)L(n-k)2.6 设某批电子管的合格品率为次测到合格品，求x的分布列。 34，不合格品率为14，现在对该批电子管进行测试，设第x次为首1ö解 P(x=k)=æç÷è4øk-13,k=1,2,L. 42.7 一个口袋中有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3只球，以x表示取出球的取大号码，求x的分布列。 æk-1öçç2÷÷ø解 P(x=k)=è,k=3,4,5. æ5öçç3÷÷èø2.8 抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为所需要的次数，求x的分布列。 解P(xp(0<p<1)，设x为一直掷到正、反面都出现时=k)=qk-1p+pk-1q,k=2,3,L，其中q=1-p。 2.9 两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。 解 设x，h表示第二名队员的投篮次数，则 P(x=k)=0.6k-10.4k-10.4+0.6k0.4k-10.6=0.76×0.24k-1,k=1,2,L； P(h=k)=0.6k0.4k-10.6+0.6k0.4k0.4=0.76×0.6k0.4k-1,k=1,2,L。 2.10 设随机变量x服从普哇松分布，且P(x=1)=P(x=2)，求P(x=4)。 -l解P(x=k)=lkk!e(l>0)k=0,1,2,L。由于le-l=l22e-l,得l1=2,l2=0。所以P(x=4)=4!32.11 设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999。 解 设x为该种商品当月销售数，x为该种商品每月进货数，则P(x£x)³0.999。查普哇松分布的数值表，得x³16。 2.12 如果在时间t内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内有多于一辆汽车通过的概率。 解 设x为时间t内通过交叉路口的汽车数，则 (lt)k-lt P(x=k)=e(l>0),k=0,1,2,L k!t=1时，P(x=0)=e-l=0.2，所以l=ln5；t=2时，lt=2ln5，因而 P(x>1)=1-P(x=0)-P(x=1)=(24-ln25)/25»0.83。 2.13 一本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。 解 在指定的一页上出现某一个错误的概率p=1，因而，至少出现三个错误的概率为 500k500-kæ500öæ1öæ499ö åççk÷÷ç500÷ç500÷øèøk=3èøè500k500-kæ500öæ1öæ499ö=1-åççk÷÷ç500÷ç500÷øèøk=0èøè2利用普哇松定理求近似值，取l2=np=500´1=1，于是上式右端等于 50015 1-åe-1=1-»0.0803012ek=0k!214 某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？ 解 设每箱至少装100+x个产品，其中有k个次品，则要求x,使 æ100+xök100+x-kç÷0.9£0.030.97 ， åçk÷k=0èøx3k-3e，查利用普哇松分布定理求近似值，取l=(100+x)´0.03»3，于是上式相当于0.9£åk=0k!x普哇松分布数值表，得x=5。 2.15 设二维随机变量(x,h)的联合分布列为： P(x=n,h=m)=求边际分布列。 解 P(xlnpm(1-p)n-mm!(n-m!)ne-l(l>0,0<p<1) m=0,1,L,nn=0,1,2,L =n)=åP(x=n,h=m)=m=0lne-ln!pm(1-p)n-m ån!m=0m!(n-m)!n=lne-ln!n=0,1,2,L pme-lP(h=m)=P(x=n,h=m)=m!n=0å¥n!pm(1-p)n-m ån=mm!(n-m)!¥(lp)me-lp=m!m=0,1,2,L。 2.17 在一批产品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。从中任取4件，设一、二、三等品的件数分别为x、h、z，求(x,h,z)的联合分布列与各自的边际分布列。 解 P(x=m,h=n,z=k)=4!0.5m0.3n0.2k ，m,n,k=0,1,2,3,4m+n+k=4. m!n!k!æ4öm4-m ，m=0,1,2,3,4； P(x=m)=ççm÷÷0.50.5èøæ4ön4-nP(h=n)=ççn÷÷0.30.7 ，n=0,1,2,3,4； èøæ4ök4-kP(z=k)=ççk÷÷0.20.8 ，k=0,1,2,3,4。 èø2.18 抛掷三次均匀的硬币，以x表示出现正面的次数，以h表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(x,h)的联合分布列及边际分布列。 2.21 设随机变量x与h独立，且P(x=1)=P(h=1)=p>0， 又P(x1若x+h为偶数，问p取什么值时x与z=0)=P(h=0)=1-p>0，定义z=ìíî0若x+h为奇数独立？ 解P(z=1)=P(x=0)P(h=0)+P(x=1)P(h=1)=(1-p)2+p2 P(z=0)=P(x=0)P(h=1)+P(x=0)P(h=1)=2p(1-p) 而P(x=1,z=1)=P(x=1,h=1)=p2，由P(x=1,z=1)=P(x=1)P(z=1)得p=1 2 2.22 设随机变量x与h独立，且P(x两独立，但不相互独立。 证明P(z=±1)=P(h=±1)=1，定义z=xh，证明z,x,h两21 2=1)=P(x=1)P(h=1)+P(x=-1)P(h=-1)=P(z=-1)=P(x=1)P(h=-1)+P(x=-1)P(h=1)=因为P(x1 2=1,z=1)=P(x=1,h=1)=1=P(x=1)Pz=1) 4P(x=1,z=-1)=P(x=1,h=-1)=1P(x=1)Pz=-1) 41P(x=-1,z=1)=P(x=-1,h=-1)=P(x=-1)P(z=1) 41P(x=-1,z=-1)=P(x=-1,h=1)=P(x=-1)P(z=-1) 4所以z,x相互独立。同理h与z相互独立。 但是P(x=1,h=1,z=1)¹P(x=1)P(h=1)P(z=1)，因而z,x,h不相互独立。 +h不服从均匀分 11=k)=pk,P(h=k)=qk,k=1,2,L,6。 +h=k)=1,k=2,3,L,12，则 111P(x+h=2)=p1q1= (1) 111P(x+h=7)=p1q6+p2q5+L+p6q1= (2) 111P(x+h=12)=p6q6= (3) 11将式减去式，得：(p6-p1)q1<0，于是p6<p1。同理q6<q1。因此p6q6<p1q1=1，与式矛盾。 11p212æç02.24 已知随机变量x的分布列为ç1ççè4解 h分布列为P(hp÷1÷÷4øö÷，求h2=x+2与z=cosx3的分布列。 1p12p1)=； ，P(h=2+)=，P(h=2+43234111z的分布列为P(z=-1)=，P(z=0)=，P(z=1)=。 424=2)=3öæ-2-101211111÷，求h=x的分布列。 ç÷651530øè52.25 已知离散型随机变量x的分布列为ç117111 , P(h=1)= , P(h=4)= , P(h=9)= 530530æ01öæ013ö2.26 设离散型随机变量x与h的分布列为x：ç131÷ ， h ：ç12÷，且x与h相互独ç÷ç÷è33øè288ø解P(h=0)=立，求z=x+h的分布列。 æ0çè61211124434ö11÷ ÷2412ø p)与b(k;n2,p)，求x+h的分布列。解 ç12.27 设独立随机变量x与h分别服从二项分布：b(k;n1,解 设x为n1重贝努里试验中事件验中事件A发生的次数，h为n2重贝努里试A发生的次数，而x与h相互独立，所以x+h为n1+n2重贝努A发生的次数，因而 里试验中事件æn1+n2ökn1+n2-kP(x+h=k)=ççk÷÷pqèø,k=0,1,L,n1+n2。 2.28 设x与h为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为 P(x求x=n)=P(h=n)=1,n=1,2,L n2+h的分布列。 解P(x+h=n)=åP(x=k)P(h=n-k)=åk=1n-111n-1 ×=kn-kn22k=12n-11=k)=,k=1,2,3,4,5，求Ex、Ex2及E(x+2)2。 511222222解，Ex=(1+2+3+4+5)=3，Ex=(1+2+3+4+5)=11 552.29 设随机变量x具有分布：P(x E(x2+2)2=Ex+4Ex+4=27 2.30设随机变量x具有分布：P(x=k)=1,k=1,2,L，求Exk22¥及Dx。 k-1k1¥æ1ö解 Ex=å=åkç÷k2k=1è2øk=12 Dx¥k-1k21¥2æ1ö=2，Ex=åk=åkç÷2k=1è2øk=12=6 =Ex2-(Ex)2=2 k2k1=k,k=1,2,L，问x是否有数学期2.31设离散型随机变量x的分布列为：Px=(-1)k2望？ ¥¥12k11解 å|(-1)|×k=å，因为级数å发散，所以x没有数学期望。 k2k=1kk=1k=1k¥k2.32 用天平秤某种物品的重量，物品的重量以相同的概率为1克、2克、10克，现有三组砝码： 1，2，2，5，10 1，2，3，4，10 1，1，2，5，10 问哪一组砝码秤重时所用的平均砝码数最少？ 解 设x1、x2、x3分别表示及甲组、乙组、丙组砝码秤重时所用的砝码数，则有 物品重量度 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x1 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1 x2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 x3 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 于是 Ex1 Ex2=1(1+1+2+2+1+2+2+3+3+1)=1.8 101(1+1+1+1+2+2+2+3+3+1)=1.7 101Ex3=(1+1+2+3+1+2+2+3+4+1)=2 10=所以，用乙组砝码秤重时所用的平均砝码数最少。 2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0米的概率是0.49, ±10米的概率各是0.16，±20米的概率各是0.08，±30米的概率各是0.05，求场地面积的数学期望。 解 设场地面积为S米2，边长的误差为x米，则S=(x+500)2且Ex=0Ex2=2(102´0.16+202´0.08+302´0.05)=186 所以ES=E(x+500)2=Ex2+1000Ex+250000=250186(米2) p1、p2、p3。试证发生故2.34 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，且概率分别为障的仪器数的数学p1+p2+p3。 证 令xiì1第i架仪器发生故障=íi=1,2,3 î0第i架仪器未发生故障x为发生故障的仪器数，则Exi=P(xi=1)=pi,i=1,2,3， 所以Ex=Ex1+Ex2+Ex3=p1+p2+p3。 2.37 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。 解 设， æ10ö114÷，因而Ehi=则hi的分布列为ç1ç÷15è1515ø。设x为查得的不合格品数，则 x=åhii=1150，所以Ex=åEhi=10。 i=11502.38 从数字0，1，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。 解 设x为所选两个数字之差的绝对值，则P(x=k)=n-k+1,k=1,2,L,n， æn+1öçç2÷÷èønn-k+12n+22于是Ex=åk。 =(n+1)k-k=å3æn+1ön(n+1)k=1k=1ç÷ç2÷èøn2.39 把数字1,2,L,n任意在排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个匹配，求匹配数的数学期望。 ì1数字k出现在第k个位置上解 设xk=íî0数字k不在第k个位置上0öæ1ç1÷ 则xk的分布列为：11-÷çnøèn，因而Exn1于是Exk=P(xk=1)=，设匹配数为x，则x=åxknk=1=åExk=1。 k=1n2.40 设x为取非负整数值的随机变量，证明： ¥(1) Ex=åP(x³n); n=1(2) Dx=2ånP(x³n)-Ex(Ex+1). n=1¥证明 (1)由于Ex=ånP(x=n)存在，所以该级数绝对收敛。从而 n=0¥Ex=ånP(x=n)=n=1¥åån=1i=1¥2¥nP(x=n)=ååP(x=n)=åP(x³i)。 i=1n=ii=1¥¥¥(2) Dx存在，所以级数Ex=ån2P(x=n)也绝对收敛，从而 n=0¥Dx=Ex+Ex-Ex(Ex+1)=ån(n+1)P(x=n)-Ex(Ex+1) 2n=1=2ååiP(x=n)-Ex(Ex+1)=2ååiP(x=n)-Ex(Ex+1) n=1i=1¥i=1n=i¥n¥¥=2ånP(x³n)-Ex(Ex+1). n=12.41 在贝努里试验中，每次试验成功的概率为验次数。 p，试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试解 设成功与失败均出现时的试验次数为x，则 P(x³1)=1，P(x³n)=pn-1+qn-1,n=2,3,L(q=1-p) 利用上题的结论，Ex=P(x³1)+åP(x³n)=1+å(pn-1+qn-1) n=2n=2¥¥pqp2-p+1 =1+=1-p1-qp(1-p)2.42 从一个装有m个白球、n个黑球的袋中摸球，直至摸到白球时停止。如果(1)摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。 解 设摸到白球时已取出的黑球数为。 若摸球是无返回的，则 kCnmP(x=k)=k×, k=0,1,K,n Cn+mm+n-k故 kCnmn Ex=åk=0k×k×=Cn+mm+n-km+1n若摸球有返回的，则 nænöP(x=k)=ç×, k=0,1,K, ÷èm+nøm+n故 kknnænö Ex=åk=0k×ç×=÷èm+nøm+nm¥2.43 对一批产品进行检验，如果检查到第n0件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第n0件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产品数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？ 解 设每批检查件产品，则的分布列为： P(x=k)=(1-p)k×p, k=1,2,K,n0-1,P(x=n0)=(1-p)n0-1 Ex=åk0=1k×p(1-p)k+n0×(1-p)n0-11-(1-p)n0-n0p(1-p)n0 =+n0×(1-p)n0-1 p1-(1-p)n0 =p2.44 流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。 解 设第i-1个不合格出现后到第i个不合格品出现时的产品数为xi，in-1p，当生产出k个不合格品时即停工检修一=1,2,L,k.又在两次检修之间产品总数为x，则x=åxi. i=1k因xi独立同分布，P(xi=j)=qj-1p,j=1,2,L(q=1-p)，由此得： Exi=åj=1¥jqj-1p=1p，Exi2=åj2qj-1p=j=1¥2-pp2， Dxi=Exi2-(Exi)2=k1-p。 p2kk(1-p)k。 Ex=åExi=，Dx=åDxi=2ppi=1i=12.46 设随机变量x与h独立，且方差存在，则有 D(xh)=Dx×Dh+(Ex)2×Dh+Dx×(Eh)2 证明 D(xh)=Ex2h2-(Exh)2=Ex2Eh2-(Ex)2(Eh)2 =Ex2Eh2-Ex2(Eh)2+Ex2(Eh)2-(Ex)2(Eh)2 =Ex2Dh-(Eh)2Dx=Dx×Dh+(Ex)2×Dh+Dx×(Eh)2 2.47 在整数0到9中先后按下列两种情况任取两个数，记为x和h：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在h解 (1) P(x=k(0£k£9)的条件下x的分布列。 =i|h=k)=110i=0,1,L,9. (2) P(x=i|h=k)=19(i=0,1,L,9,i¹k) , P(x=k|h=k)=0 A出现的概率为p，令 2.49 在n次贝努里试验中，事件xi=í求在xì1在第i次试验中A出现î0在第i次试验中A不出现i=1,2,L,n 1+x2+L+xn=r(0£r£n)的条件下，xi(0£i£n)的分布列。 P(x1+x2+L+xn)解 P(x=0|x+x+L+x=r)=P(xi=0,x1+L+xi-1+xi+1+L+xn=r) i2n1æn-1örn-1-rqççq÷÷pq n-r ø=è=nænörn-rç÷pqçr÷èøP(xi=1|x1+x2+L+xn=r)=1-n-rr。 =nn2.50 设随机变量x1，x2相互独立，分别服从参数为l1与l2的普哇松分布，试证： l1öænöæç÷ P(x1=k|x1+x2=n)=ççk÷÷çl+l÷èøè12ø证明 P(x1kæl1öç1-÷çl1+l2÷èøn-k=k|x1+x2=n)=P(x1=k,x1+x2=n)P(x1+x2=n)P(x1=k)P(x2=n-k)= P(x1+x2=n)由普哇松分布的可加性知x1+x2服从参数为l1+l2的普哇松分布，所以 lk1 P(x1=k|x1+x2=n)=k!(n-k)!(l1+l2)n-(l1+l2)en!e-l1×ln2-ke-l2l1öænöæç÷÷=ççk÷çl+l÷èøè12økæl1öç1-÷çl+l÷12øèn-k2.51 设x1，x2，xr为r个相互独立随机变量，且xi(1£i£r)服从同一几何分布，即有P(xi=k)=qpk-1,k=1,2,L,(1£i£r),其中q=1-p。试证明在x1+x2+L+xr=n的条件下，(x1,x2,L,xr)的分布是均匀分布，即 1，其中n+n2+L+nr=n. 1æn-1öççr-1÷÷èøP(x1=n1,L,xr=nr|x1+x2+L+xr=n=n1,L,xr=nr|x1+x2+L+xr=P(x1=n1,L,xr=nr,x1+L+xr=n) P(x1+L+xr=n)P(x1=n1,L,xr=nr) =P(x1+L+xr=n)证明 P(x1由于x1，x2，xr相互独立且服从同一几何分布，所以 P(x1+x2+L+xr=n)=k1+L+kr=nki=1,2,Li=1,L,rå(Õq×pi=1rki-1æn-1örn-r)=ççr-1÷÷qp。 èø1qrpn-r从而P(x1=n1,L,xr=nr|x+x2+L+xr=n)=。 =æn-1örn-ræn-1öçççr-1÷÷çr-1÷÷qpèøèø1